在低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型的嘗試

朱國(guó)榮

【關(guān)鍵詞】低年級(jí) 數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)模型

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）07A-0033-02

有個(gè)相聲這么評(píng)判解決問(wèn)題中的工程問(wèn)題：

甲：你說(shuō)小學(xué)六年級(jí)，你弄那么難的功課干嗎？說(shuō)一大水池子，大水池子要灌水。要是開(kāi)灌水管兒的話，十五個(gè)小時(shí)給弄滿了；要開(kāi)那個(gè)排水管的話呀，二十四個(gè)小時(shí)排完。問(wèn)倆管子一起開(kāi)，幾小時(shí)灌滿？你這不吃飽了撐的嗎？

乙：怎么啦？

甲：國(guó)家水那么緊張，你灌水放那排水管子干什么呀？

確實(shí)有人質(zhì)疑：日常生活中，有誰(shuí)會(huì)同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管呢？其實(shí)，用一種模型的觀念來(lái)審視，家庭的收入和支出、地鐵站人們的進(jìn)出站檢票問(wèn)題和水池的進(jìn)水出水是同一個(gè)模型。情境、素材只是表面的，模型才是最為根本的。正如2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。”數(shù)學(xué)建模及教學(xué)研究在大學(xué)開(kāi)展得較多，在中學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模處于探索階段。在小學(xué)階段來(lái)研究數(shù)學(xué)建模是否可行？在小學(xué)階段尤其是低年級(jí)課堂中，如何開(kāi)展“數(shù)學(xué)建模”活動(dòng)？這是值得教育者思考的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，在于它突出地表現(xiàn)了對(duì)原始問(wèn)題分析、假設(shè)、抽象的數(shù)學(xué)加工過(guò)程。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模，就是不斷讓小學(xué)生從具體事例或現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)逐步抽象、概括建立起某種模型，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感受，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。本文試從三個(gè)教學(xué)片段來(lái)說(shuō)明如何在低年級(jí)課堂中建立數(shù)學(xué)模型。

一、在舉例中建立方法模型

【教學(xué)片斷】蘇教版一年級(jí)下冊(cè)《比較數(shù)的大小》

1.探究十位不同的兩位數(shù)如何比大小。

師：大家知道46和37，誰(shuí)比較大嗎？

生：46>37。

師：你們是怎么比的呢？

生：46里面有4個(gè)十，37里面只有3個(gè)十，所以46大于37。

師：說(shuō)的真好。這是四十多（課件：4□），這是三十多（課件：3□）你知道誰(shuí)大嗎？

生：4□>3□。

師：同學(xué)們能舉出一些例子嗎？

生1：42>39。

生2：41>36。

師：能不能舉出一個(gè)例子是4□不大于3□？為什么？

生：不能。

師：那你還知道四十多還大于幾十多嗎？（課件：4□>□□）

生：四十多大于二十多，一十多。

師：真聰明，大家還能想到什么？幾十多也大于三十多呢？（課件：□□〉3□）。

生：只要十位比三大就行了。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)比較兩位數(shù)大小的方法了。

在這個(gè)片斷中，教師并沒(méi)有刻板地揭示“比較兩位數(shù)的大小，十位上大的那個(gè)數(shù)比較大”，而是通過(guò)一系列的比較，不斷地抽象，進(jìn)行了具體層面上的舉例驗(yàn)證，為以后三位數(shù)、多位數(shù)的比較數(shù)的大小打下基礎(chǔ)，更重要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想。舉例的過(guò)程是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程，是學(xué)生思維從無(wú)序到有序、由具體到抽象、從感性到理性思考的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是逐步數(shù)學(xué)化的過(guò)程，是建構(gòu)比較方法的過(guò)程，是建模的過(guò)程。

尤為值得稱贊的是，這個(gè)建模過(guò)程相當(dāng)自然，也甚為貼切低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)——由具體、形象的實(shí)例開(kāi)始，不斷地將實(shí)例的范圍擴(kuò)大，建立了適合一年級(jí)學(xué)生理解的方法模型。這種模型沒(méi)有文本化，沒(méi)有符號(hào)化，而是感性的，同時(shí)也有一定的概括性。

