例談如何快速找到解題方案

李曉琴

拿到一道數學試題，首先要迅速解決“從何處下手”“向何方前進”這兩個基本問題.也就是到底如何找到解題方案呢？筆者認為應做好以下幾點.

一、識別習題的類型

如果我們著手解答一道數學試題，第一件事就是想知道：這是什么試題？它是什么形式？屬于哪種類型？換句話說，就是需要識別給定試題的類型.要知道，識別了試題的類型，在多數情況下，我們就得到了解題的方法，因為在數學教材里，對于許多類型的習題都有解答的一般法則.

【例1】 △ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數列，且cos .

（1） 求cotA+cotC的值.（2）設BA ，求a+c的值.

解析：這是一道解斜三角形的試題，而我們已經知道解斜三角形試題的一般思路是：（1）轉化為角之間的關系，作三角變換；（2）轉化為邊之間的關系，作代數變換.用到的工具不外乎是正、余弦定理及射影定理等.

二、歸結為已經解過的習題

對于一道試題，如果我們不能從中識別出類型.那么，只有設法歸結為熟悉的早已解過的習題（利用變換、改變或其他方法）.具體地說就是將新的高考題轉化為課本上已經解決的問題，轉化為歷年的高考題，這兩個轉化可完成50～80%的題目.

【例2】 設A（x1，y1），B（x2，y2）兩點在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線，當直線的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍.

解析：這是2005年全國高考理科卷的壓軸題.有的學生將其納入業已掌握的理論體系，看出其解題思想與2000年高考理科卷第22題完全雷同，若用函數的觀點來看這道題，立即產生如魚得水的感覺.

1.一般性解決：設l在y軸上的截距為b，則b是與A，B坐標有關的變量，結論是確定變量b的取值范圍，相當于確定函數的值域，這就明確了解題的方向.從哲學意義上說，題目已經解決了.

2.功能性解決：為了確定函數的值域，需完成3件事：

（1） 求出變量b的表達式；

（2） 確定表達式中自變量的取值范圍；

（3） 由以上兩項具體解出b的取值范圍.

3.特殊性解決：運用數學知識和數學技巧完成上述3件事，而具體在完成每一件事時，可能還要重復展開三層次解決.

第一，求變量b的表達式（函數觀點）.

設l在y軸上的截距為b，則有l： y=2x+b，過點A，B的直線方程可寫為：y=-

這就是變量b的表達式.

第二，確定表達式中自變量m的取值范圍.

第三，求出b的取值范圍.

三、抓住問題的實質，分解問題

如果遇到不熟悉的和費解的習題，那么到底怎樣尋找題解呢？

方案1：“把石頭一塊接一塊地搬開，直到露出老鼠來，撲上去，抓住它.”這就要求我們，要善于把一個問題分解為一些小問題，然后分別求解這些小問題，從而獲得原問題的解決.

方案2：“圍繞石碓來回走動，留心觀察，看看什么地方露出老鼠尾巴沒有，一旦發現老鼠尾巴，則抓住它并把老鼠從石碓里拖出來.”這就要求我們，還要善于分析問題的實質，從尋找條件與結論的目標差入手，向著減少目標差的方向前進，直搗問題的關鍵.

【例3】 在△ABC中，已知 a2-a-2b-2c=0 （1）a+2b-2c+3=0 （2），求△ABC最大角的度數.

解析：本例結論是求最大的角，而條件卻是關于邊的等量關系，根據三角形的邊、角大小關系可知，應先由此兩項條件判定出最大的邊.由（1）（2）兩條件的特征，可以發現共性：b，c的系數的絕對值都是2，變形為2b+2c=a2-a，2c-2b=a+3

可得，b=（a+1）（a-3）4

，c=a2+34.又∵a>0，b>0，c>0，且由2c-2b=a+3得：c>b.由b=（a+1）（a-3）4>0，得a>3，又有c-a=a2+34-a=（a-1）（a-3）4 >0，即有c>a.

從而得c是△ABC最大的邊，即∠C為最大的角，根據余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，b=（a+1）（a-3）4，c=a2+34，cosC=

a2+[（a+1）（a-3）4]2-（a2+34）2

2a（a+1）（a-3）4

=

4a-（a2+2a-3）2（a2-2a+3）

=-12，最大角為120°.

評述：認真分析發現，“∠C最大”對計算∠C有定向作用（不去計算∠A，∠B），這在思路未通之前是很有價值的，但是作為解題后的回顧，“∠C最大”的判斷就成了多余的思維回路，因為計算出∠C=120°本身已兼有判斷出∠C最大的功能，因而那些僅為推出∠C最大的中間環節均可刪去.

改進解法：從目標出發，考慮cosC=a2+b2-c22ab，只須將b，c表示為a的函數，代入即可求出.由已知可解得：b=（a+1）（a-3）4，

c=a2+34

，代入余弦定理有cosC=

a2+[（a+1）（a-3）4]2-（a2+34）2

2a（a+1）（a-3）4

=

4a-（a2+2a-3）2（a2-2a+3）

=-12，又因為三角形的內角和為180°，所以∠C為所求的最大角.

評述：本解法中解出b，c又消去，仍有多余的思維回路，抓住問題的實質，由cosC=a2+（b+c）（b-c）2ab

及條件變形為2b+2c=a2-a，2c-2b=a+3.

啟發我們：

（1）應對已知兩式中的b，c升次，但保留a2不升次；

（2）應將已知兩式合并成一個式子，據此，有如下更簡單的解法：

由已知有

（a+2b）+2c==a2 （3）（a+2b）-2c=-3 （4）

，則（3）與（4）相乘有a2+b2-c2=-ab<0，即：

cosC=a2+b2-c22ab=-12，得三角形的最大角為∠C=120°.

（責任編輯 黃春香）