精題巧問(wèn) 修知煉法

王咪芳

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若提問(wèn)得法、有效，不同程度的學(xué)生都能在課堂中躍躍欲試；尤其是復(fù)習(xí)課，在由淺入深、盤旋而上的問(wèn)題串中，每個(gè)學(xué)生都能鞏固知識(shí)框架，更能通過(guò)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解掌握數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.本文就《分割等腰三角形》一課的教學(xué)實(shí)錄評(píng)析為例，供參考.

一、教學(xué)實(shí)錄

1.巧設(shè)問(wèn)題，力透基礎(chǔ)

問(wèn)題1：用一條直線將一個(gè)三角形分成兩個(gè)三角形，怎樣分？

生1：過(guò)三角形的頂點(diǎn)作直線.

問(wèn)題2：用一條直線將一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形，怎樣分？

生2：這題是不是條件不足？

師：你來(lái)加個(gè)條件吧！

生2：（思考了一會(huì)兒）三角形的各內(nèi)角是36°、72°、72°.

問(wèn)題3：用一條直線將內(nèi)角分別為36°、72°、72°的三角形分成兩個(gè)等腰三角形.

生3：作72°角的角平分線.

問(wèn)題4：用一條直線將內(nèi)角分別為25°、50°、105°的三角形分成兩個(gè)等腰三角形.

生4：將105°角分成25°和80°，分成兩三角形的內(nèi)角分別是25°、25°、130°和50°、50°、80°

問(wèn)題5：順利正確解決剛才兩個(gè)問(wèn)題的同學(xué)請(qǐng)舉手，采訪你一下：你怎么這么厲害，就分成功了？

生5：我覺(jué)得最小的角是不能分的；根據(jù)所給內(nèi)角的度數(shù)，先分出一個(gè)等腰三角形，再去證明另一個(gè)也是等腰三角形.

問(wèn)題6：你太棒了！請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)三角形，使之能被分成兩個(gè)等腰三角形.

生6：108°、36°、36°.

生7：10°、20°、150°.

生8：45°、45°、90°.

生9：任意的直角三角形.

師：（看著始終躍躍欲試的學(xué)生們）因時(shí)間關(guān)系，同學(xué)們不妨將自己的設(shè)計(jì)寫下來(lái)，并請(qǐng)思考：任何三角形都能被分成兩個(gè)等腰三角形嗎？

生齊答：不是！

師：證明一個(gè)假命題的方法是什么？

生：舉反例！

師：請(qǐng)證明“任何三角形能被分成兩個(gè)等腰三角形”是一個(gè)假命題.

生10：等邊三角形.

生11：一個(gè)三角形的內(nèi)角為105°、5°、75°.

師：反例也可以舉出無(wú)數(shù)種，到底怎樣的三角形能被分成兩個(gè)等腰三角形呢？

問(wèn)題7：探究一個(gè)三角形能被分割成兩個(gè)等腰三角形的條件.

評(píng)析：好的復(fù)習(xí)課，要兼顧全體學(xué)生；本節(jié)課前7個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓不同程度的學(xué)生都能有所得.既梳理了圖形分割的基本思路，又強(qiáng)化了對(duì)幾何問(wèn)題的本質(zhì)理解，能較好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)方法的接受和內(nèi)化，這種問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的復(fù)習(xí)方式，值得借鑒！

2.鼓勵(lì)猜想，小心驗(yàn)證

在△ABC中，設(shè)∠A=α，∠B=β，∠C=γ，（α<β<γ）

過(guò)點(diǎn)B作直線l，交BC于點(diǎn)D如圖.可先令∠ABD=α（先定一個(gè)），則∠BDC=2α，接下來(lái)須讓△BCD也滿足為等腰三角形，開始分類討論.

生12：我覺(jué)得應(yīng)該分三種情況，①當(dāng)γ=2α?xí)r；②當(dāng)β-α=2α?xí)r；③當(dāng)β-α=γ時(shí).

師：△ABC的特點(diǎn)呢？

生12：第一種情況的三角形中，一內(nèi)角是另一內(nèi)角的2倍；第二種情況可化為β=3α，即一內(nèi)角是另一內(nèi)角的3倍；第三種情況可化為β=α+γ=90°，即△ABC是直角三角形.

師：（將學(xué)生的回答板書出來(lái)）你真厲害！歸納得井井有條.讓我們根據(jù)這一規(guī)律對(duì)剛才同學(xué)們所舉的三角形作一下判斷，順便也做個(gè)驗(yàn)證.請(qǐng)同學(xué)試試，并簡(jiǎn)略說(shuō)明怎么分割.

生13：第一個(gè)三角形符合第二種情況，把108°分成36°和72°，就得到兩個(gè)等腰三角形.

師：你分析得完全正確；在一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角三倍的情況下，只要把三倍角分成1∶2兩部分即可.

生14：第二個(gè)三角形符合第一種情況，把150°的角分成10°和140°.

