金融時間序列分析中小波方法應用研究

陳建志 文慧 楊淡漪 陳璐 凌語蓉

摘要：由于傳統時域分析的狹隘性，能從時域和頻域兩個角度同時充分描繪信號物理特性的小波分析方法引起了眾多學者的關注，小波分析應用于金融時間序列分析逐漸成為趨勢。小波方法由于具有良好的去噪性與多分辨分析能力，能夠出色地完成對非平穩序列的擬合、奇異點的定位等工作，被普遍應用于單個市場、多個市場的金融時間序列分析以及金融時間序列中非市場因素的探究等方向。本文基于小波方法在金融時間序列分析中的“應用”視角，對該領域的部分文獻進行了評述與總結，并對其未來研究提出了展望。

關鍵詞：小波分析；金融時間序列；時頻方法；相關度

1.引言

金融時間序列是指將金融統計量（收益率、價格、波動等）在不同時間維度上的各個數值，按時間先后順序排列而成的序列。金融時間序列是一種特殊的時間序列，該領域的研究在經濟預測、宏觀調控、資產定價領域都具有重要意義，正是由于這種特殊性使得金融時間序列分析成為學術界研究的焦點。

傳統的時間序列分析模型有AR、MA、ARMA、ARIMA等模型。這類模型運用在平穩時間序列分析中有較好的效果，但金融時間序列卻具有特殊的統計特性，如非平穩性、長記憶性、異方差性等，在利用上述模型時，需要對金融時間序列進行去噪處理。傳統去噪分析方法（卡爾曼濾波方法、維納濾波方法和傳統濾波方法等）是基于信號光滑、噪聲不光滑的假設，通過對噪聲進行平滑處理來達到去噪目的，金融時間序列的特殊統計特性造成了去噪的同時部分有價值信息的失真，“失真”情況會對相關研究帶來誤差。小波方法的出現彌補了缺陷，它具有良好的“自適應”和“變焦”特性，能夠將信號分解到不同頻率通道上，再進行平滑處理后，獲得失真度極低的近似平穩信號。同時，金融時間序列中的數據基本為高頻數據，小波方法能更加準確地刻畫和分析高頻數據，對后續使用傳統時間序列模型進一步分析有巨大幫助。小波分析的優勢使它成為眾多研究者進行金融時間序列分析的重要工具，小波方法和時間序列分析相結合的時頻分析方法也成為近年來的研究趨勢。隨著研究的深入，小波的其他特性也逐漸被應用于更加復雜的金融市場研究中。

2.小波分析應用于單個市場金融時間序列分析

在股價以及綜合指數的預測模型有AR、MA、ARMA和ARIMA模型中，較成熟的模型是ARIMA模型，ARIMA模型在平穩時間序列分析中有較好的效果，但對于非平穩時間序列效果不理想。Ramsey，Usikov，Zaslavsky（1995）用分解算法對數據進行平滑處理，得出了“去噪”后的時間序列，在研究中解決了數據非平穩的問題，并最先借助小波的“顯微鏡”特性，運用多尺度分析方法研究標準普爾指數觀察數據的尺度特征，發現從時域和頻域兩個角度同時進行分析可以挖掘數據所包含的更復雜的特性，該結論使得學術界對股票價格指數的隨機游走假設提出了質疑。

小波分析應用在單個金融時間序列中的研究有了理論基礎，對小波分析精確度的質疑和小波應用效果的定量檢驗成為研究者希望解決的一個新問題。王哲、王春峰和顧培亮（1999）對上證和深證市場的股價漲跌率以墨西哥小帽狀小波為基本小波進行了二進小波變換，經過多分辨分析得到結論：小波變換和多分辨分析可將數據中偶然因素排除，突出主要因素。杜建衛和王超峰（2008）采用mallat小波分解算法，對股票收盤價這一非平穩時間序列進行了數據分解后平滑處理及再重構，將整個時間序列數據分為兩部分，較長區間選取作為研究相關性、溢出方向以及預測數據的樣本，而剩下的區間數據作為檢驗的樣本，以便能夠對所建立模型與實證結果進行比較和檢驗，對小波方法預測結果、傳統預測方法預測結果進行檢驗后，小波方法的預測結果被證實更有效。金融時間序列的“去噪”是關于平穩性的一個重要問題，在單個市場的金融時間序列研究中，單個時間序列可以擁有多個統計特性，對統計特性的研究成為了一個重要方向。徐梅和張世英（2005）分別引入了小波方差和小波協方差的分析方法研究金融波動的長記憶性。

大量應用小波方法分析股市、匯市之后，研究者開始拓寬小波方法的應用范圍，將小波方法應用在其他類型單個市場的時間序列研究中。Jammazi（2011）通過應用Harr小波分析國際原油月數據價格序列，驗證了小波的多分辨分析能夠正確的刻畫國際原油價格時間序列的波動特征。

