一道江蘇高考題的大學解法及其思考

薛峰 趙玉祥

江蘇的高考倒數第二題是一道帶電小球在復合場中特殊曲線運動的好題，如下：

在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m、帶正電為q的小球在O點靜止釋放，小球的運動曲線如下圖所示。已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸的2倍，重力加速度為g。求

（1）小球運動到任意位置p（x，y）處的速率；

（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；

（3）當在上述磁場中加一豎直向上場強為E（E>）的勻強電場時，小球在O點靜止釋放后獲得的最大速率vm。

參考答案：

解：將小球速度分解為水平方向和豎直方向，其對應的是洛侖茲力在豎直方向和水平方向上的力，得：

思考一：顯然，從=到=ωy說明小球的水平分速度只與豎直距離有關，整個過程中只有重力做功說明小球的速度同樣只與豎直距離有關，而小球在最高點只有水平速度，所以由牛頓第二定律得：max=qBvy

從原點到極大值點求和：maxΔt=qBvyΔt

由初始條件得：mvm=qBym

由動能定理得：mgym=mv2m

聯立方程可得：ym=

說明：第二問與第三問本質相同，請讀者自行整理。

思考二：從y=（1-cosωt）說明小球在y軸方向做振幅為，角頻率為ω的簡諧振動；從x=（ωt-sinωt）說明在x軸方向上，小球的運動是兩個運動的疊加，一個是振幅為，角頻率ω的簡諧振動，另一個是振動中心以速度vx==向右運動。所以完全可以從運動的獨立性入手。雖然小球初始靜止，但將其分解為沿x軸方向的速度+v和-v，且滿足：qBv=mg

從此小球的運動可視為一個速度為v沿x軸正方向勻速直線運動和一個速率為v勻速圓周運動的合成，對勻速圓周運動，有qBv=m

易得：ym=2R=

說明：通過此法同樣能得到軌跡方程。不難得出小球的最大速度vm=2v=，由向心力公式得qBvm-mg=m，解得ρ==2ym，所以不但不需要此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸的2倍這一條件，而且可以通過利用初等數學推導出來，為我們今后的命題提出思考。

（作者單位 江蘇省鎮江新區大港中學）