例談教材跨度與深度的把握

方翠琴

一、 教材循序漸進的利與弊

蘇教版小學數學教材在編排上從數與計算、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合運用（現已調整為數與計算、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐）四個維度體現循序漸進、螺旋上升的特點。先以《認識分數》為例，看教材的漸進性：

三年級上冊《認識分數》讓學生結合具體情境初步理解分數的意義，認、讀、寫簡單的分數。先教學幾分之一，再教學幾分之幾，然后教學同分母分數（分母小于10）的加減計算。

三年級下冊《認識分數》包括兩方面內容：一是把由若干個物體組成的一個整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分數表示這個整體里的一份或幾份。二是應用對分數的理解，解決求一個整體的幾分之一或幾分之幾是多少個物體的實際問題。這兩個內容，前者是重點、是基礎，后者為前者服務。

五年級下冊《認識分數》，在三年級教材初步認識了分數的基礎上繼續教學分數的意義，涉及的有關知識比較多，大致分成五部分編排。

第36～37頁 分數的意義和分數單位。

第38～43頁 真分數與假分數，用分數表示兩個數量的關系。

第44～46頁 分數與除法的關系，用分數表示除法的商。

第47～50頁 帶分數，假分數化成整數或帶分數，分數與小數相互改寫。

第51～54頁 全單元內容的整理與練習。

此外教材還安排了《分數的基本性質》和《分數加法和減法》的學習內容。

六年級上冊學習內容有《分數乘法》、《分數除法》、《分數四則混合運算》。

從以上羅列中不難看出，教材由淺入深、由易到難、循序漸進，系統安排了分數相關知識的學習內容，這樣安排既便于教師的“教”，更利于學生的“學”。

而對有些學習內容，這種“蜻蜓點水”式的教學有時會顯得浮于表面，學生學得倒是輕松，但解決問題時就明顯感覺知識輻射不夠；教師教學時會有種“手腳被困”的感覺，講透了，知識“跨度”偏大，超出了教學內容；不深究，不便解決問題，“深度”達不到，無法拓展。

二、 “漸進”形成的跨度構成了對深度的制約

以《圖形與幾何》板塊中“認識物體”為例，看看“漸進”形成的跨度對深度的制約：

教材安排一年級（上冊）認識“體”，一年級（下冊）認識“形”，這是從兒童的認知規律出發，重組學科的知識體系。人們認識事物一般是從粗略的整體感知開始，然后對物體進行細致觀察和局部研究。客觀世界最常見的是各種形狀的物體，其“面”是附著于“體”上的。兒童首先看到的是一個個物體，在整體感知“體”的基礎上，才能逐漸研究“面”，建立“形”的概念。所以，先認識“體”，后認識“形”能降低認知難度，有利于學生學習。一年級下冊教學直觀認識長方形、正方形、圓、三角形和平行四邊形。教學要求是：整體感知每種圖形的形狀，形成初步的表象；能識別各種圖形，在常見物體上找到這些形狀的面，并說出它們的名稱；能用簡單的方法制作這些圖形，初步感受圖形的變換。不細致研究圖形的邊和角，不用語言描述圖形的特征。

二年級（上冊）繼續教學直線圖形，使學生知道圖形的邊，初步認識四邊形、五邊形、六邊形，感受圖形的變換。

二年級（下冊）《認識角》。

三年級（上冊）《長方形和正方形》。

四年級（上冊）《平行和相交》。

……

一年級（下冊）的《認識圖形》，是在學生直觀認識了長方體、正方體、圓柱等幾何體的基礎上，通過一些實踐操作（用積木畫、紙折、釘子板圍、方格紙畫），教學生直觀認識一些常見的平面圖形：長方形、正方形、圓、三角形和平行四邊形，教材只是作了“直觀認識”“初步感知”的基本要求（直觀認識平面圖形，初步感知平面圖形的基本特征），教學目標似乎也不難達到。

但在實際教學中，學生的作業卻常會出現一些狀況，畫圖形時，長方形、正方形、平行四邊形無法辨別，分析其原因如下。

1.學生態度不端正，難以畫出標準圖形

少數學生缺乏認真的態度，畫圖時不用尺，隨手畫，這樣即使在方格紙上也不可能畫平直，更何況是在“找規律填空”之類，在白紙上畫圖形的作業，對一年級學生來說是很難隨手畫出標準圖形的。要避免這種情況，可以通過嚴格的要求加以改進，嚴格要求學生畫圖時一律要用尺。

