在數學教學中培養學生的思維能力

常瑞豐

【關鍵詞】思維功能 思維能力 培養策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）07B-0049-02

傳統教育的弊端，在于培養了大量不會思維的學生，這一問題正逐漸引起人們的重視。數學是一門語言精練，抽象性、邏輯性極強的學科，數學的特性，決定了數學是培養學生思維嚴謹性、抽象性的最好途徑。因此，筆者認為必須充分發揮數學對培養學生思維能力的作用。

一、數學的思維功能

數學的思維功能由數學的特征所決定，它主要表現在以下幾個方面：

1.數學具有培養高度抽象思維的功能

與其他學科相比，數學具有更高層次的抽象性，它的抽象性僅保留量的關系和空間形式，而去掉了其他一切如物理屬性、化學屬性或生物屬性等，并且這種關系和形式完全符號化和形式化了。如數學模型與模式的區別：

金屬熱脹冷縮時，金屬棒的長度變化（Δl）與溫度變化（Δt）成正比。通過實際測定，某鐵棒在t1=0℃時，棒長l1=10.00米，在t2=10℃時，棒長為l2=10.05米，則相應的數學模型為：

=，即l=10+0.005t

從而可得鐵棒在t=50℃時相應的長度l=10+0.005×50=10.25（米）。

以上例子是把現實原型抽象成更為一般的一次函數y=kx+b（k≠0，b為常數），即由特定事物的“模型”過渡到純粹的量化“模式”。

由此可見，數學是培養人們善于抽象與概括，善于分析與綜合等優良思維品質的重要手段。

2.數學具有培養邏輯嚴謹性的功能

數學科學的真理性使數學必須具備高度的嚴謹性，來保證數學運算、證明、推理、理論體系等的真值傳遞；同時，現代數學的形式公理化，使數學對嚴謹性的追求，不僅僅表現在對數學符號語言、數學形式化的追求，還在于對邏輯嚴密性的追求。正因為如此，數學上經過嚴格證明了的結論總是正確的和無可爭辯的。由此可見，數學是培養人們思維條理性、嚴密性、科學性的重要工具。

例如，證明：若m，n1，n2∈R，且m=n1+n2+1，則方程х2+х+n1=0與х2+mx+n2=0中至少有一個方程有兩個不同的實數根。

其中P：m=n1+n2+1；

Q：x2+x+n1=0有兩個不同的實數根；

R：x2+mx+n2=0有兩個不同的實數根。

于是可證明如下：

假設方程x2+x+n1=0沒有兩個不同實根（即），則△=1-4n1≤0?n1≥。為證方程x2+mx+n2=0有兩個不同實根（即R），只需證m2-4n2>0。

事實上，m2-4n2=（n1+n2+1）2-4n2=n22+2（n1-1）n2+（1+n1）2（這里使用了條件P），上式是n2的二次三項式，其△=4（n1-1）2-4（1+n1）2=-16n1<0，即有m2-4n2>0成立，故結論為真。

3.數學具有培養辯證思維的功能

數學中存在著許多對立統一的關系。數學的辯證性特征決定了數學思維方法具有培養人們辯證思維能力的功能。在數學中，辯證法的三條基本規律得到了合理的、邏輯的解釋和證明。

其中，極限方法是辯證法運用于數學的典型例證，下面我們通過求導數進行分析。求導數時，第一步，在x0的附近求出函數f（x）的平均變化率（導數的近似值）；第二步，讓x0的區間向x0收縮；第三步，在有限收縮的基礎上經歷一個無限收縮過程，實現了由量變到質變的飛躍，從而得到函數在x0的導數y′=[][Δx→0]。

由此可見，求函數導數的過程是否定之否定的過程，是量變與質變的過程，是有限與無限矛盾轉化的過程。

二、數學教學中對學生思維能力的培養

數學知識是數學思維活動升華的結果，數學教學活動就是數學思維活動的過程。因此，通過數學教學培養學生的思維能力顯得尤為重要，在數學教學中要特別注意以下問題：

1.以問題解決為核心進行思維能力的培養

數學因問題而生，數學的目的則是解決問題。由于數學思維是解決數學問題的心智活動，它總是指向問題的變換，表現為不斷地抽出問題、分析問題和解決問題。學生思維能力的發展，最令人信服的指標就是問題解決能力的提高，所以數學課對學生思維能力的培養，不但要通過解決問題來實現，而且最終以問題的解決為目的。這是數學同其他學科相比，在思維能力培養方面一個最為明顯的特征。按照波利亞解題理論，解題過程可分成四個步驟：弄清問題，制訂計劃，實行計劃，回顧。

例如，已知{an}是等差數列，a4+a6=6，其前5項和S5=10，則其公差是多少？

（1）弄清問題

問題：要求的是什么？——d

問題：已知些什么？——a4+a6=6，S5=10

（2）制訂計劃

an=am+（n-m）dd=。

問題：怎樣才能確定an，am？

說明：由S5===10可得a3=2。

問題：a4+a6=6與a3有何關系呢？

說明：由a4+a6=6得（a3+d）+（a3+3d）=6則可得d。

（3）實行計劃

由S5===10可得a3=2。

由a4+a6=6得（a3+d）+（a3+3d）=6

因此，d=。

（4）回顧

“你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這一結果或方法應用于其他問題？”

從這個例子可以看出，解題過程就是把問題轉化為已熟悉的問題或知識，借助已有的知識和經驗，使問題獲得解決。數學課并非專門、孤立地解決數學問題，而應以解決問題為途徑，把審題、明確思路、解題、反思這四個方面的思維能力滲透到數學教學的整個過程中，以提高這四種能力為基礎，提高學生的問題解決能力和數學思維能力。

2.重視對學生非邏輯思維能力的培養

目前，高中數學教學比較重視學生運算能力、定向思維能力及邏輯思維能力的培養，而對學生非邏輯思維能力的培養則較為缺乏。所謂邏輯思維方法就是在邏輯規則的控制下，從一定的前提出發，找出與之有聯系的依據，循序漸進，連續推導的線性思維方法。正因如此，邏輯思維往往難以獲得突破性的創新。與此相反，想象、直覺與頓悟等非邏輯思維，不受邏輯規則條條框框的限制，它們相互交叉，思路靈活，容易轉移，形成一種放射式的非線性思維方式。它能直接地獲得突破性的創新。因此，在數學教學中要重視對學生非邏輯思維能力的培養。

在日常的數學教學中，首先，教師要注意積累發散性的問題，通過創設問題情境，促進智力探索，形成創造性數學思維；其次，要有意識地進行討論式、探究式等課堂教學改革的嘗試，啟發學生積極思維、主動探索數學真理，激發學生思維的活力。

在學科教學中，教師和學生往往容易把注意力放在知識的積累上而忽視了思維能力的培養和發展。隨著我國課程改革的全面展開，教師應肩負起培養學生的思維能力的重任，把思維能力的培養與具體的學科教學有機結合起來，使學生成為有思想的人。

（責編 林 劍）