試談“圖形直觀”的表現(xiàn)形式及教學(xué)策略

李玲玲

孔凡哲和史寧中教授提出：“幾何直觀是借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。”從這里可以知道，幾何直觀與“圖形”是密不可分的。孔凡哲教授認(rèn)為，在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀具體表現(xiàn)為四種表現(xiàn)形式：實(shí)物直觀、簡約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀。而在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形直觀發(fā)揮著重要的作用，圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。圖形教給學(xué)生用直觀圖示描述問題的方法，是發(fā)展學(xué)生直觀感受力的重要途徑。本文擬從圖形直觀的表現(xiàn)形式及教學(xué)策略入手，談?wù)勛约旱膸c(diǎn)思考，就教于方家。

一、 小學(xué)數(shù)學(xué)中圖形直觀的幾種表現(xiàn)形式

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，圖形直觀的常見表現(xiàn)形式主要有以下幾種：

1.線段圖

在各種版本教材中，畫線段圖仍然是引導(dǎo)學(xué)生解決問題的一種輔助策略。在問題解決過程中，利用線段圖將題中蘊(yùn)涵的抽象的數(shù)量關(guān)系以形象、直觀的方式表達(dá)出來，能有效促進(jìn)問題的解決，這已成為許多數(shù)學(xué)教師的普遍共識(shí)。比如，在解決問題時(shí)，借助線段圖（如圖1）可以幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，明確各部分間的關(guān)系。

2.方形圖

方形圖是一種借助長方形來分析數(shù)量關(guān)系的圖形。比如，在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形圖（如圖2），ac表示的是哪部分面積？bc表示的是哪部分面積？大長方形的面積可以怎樣計(jì)算？通過學(xué)生的觀察、思考，在頭腦中構(gòu)建出了一個(gè)乘法分配律的思維圖形，這樣可以避免出現(xiàn)類似（a+b）c=ac+b的常見錯(cuò)誤。又如，在解決面積變化問題“開心農(nóng)場(chǎng)有一塊長方形試驗(yàn)田。如果這塊試驗(yàn)田的長增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。你知道原來試驗(yàn)田的面積是多少平方米嗎？”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生借助方形圖（如圖3）來思考，能幫助學(xué)生化解困難，更容易找到思維的切入點(diǎn)。

3.模型圖

新加坡把數(shù)學(xué)模型方法作為重要的解題策略，不僅教材中有許多范例，作業(yè)中也要求學(xué)生用圖形展示其思考過程，并將其作為新加坡的數(shù)學(xué)教學(xué)特色和重要的學(xué)習(xí)策略積極向外推介。這一方法是要求學(xué)生畫出圖片模型來表征題目中的數(shù)量（已知和未知的）以及數(shù)量之間的關(guān)系（部分——整體或比較），來幫助他們形象化數(shù)量關(guān)系以解決問題。比如，在解決問題“一個(gè)筐子，4塊大鵝卵石和2塊小鵝卵石共重千克。一個(gè)筐子，2塊大鵝卵石和1塊小鵝卵石共重千克。一個(gè)空筐子重多少千克？”時(shí)，老師這樣引導(dǎo)學(xué)生畫圖并思考（如圖4）。新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)模型方法與我國的線段圖在教學(xué)效果上有異曲同工之妙，但模型圖更符合兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，幫助學(xué)生溝通形象與抽象的聯(lián)系。

4.集合圖

集合圖就是文氏圖，也稱韋恩圖，是用封閉曲線（內(nèi)部區(qū)域）表示集合及其關(guān)系的圖形。運(yùn)用集合圖，能幫助學(xué)生理清信息之間的邏輯關(guān)系。例如，在學(xué)習(xí)方程的意義時(shí)，借助集合圖（如圖5）可以幫助學(xué)生理解“方程一定是等式，但等式不一定是方程”的意義。

5.關(guān)系圖

這樣的圖能幫助學(xué)生厘清問題中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系。例如，在教學(xué)人教版五年級(jí)下冊(cè)“打電話”一課時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖（如圖6）來表示出思維過程，這樣有助于厘清思路，從而計(jì)算出“打電話所需要的最少時(shí)間”。而北師版教材《成員間的關(guān)系》中有兩個(gè)圖（如圖7），左圖是帶情境的說明圖，右圖只是關(guān)系的呈現(xiàn)，就更加結(jié)構(gòu)化了。

6.示意圖

這里有兩種情況，一種是用普通的圖形來代替問題中的事物，比如“白兔有2只，黑兔有8只，黑兔的只數(shù)是白兔的幾倍？”（如圖8），可以用圓形來代替白兔和黑兔的只數(shù)，從而找出它們之間的關(guān)系；另一種是用簡筆畫的形式，描述出問題的信息。又比如“氣象組有12人，攝影小組人數(shù)是氣象小組的航模小組的人數(shù)又是攝影小組的，航模小組有多少人？”有學(xué)生畫出下邊的圖（圖9），在這個(gè)圖中，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義理解是非常清晰的。

7.替代圖

替代圖是依據(jù)兒童的思維特點(diǎn)和認(rèn)知水平，用自己能理解的圖形或符號(hào)來幫助理解題意的圖形。這樣的圖形在兒童學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常出現(xiàn)。如圖10，學(xué)生用線段的形式，模擬出鐘面時(shí)間的進(jìn)程，這是在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象，形成半符號(hào)化的直觀。