3.小波分析應用于多個市場金融時間序列分析

在研究兩個及兩個以上市場的相關性以及波動溢出效應時，用傳統的計量方法如GRANGER因果檢驗、自相關系數等，僅能得到在整個時間段內、單一頻段中兩個市場間的相關性以及波動溢出效應。研究者利用小波多分辨分析，將金融時間序列在不同的交易周期進行分解，分析不同交易周期下市場之間的相關性以及波動溢出效應，觀察不同頻率數據的能量，判斷主導這些市場的是短期因素還是長期因素，能夠多層次探究多個市場間的波動溢出效應。研究集中在股市與股市之間，Razdan（2004）利用連續小波變換方法中的小波相關系數指出在不同的尺度下BSE指數與NSE指數相關性不同，說明了BSE指數和NSE指數在短期、長期存在不同的關聯現象。

在同類別多個市場的應用，小波分析被應用在研究者對資本市場、外匯市場等更多種類的市場的分析中。Hamrita和Trifi（2011）利用小波分析和格蘭杰因果檢驗來分析美國市場利率、匯率和股價之間的關系，通過極大重疊離散小波變換（MODWT）對數據進行5層分解，實證發現匯市與股市之間只在低頻數據尺度上（長期上）存在雙向的波動溢出效應。

小波分析在國外兩個市場主體之間關系研究中被大量應用，在中國國內資本市場、外匯市場的研究中，小波方法也起到了重要作用。薛超、李星野和雷蕾（2008）使用DWT中的db2小波，對滬深兩市進行實證研究后發現，無論從短期還是長期來看，深證指數波動性均高于上證指數，這一結論與晏海兵（2004）使用harr小波所進行的滬深兩市實證研究的結論相悖，后文的結論得出了滬市A股具有最強的波動性。造成不同研究結論的原因可能是由于兩篇文章選取數據的區段不同，前文數據選取的是1998年9月30日至2006年10月31日的上深AB股的股指日數據，而后文選取的是1998年1月30日至2003年9月10日的上深AB股的股指日數據。其中，在2004至2005年發生的“股改”、“匯改”可能是造成研究結果差異的一個原因。另外，兩篇文章選取的小波母函數不同，前文選擇的是db2小波，而后文選擇的是harr小波，這也是造成結果差異的可能原因。

謝赤、張麗和孫柏（2012）通過db6小波從不同尺度研究外匯市場與股票市場間的波動溢出效應，證明人民幣匯率波動和股票價格波動的低頻信號具有協整關系，創新性地發現在不同交易周期上波動溢出效應存在非一致性，短期上表現為股票市場向外匯市場的單向波動溢出，隨著尺度增大，周期變長，表現為雙向波動溢出。相關性研究的對象從兩個市場擴充到更多市場，研究范圍進一步擴大，Rua和Nunes（2009）通過小波頻譜分析分解得到德國、日本、英國、美國股票市場指數等多個市場在三個尺度上的相關性系數，從時頻的角度說明各國股票市場間的波動溢出效應在低頻段，即長期上更為強烈。研究對象的種類從股票市場進一步擴大，Loh（2008）使用小波變換方法得到債券收益率的波動率，并以此研究其他債券市場對亞洲本幣債券市場的波動溢出效應，研究結果表明較于日本債券市場，美元債券市場對于亞洲債券市場影響更加顯著，同時亞洲債券市場也能同時影響更為發達的債券市場。

小波分析也被用于研究典型的具有多個市場間顯著關聯效應的金融危機現象。Gallegati（2010）采用小波分析發現美國成熟證券市場和新興證券市場均受到美國次貸危機溢出效應的強烈影響，進一步的研究發現美國經濟危機不僅對本國造成了巨大影響，還強烈輻射到國外其他金融市場。Marco Gallegati（2010）通過小波分析方法證實了美國2007年經濟危機對世界的所有市場都造成了不同程度的影響。而在對亞洲等其他經濟地區的影響的研究中，Bodart和Candelon（2009）在運用基于因果檢驗的頻域分析來研究亞洲金融危機傳染效應時，發現長、短周期上各市場間都存在危機傳染效應，驗證了在亞洲危機期間市場間聯動性的增強更加劇了危機的傳播，美國經濟危機對世界的所有市場都存在著普遍影響。

4.小波分析應用于非市場因素分析

市場因素是指由市場交易狀況、投資者心理、供求關系等引起的直接導致市場價格產生變化的因素。非市場因素是指除市場因素以外的如政策、突發事件等因素間接導致市場價格產生變化的因素。