二、在操作中建立關(guān)系模型

【教學(xué)片斷】蘇教版二年級(jí)下冊(cè) 《求比一個(gè)數(shù)多幾少幾的數(shù)》

例：小英擺了11個(gè)花片，小華比小英多擺3個(gè)，小華擺了多少個(gè)花片？

師：不如我們也來(lái)像他們一樣擺一擺花片吧。先想一想你準(zhǔn)備先擺誰(shuí)？小華的花片你準(zhǔn)備怎么擺？

（生操作后匯報(bào)。）

師：大家先擺誰(shuí)的？怎么擺？

生：我先擺的是小英的。擺11個(gè)。

師：那小華的怎么擺？

生：先和小英擺一樣多，再多擺三個(gè)。

（師動(dòng)畫演示。）

師：小華擺了多少個(gè)？你們是怎么知道的？

生1：我是數(shù)的。

生2：可以從11接著數(shù)下去。

生3：我是列式計(jì)算的：11+3=14（個(gè)）

師：為什么用11+3=14？

生：小華比小英多三個(gè)，要先和小英擺一樣多，再擺三個(gè)，所以小華擺了14個(gè)花片。

師：如果小方比小英多擺4個(gè)，小方應(yīng)該怎么擺？要擺多少個(gè)呢？

生：11+4=15（個(gè)）

師：怎么想的？

生：小華比小英多4個(gè)，要先和小英擺一樣多，再加上4個(gè)，所以小華擺了15個(gè)花片。

師：小麗比小英多擺8個(gè)，你能不擺花片，說(shuō)一說(shuō)小麗的花片應(yīng)該怎么擺？怎么算小麗擺的個(gè)數(shù)？

（同桌討論后匯報(bào)。）

師：小偉比小英多擺a個(gè)，小偉怎么擺的？你能用式子表示小偉擺了多少個(gè)嗎？

這節(jié)課中操作分為以下幾個(gè)層次：操作的第一層次，理解誰(shuí)是比較的標(biāo)準(zhǔn)以及通過(guò)操作直觀呈現(xiàn)對(duì)“小華比小英多擺3個(gè)”的意思，體會(huì)小華畫片的個(gè)數(shù)是由兩部分組成的。第二層次，進(jìn)一步感知積累類似經(jīng)驗(yàn)。第三層次，擺脫直觀，利用表象思維。第四層次，抽象出關(guān)系，建立模型。

通過(guò)“小華多的個(gè)數(shù)”“小方的個(gè)數(shù)”等不同變式的呈現(xiàn)，使學(xué)生初步感知比一個(gè)數(shù)多幾的“模型”，雖然問(wèn)題的情境在變化，但問(wèn)題的本質(zhì)——數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系是不變的。學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中逐漸形成求比一個(gè)數(shù)多幾及其解題策略體系“就用這個(gè)數(shù)加幾”，初步建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。教師引導(dǎo)學(xué)生不停變換題型，使學(xué)生的思維在不斷的內(nèi)省、自悟中得到提升，自主建構(gòu)比一個(gè)數(shù)多幾的關(guān)系模型也便水到渠成了。

三、在比較中建立概念模型

【教學(xué)片斷】蘇教版三年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》

例1：分4個(gè)蘋果。

師：把一盤蘋果平均分成2份，每份是這盤蘋果的幾分之幾？（出示課件。）

生：。

師：盤子里幾個(gè)蘋果還不知道呢，你們?yōu)槭裁炊颊J(rèn)為每份是這一盤的？

生：因?yàn)槭前堰@盤蘋果平均分成了2份，每一份就是這盤蘋果的。

師：想知道盤子里幾個(gè)蘋果嗎？（出示課件并填空。）

生：每份是這盤蘋果的，每份有（2）個(gè)蘋果。

例2：分6個(gè)蘋果和分12個(gè)蘋果。

第二次分6個(gè)蘋果與第一次分4個(gè)蘋果的處理方法相同，教師采取先不出示蘋果的個(gè)數(shù)，用遮擋的方法加強(qiáng)一盤蘋果整體性，得出“每份是一盤蘋果的”結(jié)論之后再掀開(kāi)幕布，進(jìn)一步積累類似經(jīng)驗(yàn)。

第三次分蘋果則采取是直接出示12個(gè)，讓學(xué)生平均分成兩份，學(xué)生已有初步模型，不再遮擋也能將一盤蘋果看成一個(gè)整體，得出“每份是一盤蘋果的”。

例3：3幅圖集中呈現(xiàn)，在比較中求同存異，建立的分?jǐn)?shù)模型。

師：剛才我們分了3盤蘋果，這3盤蘋果的個(gè)數(shù)一樣嗎？

生：一盤4個(gè)，一盤6個(gè)，一盤12個(gè)，不一樣。

師：平均分后每份的個(gè)數(shù)一樣嗎？

生：不一樣。

師：每盤蘋果的總數(shù)不同，每份個(gè)數(shù)也不一樣，為什么每份蘋果都可以用來(lái)表示呢？

生：它們都被平均分成了2份，只要平均分成2份，每份就是它們的。

在“把一些物體平均分成幾份”的教學(xué)中，教師并沒(méi)有在一個(gè)例題上停住腳步，而是一次列舉了三盤不同個(gè)數(shù)的蘋果，這是在“存異”，在多個(gè)不同的案例中逐步清晰抽象出學(xué)生對(duì)二分之一的認(rèn)識(shí)，但是精彩之處是最后的“求同”，為什么他們都可以用二分之一來(lái)表示？這個(gè)問(wèn)題去除了二分之一所有非本質(zhì)特征，保留了其本質(zhì)特征：平均分成2份，從而建立了這個(gè)分?jǐn)?shù)的模型：只要平均分成2份，每份就是它們的。

這個(gè)模型的建立過(guò)程，教師沒(méi)有給分?jǐn)?shù)下定義，而是結(jié)合具體的例子，通過(guò)比較，在求同存異中讓學(xué)生對(duì)這個(gè)分?jǐn)?shù)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，有了這樣的理解，不光是在對(duì)這個(gè)具體分?jǐn)?shù)的層面上的認(rèn)識(shí)，也能夠輕而易舉推及對(duì)其他分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。

如上所述，數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，在于它更突出地表現(xiàn)了原始問(wèn)題的分析、假設(shè)、抽象的數(shù)學(xué)加工過(guò)程。從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，是建立模型的出發(fā)點(diǎn)；用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，是建立模型的過(guò)程；求出模型的結(jié)果并討論結(jié)果的意義，是求解模型的生成。

低年級(jí)建模的嘗試，讓我們看到了數(shù)學(xué)的抽象美，感受到數(shù)學(xué)的深刻性，學(xué)生可以從小就受到“數(shù)學(xué)化”的熏陶。

（責(zé)編 韋 欣）