數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的策略與方法探究

陳建洪

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般遵循這樣的步驟：領(lǐng)會(huì)知識(shí)→學(xué)習(xí)技能→積累經(jīng)驗(yàn)→形成方法和策略→解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。這是一個(gè)呈現(xiàn)為螺旋式上升狀態(tài)的學(xué)習(xí)過(guò)程。在日常教學(xué)中，安排習(xí)題作業(yè)是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的主要途徑。在頻繁的解題訓(xùn)練中，學(xué)生常常會(huì)遇到一些難題，自己無(wú)從下手。待教師分析一番后學(xué)生很容易理清了思路，于是，教師和學(xué)生也就釋然了。

但是我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步反思：為什么學(xué)生總是需要教師的引領(lǐng)才能理清自己的思路，找到解決問(wèn)題的辦法？為什么自己很少能夠獨(dú)立獲得解決問(wèn)題的訣竅？這說(shuō)明我們的數(shù)學(xué)教學(xué)存在著不足：教師總是和盤托出解決問(wèn)題的思路，卻沒(méi)有將獲得思路的策略和方法傳授給學(xué)生，沒(méi)有提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的水平。長(zhǎng)此以往，學(xué)生就總是依賴教師，變得不再思考，不能思考。數(shù)學(xué)教學(xué)也因此呈現(xiàn)出被動(dòng)、沉悶、低效的狀況。

我們到底什么時(shí)候才能摒棄授之于魚的做法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己捕魚呢？在此，筆者不揣淺陋，將自己的思考和認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)述于下，以期拋磚引玉。

波利亞在《怎樣解題》一書中指出，解題的過(guò)程分為四個(gè)階段：弄清問(wèn)題、制定計(jì)劃、實(shí)行計(jì)劃、回顧。顯然，獲取解題路徑的關(guān)鍵在于前兩個(gè)階段。也就是說(shuō)我們需要從厘清題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系入手，進(jìn)而尋求簡(jiǎn)捷有效的解題思路。簡(jiǎn)單地說(shuō)，這是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本策略。下面就此策略談?wù)劜僮魃系囊恍┓椒ā?/p>

一、理解問(wèn)題，將已知條件和問(wèn)題了然于胸

如何才能將已知條件和問(wèn)題了然于胸。通常可以采取以下幾種做法：

1.反復(fù)閱讀。有些問(wèn)題信息量較多，或者隱藏的條件較多，反復(fù)閱讀可以幫助我們記住到所有的已知條件，挖掘出其中的隱藏條件。比如下面這個(gè)問(wèn)題：一次象棋比賽共有10名選手參加，他們分別來(lái)自甲、乙、丙3個(gè)隊(duì)，每名選手都與其余9名選手各賽一局，每局棋的勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方各得0.5分。結(jié)果甲隊(duì)選手平均得4.5分，乙隊(duì)選手平均得3.6分，丙隊(duì)選手平均得9分。那么甲、乙、丙3隊(duì)比賽的選手各有多少人？上述題目中的信息量很大，只有反復(fù)閱讀，才能把比賽規(guī)則、記分方法、各組得分情況熟記下來(lái)，并在反復(fù)閱讀中，感受到“乙隊(duì)選手平均得3.6分，丙隊(duì)選手平均得9分”這兩個(gè)特殊的平均得分，從而找到問(wèn)題解決的突破口。

2.整理?xiàng)l件。對(duì)于文字表述的問(wèn)題，初讀一遍很難做到明了。以表格、摘錄條件等方式進(jìn)行整理，有利于我們明確已知和問(wèn)題。比如下面這道題目：已知鹽水若干克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度為3%，第二次又加入同樣的水后，鹽水濃度為2%，求第三次加入同樣的水后鹽水的濃度。按照操作的過(guò)程進(jìn)行整理，可以使原來(lái)的條件更加條理，利于對(duì)比和思考。

3.畫圖。兒童是借助形象來(lái)思考的。文字表述具有間接性，我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀時(shí)，腦中往往是有表象的，準(zhǔn)確地借助圖形把已知和問(wèn)題表示出來(lái)，有利于我們理解問(wèn)題。比如數(shù)學(xué)中的行程問(wèn)題，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，和差問(wèn)題、差倍問(wèn)題、和倍問(wèn)題、幾何圖形問(wèn)題等都要借助圖形幫助自己理解題意。

當(dāng)然，這里列舉的只是理解問(wèn)題時(shí)的幾種常用方法。在面對(duì)具體的問(wèn)題時(shí)我們也不會(huì)孤立的運(yùn)用某一種方法，而是多項(xiàng)并舉。

