解析幾何題的復(fù)數(shù)解法

匡海慶

復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R）與有序?qū)崝?shù)對(duì)Z（a，b）是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，有序?qū)崝?shù)對(duì)Z（a，b）與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z是一一對(duì)應(yīng)的（這個(gè)直角坐標(biāo)平面稱作復(fù)平面），復(fù)平面中的每一個(gè)點(diǎn)Z又與向量一一對(duì)應(yīng)。這樣復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R）、有序?qū)崝?shù)對(duì)Z（a，b）、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z及向量就建立了如圖1所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

根據(jù)上述對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，平面直角坐標(biāo)系是溝通復(fù)數(shù)與平面解析幾何的橋梁。有些解析幾何問(wèn)題若用解析法去解，計(jì)算量相當(dāng)大，當(dāng)我們把直角坐標(biāo)系所在平面看成是復(fù)平面時(shí)，就可以將平面解析幾何的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，利用復(fù)數(shù)的幾何意

義或向量運(yùn)算，既可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，又避免了繁雜的運(yùn)算，運(yùn)用得當(dāng)，可以大大提高解題速度和準(zhǔn)確率。

一、利用復(fù)數(shù)進(jìn)行幾何證明

【例1】如圖2，△ABC在x軸上方，B、C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，0）、（-a，0），（a∈R），以AB、AC為腰，在△ABC外分別作等腰直角三角形ABD、ACE（B、C為直角頂點(diǎn)）。試證：DE的中點(diǎn)M為定點(diǎn)。

證明：把直角坐標(biāo)平面看成是復(fù)平面，設(shè)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)z-a，對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)z+a，

因△ABD、△ACE為等腰直角三角形，

故 ∴M為定點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】要證M為定點(diǎn)，需求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，用解析法計(jì)算量相當(dāng)大，本題巧妙應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，既直觀，且運(yùn)算量

很小。

二、利用復(fù)數(shù)進(jìn)行幾何運(yùn)算

【例2】如圖3，已知正方形ABCD的相對(duì)頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（0，-1）、C（2，5），求另兩個(gè)頂點(diǎn)B、D的坐標(biāo)。

由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3）.

【點(diǎn)評(píng)】此題利用復(fù)數(shù)加法、減法、乘法的幾何意義解決思路簡(jiǎn)單清晰，而且運(yùn)算量比直接用解析法解決要小得多。

三、利用復(fù)數(shù)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡

【例3】已知直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)都在拋物線C上，求直線l和拋物線C的方程。（1994年全國(guó)高考題）

解：如圖4所示，設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p>0），點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a+bi（a，b∈R），則點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（或定點(diǎn)）在已知曲線（直線、圓、雙曲線、拋物線）上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程，因此常可用代入法獲解，本題中的A′、B′在拋物線上，因此代入拋物線方程即可得到a、b的一個(gè)關(guān)系式。這題的解答體現(xiàn)了用復(fù)數(shù)代入法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的解題思路。

【例4】已知一定圓C與圓外一定點(diǎn)O，在圓上任取一點(diǎn)Q，以O(shè)Q為邊作正△OQR（按逆時(shí)針?lè)较颍髣?dòng)點(diǎn)R的軌跡方程。

解：以O(shè)C所在的直線為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)OC=a（a為常數(shù)），圓C的半徑為r（r為常數(shù)），則圓C的方程為（x-a）2+y2=r2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x1，y1），R（x，y），則

【點(diǎn)評(píng)】因?yàn)椤鱋QR為正三角形，所以用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，很容易就能找到OR、OQ所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的關(guān)系。以Q點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為參數(shù)，建立參數(shù)方程，再用代入法消去參數(shù)，即可得到答案。本題在解題過(guò)程中，也體現(xiàn)了用復(fù)數(shù)參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的數(shù)學(xué)思

想方法。

俗話說(shuō)：“他山之石，可以攻玉。”我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，要將各部分知識(shí)融會(huì)貫通，解題時(shí)當(dāng)一種方法行不通時(shí)，及時(shí)地調(diào)整思路。就如我們?cè)诮饨馕鰩缀螁?wèn)題，當(dāng)用解析法求解出現(xiàn)困難時(shí)，換用復(fù)數(shù)法求解，有時(shí)會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直接，而且計(jì)算量小，準(zhǔn)確性高。

（作者單位 江蘇省司法警官高等職業(yè)學(xué)校）