師：又解決了一個(gè)問(wèn)題；據(jù)同學(xué)們的方法，當(dāng)一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，將第三個(gè)角分出較小的一個(gè)內(nèi)角的角度.打鐵趁熱，想請(qǐng)同學(xué)們分割一下如下三角形：30°、50°、100°.

生15：這是第一種情況，可是我分不出來(lái).

師：有沒(méi)有同學(xué)分割成功了？

學(xué)生都搖頭，并表示不解.

生16：我知道了，我們不能分割最小角，如果一個(gè)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，等待被分割的第三個(gè)角不能是最小角，所以情況一還有限制條件.我覺(jué)得應(yīng)該180°-3α>α，α<45°.

師：你的發(fā)現(xiàn)實(shí)在是太精彩了！第一種情況屬于假命題，我們通過(guò)添加條件使其成為真命題，三角形中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角（小于45°）的2倍，則此三角形能被分割成兩個(gè)等腰三角形.

生17：第三個(gè)和第四個(gè)三角形都屬于直角三角形，只要將直角分成其余兩個(gè)銳角的度數(shù)即可.

師：說(shuō)得真好！讓我們來(lái)觀察一下被分割后的直角三角形ABC，AD=BD，CD=BD，這一結(jié)論可用直角三角形的一個(gè)性質(zhì)來(lái)描述，同學(xué)們?cè)囋嚕?/p>

生18：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

師：我們無(wú)意間找到了證明這一性質(zhì)的方法.

評(píng)析：數(shù)學(xué)離不開對(duì)數(shù)形規(guī)律的探究，好的方法能幫助我們快速厘清思路、辨明方向.這一階段的設(shè)計(jì)，層次分明、內(nèi)涵豐富，讓學(xué)生較輕松地完成了規(guī)律的探求。通過(guò)有效追問(wèn)，極大地豐富了學(xué)生的思維空間；而分類思想的滲透，則有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性與良好品質(zhì).

3.緊扣規(guī)律，應(yīng)用提高

問(wèn)題8：把一個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形，求原等腰三角形的頂角.

學(xué)生分小組探討3分鐘后派代表發(fā)言.

生19：我們小組直接用剛才所得的結(jié)論來(lái)解題的.設(shè)等腰三角形的頂角為x°，底角為y°，得一個(gè)基本等式：x+2y=180°.如果是直角三角形，那么就有x=90°；如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，則有x=2y或y=2x，分別得到x=90°，x=36°；如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，則有x=3y或y=3x，分別得到x=108°，x=（）°；綜上所述：原等腰三角形的頂角可以是90°、36°、108°和（）°.

全班鼓掌.回答的精彩程度不言而喻.

問(wèn)題9：把一個(gè)正三角形分成四個(gè)等腰三角形.（用盡可能多的方法，課后完成）

評(píng)析：復(fù)習(xí)課的基本目的，一是內(nèi)化知識(shí)，鞏固基礎(chǔ)；二是綜合運(yùn)用，提升能力.從這個(gè)要求上看，本階段安排的兩個(gè)變式練習(xí)，有助于較好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo).特別在基本圖形的提煉、解題思路的引領(lǐng)、基本規(guī)律的應(yīng)用上，凸顯了教師對(duì)幾何教學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

二、評(píng)析

本課主題明確，線索清晰，問(wèn)題設(shè)置恰當(dāng)；教師啟發(fā)有力，學(xué)生思維活躍，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度較高，較好地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“基礎(chǔ)、方法和能力”的有機(jī)統(tǒng)一.

1.精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

問(wèn)題既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心臟，又是思維活動(dòng)的起點(diǎn).通過(guò)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)教學(xué)，往往是實(shí)現(xiàn)夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，揭示本質(zhì)特征，提煉數(shù)學(xué)方法，提升思維水平等復(fù)習(xí)要求的有效途徑.本課設(shè)計(jì)的問(wèn)題1到問(wèn)題6，起點(diǎn)較低，學(xué)生參與度很高，在上課伊始，較好地活躍了課堂氣氛.當(dāng)然，其主要目的是鋪墊，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的基礎(chǔ)解剖、特殊練習(xí)，使學(xué)生深刻理解問(wèn)題本質(zhì)，為提升能力做好必要的準(zhǔn)備.低起點(diǎn)、高立意的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓每一位學(xué)生覺(jué)得原本枯燥的數(shù)學(xué)，因其能輕巧參與其中而變得親切生動(dòng)起來(lái)了，是高效課堂的必然保證！

2.立足方法引領(lǐng)，讓學(xué)生在解題中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

本課問(wèn)題切入點(diǎn)明確，學(xué)生常有精彩解答，而教師并不滿足于此，在學(xué)生回答后，不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行總結(jié)提煉，由點(diǎn)及面、歸納提升、反思延拓.讓學(xué)生在不知不覺(jué)中，從會(huì)解一道題到一類題；從知其然到知其所以然；從橫看成嶺到側(cè)看成峰到俯瞰成山脈.這就是復(fù)習(xí)課的立意所在！

（作者單位 浙江省寧波惠貞書院）