合情聯想 創新運用 開心啟智

葉士江

如果說數學知識和數學思想方法是數學的核心，那么，知識與思想方法背后所蘊藏的學生創新能力和實際運用能力的培養則是數學教學孜孜以求的目標。鑒于此，我的數學課堂教學追求的是“喚醒主體意識，引導聯想方法，培養創新能力”。緣于年齡特點，對于小學生而言，我認為培養學生的創新能力主要依賴于由此及彼、由表及里式的合情聯想，從而增強學生洞悉日常生活問題中數學元素或復雜數學問題中簡單原型的能力，真正達到在過程中、實踐中培養學生創新能力的目的。試想，如果我們的各科教學、各階段教育都一路給力，定能培養出社會所需要的杰出人才。

下面，列舉我課堂上的四個教學案例，與大家分享學生的發現之旅。

案例一：聯想生活經驗，巧解趣題

問題：大小兩個正方形拼成圖1，大正方形ABCD的邊長是6cm。連接EC與AD相交于點H，并且HD=2cm。請問小正方形EFDG的面積是多少？

[C][F][G][H][D][E][A][B][C][F][D][E][2][6][2][6][H][6]

圖1 圖2

發現之旅：顯然，要求小正方形的面積，就必須知道小正方形的邊長，怎么辦呢？現在我們不妨將三角形EFC暫時從整體中移出來，變成圖2來單獨研究。靜下心來，仔細觀察，是不是產生聯想：EF和HD好比兩棵筆直的“樹”，陽光照射下來，它們頂端的影子同時落在C點，FC和DC不就正好分別是它們的影子嗎？從圖2中，我們可以很直接地知道HD這棵小樹的影子正好是它自己高度的6÷2=3（倍）。聯想我們的日常生活經驗，同一時間、同一地點，樹的高度與它的影子成正比例，即樹EF的影子FC的長也應該是自己高度EF長的3倍，很明顯FD=EF，因此很容易得出DC=2EF，而DC=6cm，所以小正方形的邊長EF=6÷2=3（cm）。

現在，可以很輕松地求出小正方形EFDG的面積是32=9（cm2）。

案例二：聯想學習經歷，巧解趣題

問題：等腰梯形ABCD的對角線AC長20cm，并且∠ACB=45°（如圖3）。這個梯形的面積是多少？

[C][C][D][A][B][D][E][A][B] [45°] [45°]

圖3 圖4

發現之旅：一般來說，求梯形的面積，要知道它的上、下底和高，但此題這些一概不知，怎么辦？可別忽視圖3中有一個重要的條件，即∠ACB=45°。現在讓我們聯想以前推導平行四邊形面積公式時的做法，先從A點向梯形下底作垂線AE（如圖4），再將△ABE切割后旋轉移至右邊（如圖5），拼成的是長方形還是正方形呢？分析一下，△AEC其中的一個銳角∠ACE=45°，另一個銳角∠CAE也應是45°，所以它是個等腰直角三角形，因此AE=EC。顯然，拼成的四邊形AECB是一個正方形。這時問題又出來了，AC并不是拼成的正方形的邊長，而是它的對角線的長度。再次聯想我們以前的學習經歷，知道正方形對角線的長度，如何求它的面積呢？就是將正方形用兩條對角線均分成四個等腰直角三角形（如圖6），每個等腰直角三角形的面積就是（20÷2）2÷2=50（cm2）。

由此，正方形的面積，也就是原來梯形的面積是50×4=200（cm2）。

[C][D][A][B][E][45°] [C][A][B][E][10][10]

圖5 圖6

案例三：聯想具體數字，巧解趣題

問題：長方形ABCD被分為面積相等的四個部分（如圖7），如果AB∶BH=3∶2，請問DF∶FC=？

[C][G][A][B][D][E][F] [H]

圖7

發現之旅：此題無任何一條線段的具體長度，推理起來顯然比較麻煩。根據條件AB∶BH=3∶2，我們不妨大膽地將其聯想為特例，即AB=3cm、BH=2cm，這樣圖7中四個部分的面積都是3×2=6（cm2）。現在可以進一步推理：長方形ABCD的面積是6×4=24（cm2），寬BC=24÷3=8（cm），HC=8-2=6（cm）；三角形CEF中CF=6×2÷6=2（cm）；小長方形GEFD中DF=6÷6=1（cm）。至此，可以清楚地得到DF∶FC=1∶2。

（試想：如果將AB和BH分別看作9cm與6cm，結果還會一樣嗎？）

案例四：聯想平面鏡子，巧解趣題

問題：歡歡是幸福村里有名的“敬老小明星”和“數學智多星”，他每天都要從自家（圖8中A處）出發去村里的“長壽泉”邊打上一擔清潔的水送到孤寡老人李爺爺家（圖8中B處）。你能畫出聰明的歡歡每次所走的最短路線嗎？ [A][A′][B][C′][C] [B][A][C]

圖8 圖9

發現之旅：兩點之間線段最短，連接AB不是最短的送水路線嗎？顯然不是，因為這樣沒能取到水。歡歡是先垂直地走到C處取水后，再徑直送到李爺爺家，走AC→CB（如圖8）的路線是最短嗎？這里有疑問，因為走的是“兩條線”。那么，歡歡到底能不能做到取水、送水走的是同一條線路呢？這看上去好像不可能，因為歡歡的家不在泉的對岸。現在我們就很自然地能聯想到生活中的鏡子（如圖9）：將長壽泉當作一面鏡子，先將歡歡的家“照”到對岸的A′處，即AC=A′C。現在歡歡的家在A′處，連接A′B，與泉岸相交于點C′。歡歡走的路線就是A′C′→C′B，正好是一條線段，當然也就是最短的送水路線了。從圖9中也可以明顯地得出在三角形A′BC中，A′B

現在，我們可以輕松地畫出歡歡所走的最短路線就是從A→C′→B（如圖10）。

[B] [C′][C][A][A′]

圖10