小波分析捕捉時間序列奇異點的重要特性，有助于研究非市場因素，這也是小波方法研究非市場影響因素的重要手段。A.N.Sekar，Iyengar（2009）使用連續小波對美元兌歐元、美元兌英鎊以及美元兌盧比的匯率數據進行處理，發現了波動率具有間歇性的特征，并通過分析發現印度政府對股市的影響要大于市場本身的影響。而對于中國而言，股權分置改革是對股票市場具有重大影響的非市場因素，余宇新和楊大楷（2004）關注中國股權分置改革前后的變化，以跟香港市場恒生指數的聯系為參考標準，采用harr小波對收益率進行分解，然后比較各市場中高頻和低頻數據所占的能量比，確定市場的主導因素，再對高頻與低頻數據進行回歸分析確定兩個市場的相關性，得出中國股票市場在股權分置改革后長期因素的能量大大提高以及與香港市場的聯系也更緊密的結論。余宇新、余宇瑩和傅方興（2011）利用harr小波實證檢驗了美國股市與我國股市的相關性在股改后從較小變為顯著，關聯程度不斷加深，認為美股走勢對我國股市心理影響遠遠大于資金流動配置層面的影響。研究的細化使得部分研究者將小波分析將股市與宏觀經濟聯系起來探究問題，董直慶、王林輝（2008）研究上證指數與通脹周期的關系，利用小波變換頻帶方法，采取1991年至2007年的上證綜合指數收益率月度數據，發現小波變換下證券市場與宏觀經濟長短周期波動存在非一致性，如通貨膨脹周期和證券市場波動周期就表現出非一致性，即短周期波動相關性不穩，中周期波動反向共變，長周期波動高度負相關且通貨膨脹先行。

5.研究展望

經過幾十年的發展，金融時間序列分析與研究已形成了較為成熟的方法和體系。但國內較早的小波方法的應用主要集中在故障診斷、圖像處理、語音信號處理和地球物理看勘探等方面，小波方法應用于金融時間序列分析起步較晚，近幾年才開始逐漸興起。金融時間序列作為市場狀態的具體量化表征，對它的研究離不開市場，因此，小波方法在金融時間序列中的應用可以被進一步分為單個市場、多個市場和非市場因素這三個研究方向。

在單個市場中，小波方法較多地被應用在單個時間序列以及單個市場中金融時間序列特性等“根本性”問題，即從所研究的最簡單模型出發來解決序列的非平穩性等問題。在解決了單個市場的非平穩問題后，研究擴展到小波分析的精確度等應用效果，實證檢驗小波分析的應用價值。最后利用小波分析挖掘更多關于金融時間序列自身的統計特性，從理論上給小波分析的應用提供基礎支持。在對股票市場、外匯市場等常見市場進行大量研究之后，小波分析在其他金融市場的應用逐漸走入學者們的視野。

單個市場的研究趨于成熟，小波方法逐步推廣到對多個金融市場的研究。多個市場比單個市場更為復雜，但學者們的研究由簡到繁的規律與單個市場相同，研究中變量逐漸增多、市場情況逐漸復雜。但多個市場涉及到更多數量的市場，甚至可能出現多個不同種類市場的共同研究，相互關系比單個市場更加復雜，其中多個市場的小波方法應用中還包括對經濟、金融危機這一特殊現象的廣泛研究應用。從對單個市場的研究與對多個市場的研究這兩者之間的關系來說，前者是后者的基礎，后者是前者的發展。

政策、突發事件等非市場因素作為外部的金融時間序列影響因素，可以通過小波方法定位奇異點的方法來研究，有的學者在利用小波方法進行研究的過程中還吸收了其他優秀的金融理論來進行分析。

利用小波方法分析金融時間序列的內容還在不斷擴充，正如前文所述，小波方法具有許多優良的特性，對研究產生了巨大的幫助。但作為一項相對較新的分析技術，它也存在著不足與隱憂，這也是研究者未來需要克服和改良的方向：

（1）分解層數的選擇問題。在確定小波分解層數時，分解的層次越高，去掉低頻的成分就越多，在無法確定是低頻還是高頻是“有用信號”時，可能會失去有用的信息。同時，分解層次越高，去噪的效果越好，但相對地更有可能造成失真。在今后的研究中，需要更加關注對于具有不同特征的金融時間序列，應當采用多少分解層數才不會致使丟失過多信息的研究。

（2）小波母函數的選擇問題。小波基函數具有多樣性，包括Harr小波、Daubecheies（dbN）小波系、Symlets（symN）小波系、ReverseBior（rbio）小波系、Meyer（meyer）小波、Dmeyer（dmey）小波、Morlet（morl）小波、Complex Gaussian（cgau）小波系、Complex morlet（cmor）小波系和Lemarie（lem）小波系等。在小波基函數的選取上，不同的小波函數有不同的優點，常用的小波函數不能同時滿足正交性、對稱性、正則性、消失矩和緊支性。在理論研究和實證分析的過程中，相關研究者應深入了解小波函數的構造原理，針對不同金融時間序列改進常用的小波函數，使其更加適應研究對象的特性和實證要求。

（3）閾值的確定問題。利用小波預測金融時間序列的一般方法是閾值去噪法，閾值的確定一般是根據經驗，從而導致預測結果有很大的不確定性。特別是在進行預測時，很多研究通常是用非常少的已知樣本檢驗預測效果，對于長期的預測效果則無法檢驗。而且這些預測都是建立在市場特性保持不變的情況下，所以當市場改變時無法進行精確預測。通過基于先驗知識、模擬運算或仿真實驗等科學途經找到相對更加合理的確定閾值的方法或將成為這一領域的趨勢。

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基金項目：本文系2012年湖南大學SIT重點項目的階段性研究成果。