2.學生不會用尺，無法畫出標準圖形

有了嚴格的要求，也不能保證學生畫出的圖形就很規范。如要求把一個正方形或長方形分成2個三角形時，會出現這樣的作業：

很顯然，學生用尺畫圖時不會對準。針對這一情況，教師教學中除了嚴格要求，還要仔細加以方法指導。

3.學生認識模糊，難以呈現標準圖形

對一個僅僅能“初步感知平面圖形的基本特征”的一年級學生而言，作業中出現這樣不標準的長方形和正方形似乎不足為奇，作為教師的我們，面對這樣的作業唯一能說的可能也就是“你覺得這像長方形（正方形）嗎？”，只能借助學生對長方形、正方形的初步感知去驗證、修改，卻給不了明確的修改方法。此時，我們會想：如果學生知道“平行”、“直角”，問題就明朗、易解決多了，可“直角”是二年級下冊的內容，“平行”是四年級上冊的內容。

當然，這個問題無需明朗化，憑借學生正確的“感知”也是可以解決的。但有些問題卻不是“感知”所能化解的。

分成2個長方形 分成4個正方形

分成2個平行四邊形 分成2個三角形和1個長方形

這4題，用紙去折一折，學生不會出現多大的問題，無需細說。

但要在圖中分一分，就困難得多。以下列作業為例：

學生作業中出現的問題，顯而易見是對所學圖形邊的特點沒有把握，而圖形的“邊”和“角”的特征是三年級上冊所要了解的，如果學生掌握了長方形、平行四邊形對邊相等的特征，只要細心地量一量，認真地畫一畫，很容易就可以將一個長方形或平行四邊形分成2個或幾個大小相等或大小不等的長方形或平行四邊形，上述問題就不會普遍存在。而要將一個正方形分成4個小正方形要拓展的知識就更多了，除了要知道正方形4條邊相等，還要知道“中點”以及如何找出線段的中點，這些顯然都超出了一年級的教學內容及教學要求。

顯然，教材對知識的“跨度”分割制約了某個階段對知識“深度”的挖掘。

三、 把握“度”，化解跨度對深度的制約

1.跨度小，將感知的表象“明朗化”

如，認識長方形、正方形、平行四邊形時，運用折、剪、拼、圍等直觀操作，讓學生在操作中知道長方形、平行四邊形的對邊相等，正方形4條邊都相等，這樣的知識拓展只是讓學生對圖形特點的感知在直觀操作中明朗化而已，不會加深學生的學習難度，反而為解決上述問題提供了便捷。

2.操作難度大，可將拓展的知識“模糊化”

分成4個正方形

將一個正方形分成4個正方形，僅僅知道正方形4條邊相等，很難把一個正方形分成4個小正方形，而學生如果能找到每條邊的中點，問題就簡單多了，為此要讓學生知道什么是中點以及如何找中點。知道什么是中點，并不難，而要找出一條線段的中點，對一年級的學生來說，難度并不小，若線段的長度是整厘米數，并且是雙數的還比較好找，若長度不是整厘米數或不是雙數，則難度更大。對一年級學生而言，操作要求不必太高，只要差距不大，感覺上相等即可。我們可以進行如下的分步操作：

讓學生先在方格紙中的正方形上分，這樣學生借助方格就能很輕松地分出4個正方形，完成后再讓學生觀察分割線的位置，知道分割線在大正方形的中間，模糊拓展了“中位線”、“中點”的知識，建立了這樣的感知，再要求學生在沒有方格的正方形中分時，學生就會通過感知和調整作出較標準的分割。

3.跨度大，則借助操作、感知進行遷移

如：

分成2個三角形和1個長方形

完成這樣的操作后，拓展的知識就更多了，知識跨度相對也就更大。學生僅僅感知“長方形相鄰的兩條邊直直的，平行四邊形相鄰的兩條邊斜斜的”還不夠，需要明確知道：長方形相鄰的兩條邊直直的，是有一定標準的，要成90°，是垂直關系；還得學會畫垂線。否則，學生畫出的圖，很容易就將一個平行四邊形分成了2個三角形和1個平行四邊形。

可能存在這樣的困惑：做這樣的練習勢必要肆意拔高教材的要求，如若不然，該如何教學生解決這些問題？亦或回避這類練習，降低要求，只限操作，用紙折一折？

回避此類練習或肆意拔高教材要求均不可取，課堂教學中，我利用學生較易接受折紙的現狀，啟發學生思考：怎樣把這種分法畫出來？

引導：折三角形的時候，我們是把左下角向右平折，保持下面的一條邊重合，并且折痕要經過左上角，怎樣確保畫出的圖也能達到這一要求呢？可以啟發學生借助工具。學生借助三角尺，會把三角尺擺成左側三角形的方位，然后把三角尺向右翻轉，并使翻轉后的三角尺下面的邊和圖形的底邊重合，翻轉后的三角尺左邊經過圖形的左上角，并沿著三角尺的左側畫一條直線，右側方法相似，亦或量出中間長方形下面一條邊的長度，在圖形的上面截取同樣長的一條邊，學生借助操作，也能感知出分割的要點，而不是盲目分割。這樣，就能有效地遏制畫出的圖形不規范的現象大量發生。

我想，只要我們把握一個度，就不會違背循序漸進的思想；運用一些方法，一樣可以幫助學生解決這些有深度、有難度的問題。