二、尋求思路，架起已知條件和問(wèn)題之間的橋梁

明確了問(wèn)題，我們就會(huì)進(jìn)行思考，我們往往會(huì)動(dòng)員和組織我們的原有的解題經(jīng)驗(yàn)，試圖類推至此，或者對(duì)已知條件進(jìn)行分離和組合，希望從眾多的已知條件中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件進(jìn)行聚焦式的思考，或者將不同的條件進(jìn)行組合，以期推論出新的條件。有時(shí)我們會(huì)從已知出發(fā)，采取遞歸模式，逐步靠近問(wèn)題。有時(shí)又會(huì)從問(wèn)題出發(fā)，不斷分析轉(zhuǎn)化，力圖逼近已知條件。當(dāng)我們?cè)谝阎獥l件和問(wèn)題之間建起了橋梁，我們也就順利地解決了問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程是復(fù)雜的，不可能尋得解決一切問(wèn)題的萬(wàn)能解法。但是其間還是有章可循的。在這個(gè)尋求思路的過(guò)程中，我們通常可以做出以下努力：

1.調(diào)動(dòng)原有的解題經(jīng)驗(yàn)。面對(duì)一個(gè)新問(wèn)題，我們往往會(huì)進(jìn)行辨認(rèn)，很自然的就會(huì)和原先熟悉的情景和問(wèn)題進(jìn)行溝通，然后動(dòng)員和組織原有的知識(shí)儲(chǔ)備和解題經(jīng)驗(yàn)，試圖用自己掌握的思路去解決它。因此，獲得良好的解題思路，必然需要良好的知識(shí)儲(chǔ)備和豐富的解題經(jīng)驗(yàn)。什么樣的解題經(jīng)驗(yàn)更利于我們動(dòng)員和調(diào)動(dòng)？波利亞指出：良好的組織使得所提供的知識(shí)更易于用上。信息加工心理學(xué)也指出，人腦和計(jì)算機(jī)一樣之所以具備智能，關(guān)鍵在于他貯存了一系列形如“如果/那么”形式編碼規(guī)則的緣故，即產(chǎn)生式。教師與學(xué)生相比，除知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的多寡外，更重要的區(qū)別在于：教師貯存的是產(chǎn)生式系統(tǒng)，而不是簡(jiǎn)單的事實(shí)；教師的數(shù)學(xué)知識(shí)形成了良好的組織，能夠融會(huì)貫通，而學(xué)生往往難以把握不同知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系。由此可見(jiàn)，良好的解題經(jīng)驗(yàn)是獲取解題思路的基礎(chǔ)性條件。

2.一般問(wèn)題特殊化。疊加模式是解題模式中的一種。運(yùn)用時(shí)通常包括兩個(gè)步驟：第一，為了求得一般情形的解，先處理一個(gè)特殊情形；第二，利用一些指定的代數(shù)運(yùn)算把一些特殊情形組合起來(lái)，從而獲得一般情形的解。簡(jiǎn)單的講就是：一般問(wèn)題特殊化。例如下面這道題目：如下圖1所示，在腰長(zhǎng)為10厘米，面積為34平方厘米的等腰三角形底邊上任意取一點(diǎn)，設(shè)這個(gè)點(diǎn)到兩腰線段的垂直線段的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，那么a+b的長(zhǎng)度之和是多少厘米？因?yàn)槭堑走吷仙先我庖稽c(diǎn)，學(xué)生往往感覺(jué)無(wú)法捉摸。教師在教學(xué)時(shí)不妨故意降低要求：“你覺(jué)得這一點(diǎn)點(diǎn)在什么地方你會(huì)解決，你就把點(diǎn)點(diǎn)在哪里。”學(xué)生通常會(huì)把點(diǎn)點(diǎn)在底角頂點(diǎn)（如下圖2）或者是底邊中點(diǎn)（如下圖3）。（1）點(diǎn)在底角頂點(diǎn)，學(xué)生很容易求出a的長(zhǎng)度：34×2÷10=6.8厘米，a+b=6.8+0=6.8厘米；（2）點(diǎn)在底邊中點(diǎn)。可以連接等腰三角形的頂點(diǎn)和底邊中點(diǎn)。分別求出a和b的長(zhǎng)度：34÷2=17厘米，17×2÷10=3.4厘米，3.4+3.4=6.8厘米。（3）一般屬于特殊，有了上述兩個(gè)特殊情況的解法，學(xué)生就很容易猜測(cè)出一般情況下，a+b=6.8。同時(shí)也會(huì)受圖3的啟發(fā)，連接圖1中等腰三角形的頂點(diǎn)和底邊上的哪一個(gè)任意點(diǎn)。進(jìn)而列出10a÷2+10b÷2=34，進(jìn)而推出5a+5b=34，a+b=34÷5=6.8。

