由一道易錯題引起的思考與探索

鐘志華

在教學勾股定理這一章時，我在黑板上出了這樣一個填空題：

在Rt△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C 所對的邊，其中a=3，b=4，則c= 。

此時，很多學生都很快地給出了答案：c=5。我面帶微笑，但不做表態，此時有學生舉手了：“不對， c應該是5或√7”。很快地，很多學生也反應過來了，都覺得自己一開始給出的答案是錯誤的，正確答案應該是5或√7。那么，為什么會出現這樣的情況呢？

錯因分析：

1.受定向思維的影響，學生一開口就知道3、4、5是勾股數，看到有兩邊是3和4，就不假思索地認為第三邊是5；

2.記定理記得不清楚，只知道書上的定理中有這樣一個式子：，而沒有記清式子前的文字，片面地認為c就一定是斜邊；

3.分析題目意思不清楚，只是看到問題的表面，沒有更深入地理解；

4.學生對分類討論思想還不是很熟練；

正確解答：因為題目并沒有說清楚哪個角是直角，因此c有可能是直角邊，也有可能是斜邊，所以要分兩種情況進行討論，根據勾股定理，當c是斜邊時應該是5，當c是直角邊時應該是√7。

為了更深入地研究這道題，我把這道題進行了以下一系列的引申和反思，讓學生討論交流：

1.如果把這個題目條件弱化，把題目改為“在△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C所對的邊，其中a=3，b=4，求c的取值范圍?！?/p>

答案：1

2.如果把這個題目條件加強，若此三角形是銳角三角形，那么你能求出c的取值范圍嗎？

答案：c<5。若∠C是銳角，求得1

3.如果此三角形是鈍角三角形，那你能求出c的取值范圍嗎？

按照上題的步驟求得c的取值范圍是1

4.你能將這個題目的某些條件或結論作些變化，再編出一個新的題目嗎？

學生經過小組討論后，編出很多很有價值的問題。

（1）如果此三角形是等腰三角形，求c的值。

（2）如果此三角形是直角三角形，且∠C =90°。求斜邊上中線？

（3）如果此三角形是直角三角形，且∠C =90°。求斜邊上高線？

（4）在△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C 所對的邊，a=3、b=4，∠C =90°，求△ABC的周長L和面積S的取值范圍。

幾點思考：

教師有必要引導學生在解題后做進 一步思考與探索，使學生逐步養成解決問題的一些方法和提一些新的問題，使學生真正懂得“學會學習”。下面筆者結合這個案例就如何引導學生解題后的再思考談些粗淺的見解，以供同行參考。

1.要引導學生在“觀點失真”處思考。課堂探究中，學生往往因自身的主觀直覺，或受思維慣性影響，而生成他們自認為正確、而實質上偏離真理的觀點。對此，為了發揮解題后的再思考在數學教學中的作用，教師不要急于發表觀點，而采用延遲評價、暫停教學的方式，給學生留下冷場空白，留給學生充分的思考時間和空間，學生往往能夠自主洞察到原先觀點的缺失之處。

2.要引導學生從條件中去思考。在原題中，適當削去一些條件能使結論處于動態，而增加某些條件，能使結論得到加強，提高對條件的削弱和強化往往能挖掘出較為靈活和綜合的新題來。

在這個案例中，如果把直角三角形這一條件去掉，則∠C從確定變為不確定，學生看到了一個動態的△ABC，原來能求出的一些基本量相應地都隨 的變化而成為變量，能求出一些基本量的范圍，如1

3.要引導學生從解題過程中去思考。①思考解題方法?！傲曨}千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的。善于作解題后的思考、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大習題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的。②思考解題規律。對每個問題都要尋根問底，能否得到一般性的結果，有規律性的發現？能否形成獨到的見解，有自己的小發明？點滴的發現，都能喚起學生的成就感，激發學生進一步探索問題的興趣。長期的積累，更有助于促進學生認知結構的個性特征的形成，并增加知識的存儲量。

4.要引導學生從結論中去思考。①思考結論的推廣與引伸。做完一道題后引導學生通過改變原題的知識元素，圍繞某一問題進行變換、引伸、拓展。讓學生思考解題思路和方向是否變化？可使學生不為完成任務而做題，而是通過總結、多比較，開拓思路，把注意力放在靈活運用知識以及鍛煉思維方法上，從而抑制“題?！睉鹦g，培養“同中求異”和“異中求同”的思維變通能力，有利于知識歸類和歸推理能力的提高。②思考改變題目的結論。某一問題解決后， 教師可以提下面的問題：“本題還可以得出那些結論”，這樣使結論待定化或多樣化，同時解決的背景被撤掉，解法就更靈活了。像案例中“在△A BC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C所對的邊，a=3、b=4，∠C=90°，除了求c的值”外，其實還可以求好多值。

當然并不是所有的問題在解題后都須再思考，解題后的再思考也沒有固定的模式。如果上課老師經常讓學生在解題后再思考的，同時給予學生足夠的時間和空間，可培養學生做到會積極思考，會提出問題，會發現問題，會自動探索，會合作交流，會拓展創新，最終使學生能達到“學會學習”的至高境界。從而使學生真正成為數學學習的主人，而不是數學問題的奴隸。