又如，求平均數(shù)問題“有8個(gè)數(shù)，從小到大排列，前5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是46，后4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是68，問第5個(gè)數(shù)是多少？”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生畫圖整理信息，有學(xué)生用字母替代數(shù)（如圖11），這樣，就能很直觀地看出“第5個(gè)數(shù)在兩句話中的位置”，有效地找到了解決問題的切入點(diǎn)。

直觀，通常沒有經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理，卻往往能把握對(duì)象的全貌和本質(zhì)。借助幾何圖形的直觀，常常能發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)系，甚至?xí)a(chǎn)生對(duì)相關(guān)數(shù)量之間關(guān)系的猜想，在研究數(shù)學(xué)問題的過程中，幾何直觀有時(shí)能使問題變得簡明。從以上各類小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的圖形可以看出，畫圖是一個(gè)“去情境化”的過程，能夠直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的重要補(bǔ)充，有利于學(xué)生對(duì)問題的理解；數(shù)學(xué)中的圖形是一種最簡單的數(shù)學(xué)語言，體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的簡潔美；畫圖是對(duì)現(xiàn)實(shí)中數(shù)學(xué)問題不斷抽象的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，以及抓住問題本質(zhì)尋找解決策略的能力。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)重視學(xué)生圖形直觀意識(shí)與能力的培養(yǎng)。

二、 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中圖形直觀的教學(xué)實(shí)施策略

史寧中教授說：“直觀并不是一成不變的，隨著經(jīng)驗(yàn)的積累其功能可能逐漸加強(qiáng)”，“只有把‘先天的存在與后天的經(jīng)驗(yàn)有機(jī)結(jié)合起來，才能形成人的直觀能力”。雖然學(xué)生的幾何直觀有先天的成分，但后天的有意培養(yǎng)與強(qiáng)化，能使孩子的幾何直觀得到有效發(fā)展。以下談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中圖形直觀教學(xué)的實(shí)施策略。

1.有機(jī)結(jié)合，幾何直觀應(yīng)滲透在各個(gè)領(lǐng)域的教學(xué)中

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀是數(shù)學(xué)課程“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心目標(biāo)之一，這也是之前數(shù)學(xué)課改關(guān)注比較多的。但教師應(yīng)明確，“幾何直觀”并不僅僅與“幾何”相關(guān)，在數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐活動(dòng)領(lǐng)域都應(yīng)該抓住契機(jī)，有意識(shí)地滲透在日常的教學(xué)環(huán)節(jié)中。比如，在統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中，利用條形統(tǒng)計(jì)圖能很好地幫助學(xué)生理解求平均數(shù)問題“移多補(bǔ)少”的道理。

2.開發(fā)課程，培養(yǎng)學(xué)生的圖形直觀意識(shí)

在各種版本教材中，蘇教版教材在四下安排了《解決問題的策略——畫圖》，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用方形圖來解決有關(guān)面積變化的數(shù)學(xué)問題，除此之外，與其他版本教材一樣，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的圖形直觀意識(shí)和能力大都借助于具體的教學(xué)內(nèi)容，采用有機(jī)結(jié)合甚至是滲透式的方式，并不作為單獨(dú)的教學(xué)內(nèi)容。可以說，教師在教學(xué)過程中，如果沒有對(duì)圖形直觀充分的重視，圖形直觀的培養(yǎng)就有可能陷入“可有可無”的尷尬狀況。因此，作為教師，應(yīng)該在解讀現(xiàn)有教材的基礎(chǔ)上，開發(fā)設(shè)計(jì)有利于培養(yǎng)學(xué)生圖形直觀能力的課程。江蘇育才小學(xué)蔡月珍老師給三年級(jí)學(xué)生上的《畫圖學(xué)數(shù)學(xué)》一課，為我們做了很好的示范。蔡老師自主設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生感受畫圖的優(yōu)勢(shì)，掌握畫圖的策略，她引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“美術(shù)圖”到“數(shù)學(xué)圖”的變化過程，從實(shí)物直觀（課件模擬情境）到符號(hào)直觀再到圖形直觀，學(xué)生不僅經(jīng)歷了思維的發(fā)展過程，而且深刻地感受到了數(shù)學(xué)圖形的“簡潔美”。除此之外，線段圖可以適當(dāng)強(qiáng)化，新加坡的模型圖也可以適當(dāng)借鑒。當(dāng)然，這需要教師樹立新的數(shù)學(xué)課程觀。

3.呵護(hù)個(gè)性，尊重學(xué)生的“獨(dú)特”圖形

曾幾何時(shí)，線段圖是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必過的一關(guān)，有些教師強(qiáng)求學(xué)生一定要畫出規(guī)范的線段圖再解題，因此使不少學(xué)生“望圖生畏”，對(duì)畫圖產(chǎn)生厭煩，也影響了學(xué)生畫圖的積極性，幾何直觀的培養(yǎng)也無從談起了。我認(rèn)為，針對(duì)兒童喜歡求異的心理，可以允許學(xué)生畫有個(gè)性的圖形，教師應(yīng)充分地呵護(hù)學(xué)生的這種幾何直觀意識(shí)，尊重并欣賞學(xué)生的個(gè)性化圖形。而這也往往能給教師帶來很多驚喜。比如，在解決問題“一個(gè)人帶兩只桶去河邊取水，一只桶能裝3千克水，一只桶能裝5千克水。現(xiàn)在要取4千克水，應(yīng)該怎樣做？”時(shí)，我班學(xué)生出現(xiàn)了下面的圖文表示方法。（如圖13、14）