3.合情推理。解題思路的獲得并不是純邏輯的。離不開(kāi)嘗試、猜想、驗(yàn)證、歸納等不完全可靠的方法。這個(gè)過(guò)程需要解題者具有較好的元認(rèn)知能力：時(shí)刻明確目標(biāo)在哪里？自己在哪里？自己選擇的路徑是否可靠？同時(shí)也需要，解題者具有較好的調(diào)整能力。遇到困難時(shí)，能夠及時(shí)調(diào)整方向，能夠從自己的錯(cuò)誤中尋求有益成分，而不是全盤否定。從而才能在不斷的嘗試、調(diào)整、驗(yàn)證中獲得思路。比如算式迷題、數(shù)陣問(wèn)題中就存在著大量這樣的問(wèn)題。以下面這個(gè)問(wèn)題為例，我們來(lái)看一看合情推理中的思維活動(dòng)：將1—8分別填入下圖1中的四個(gè)圓以及相互交叉所形成的區(qū)域內(nèi)，使每個(gè)圓內(nèi)的三個(gè)數(shù)字之和相等，并且使這個(gè)和盡可能地小。

讀完題目，我們并不是一下子想到完美的思路。探究過(guò)程通常會(huì)經(jīng)歷下面的兩個(gè)階段：

1.調(diào)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行嘗試。由于8個(gè)空格分為兩類：交叉處和外圍。因此我們把1-8分成兩組，四個(gè)數(shù)填在交叉處，四個(gè)數(shù)填在外圍。由于和盡可能小，先選擇4個(gè)較小的數(shù)1、2、3、4填在交叉處（如上圖2、圖3），四個(gè)較大的數(shù)在外圍進(jìn)行嘗試，但是無(wú)論如何也不能使四個(gè)圈內(nèi)3個(gè)數(shù)的和都相等。2、反思失敗原因調(diào)整思路；失敗后，恰是尋找思路的關(guān)鍵點(diǎn)。錯(cuò)誤并非完全沒(méi)有價(jià)值，其中往往蘊(yùn)含著通往正確思路的有益成分。值得關(guān)注的是，大多數(shù)學(xué)生往往采取全盤否定，而不是尋找錯(cuò)誤的原因，從錯(cuò)誤走向成功。仔細(xì)分析錯(cuò)誤的過(guò)程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：中間四個(gè)數(shù)，有大小搭配和依次排列兩類填法（如上圖2、圖3所示）。第一類，1+4=2+3，找不到相同的數(shù)來(lái)搭配。第二類，圓內(nèi)已知兩個(gè)數(shù)的和分別是3、4、6、7，沒(méi)有連續(xù)性。而剩下的四個(gè)數(shù)5、6、7、8卻是連續(xù)的，因此無(wú)法搭配成功，只能使四個(gè)圈內(nèi)的和分別是：11、11、12、12。從第二種錯(cuò)誤中，我們能夠得出四個(gè)圈的總和是46，不是4的倍數(shù)。由此聯(lián)想到，要想填出正確的結(jié)果，就要增加四個(gè)圈的總和，也就是讓中間四個(gè)數(shù)的和增加2，改為1、2、3、6。然后再進(jìn)行嘗試。很容易得到正確的填法（如上圖4所示）。探究思路的過(guò)程并不全是邏輯，離不開(kāi)經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用，反思和調(diào)整，以及靈感般的頓悟。而學(xué)生最不擅長(zhǎng)的在于反思和調(diào)整，他們往往在失敗后往往是全盤否定原來(lái)的想法，再一次回到起點(diǎn)沿著另一條路走下去，思路也因此與他們失之交臂。

2.從笨方法入手。很多時(shí)候好的思路是從所謂的笨方法中發(fā)現(xiàn)出來(lái)的。如教材編排解決問(wèn)題的策略時(shí)，一一列舉的策略、畫圖策略和假設(shè)策略分別安排四年級(jí)下冊(cè)、五年級(jí)的上冊(cè)和六年級(jí)的上冊(cè)。實(shí)際上也存在著笨方法和巧妙思路的關(guān)系。比如，六年級(jí)上冊(cè)用假設(shè)法解決問(wèn)題的例題如下：

教材就是先利用畫圖策略和一一列舉的策略，來(lái)幫助學(xué)生提煉假設(shè)策略的。

畫圖和一一列舉對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是笨方法，但是學(xué)生在一一列舉的過(guò)程中，能夠體會(huì)到將一只小船調(diào)整成一只大船就可以多坐2人（反之少坐2人）。理解了這一點(diǎn)，也就很容易理解假設(shè)法的思路：比如假設(shè)租的10條船全是小船，一共可以坐10×3=30人，比總數(shù)42人少了42-30=12人，一只小船調(diào)整成一只大船就可以多坐2人，因此一共要租12÷2=6只大船，10-6=4只小船。使用笨方法的過(guò)程，是在獲取感性經(jīng)驗(yàn)，感性經(jīng)驗(yàn)充分了，自然會(huì)升華、抽象，不止步于笨方法，對(duì)笨方法進(jìn)行反思，巧妙的方法也就出來(lái)了。因此，我們要正確的看待笨方法，一味的找快捷方式往往會(huì)沒(méi)有出路的，多畫圖、多嘗試、多列舉，從已有的笨方法出發(fā)，巧妙思路才會(huì)不期而至。