豎直平面內圓周運動的兩個模型和拓展應用

崔業君

圓周運動是高中物理的重要內容，在高一力學教學中，一般對水平面內圓周運動和豎直平面內的圓周運動兩種情況進行實例分析和研究。物體在豎直平面的圓周運動，是學生普遍感到難學難懂的地方，筆者在多年教學中感到，物體在豎直平面內做圓周運動，如果教學中能夠透徹地作出分析，讓學生理解掌握兩類模型，就可以解決豎直平面內圓周運動的這個難題。

物體在豎直平面內圓周運動的兩類模型：繩拉小球在豎直平面內的圓周運動和輕桿帶小球在豎直平面內的圓周運動，兩者的區別是前者繩子只能對運動的小球產生拉力作用，后者輕桿對運動的小球可以有拉力，也可以有支持力作用。

這兩個模型都是變速圓周運動，運動過程復雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的位置——最高點和最低點。本文只討論較難的最高點的情況。

一、繩拉小球在豎直平面內的圓周運動模型

如圖1所示，運動小球在一輕繩的作用下繞中心點作豎直平面內的圓周運動。

（1）質點過最高點的臨界條件的分析：由于繩子只能 “提供”向里（向心）的拉力，小球在最高點受到向下的重力和繩的拉力，若小球達到最高點時繩子的拉力剛好為零，其合力最小，合力的最小值即等于物體的重力，小球在最高點的向心力全部由小球的重力來提供，即mg=m， vmin=。

在最高點，當v> 時，小球做圓周運動所“需”向心力大于重力，重力不足以提供所需向心力，小球向外遠離圓心，繩產生拉力；繩的拉力和重力的合力提供向心力，即F+mg=m。

上式中vmin=是質點通過最高點的最小速度，叫臨界速度；

（2）質點過最高點的臨界條件：由上所述，可以得出臨界條件為V≥；

（3）不能過最高點條件，V<；實際上小球還沒有到最高點時，就脫離了圓軌道，在教學中，可向學生演示這一現象，效果明顯，比較有說服力。

模型拓展：這個模型可以拓展到其他情形，如小球在豎直（光滑）圓弧軌道內側的圓周運動，水流星的運動，過山車運動等，這些實例中，做圓周運動物體受力情形與豎直平面內的圓周運動的輕繩拉小球完全相同（如圖1）。

應用實例1： 繩系著裝水的水桶，在豎直平面內做圓周運動，水的質量m= 0.5kg，繩長L= 40cm，求：（1）為使桶在最高點時水不流出，桶的最小速率？（2）桶在最高點速率v= 3m/s時，水對桶底的壓力？

解析：（1）在最高點水不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需的向心力。即：mg≤m，則最小速率 v0==m/s = 2m/s；

（2）水在最高點速率大于v0 時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的壓力，設為F，由牛頓第二定律有F + mg =m， F = m-mg = 6.25N，由牛頓第三定律知，水對桶底的作用力F'=F = 6.25N，方向豎直向上。

二、輕桿帶小球在豎直平面內的圓周運動

如圖2所示，運動小球固定在輕桿上，在輕桿的作用下，繞中心點作豎直平面內的圓周運動，由于輕桿能對小球提供向里（指向圓心）拉力，也能提供向外（背離圓心）支持力，所以小球過最高點時受的合力可以為零，小球在最高點可以處于平衡狀態。所以小球過最高點的最小速度為零。

（1）當時v=，重力剛好提供小球做圓周運動所需要向心力，即mg =m，桿對球無作用力，F=0；

（2）當v≥，小球的重力不足以提供向心力，此時桿的作用相當于繩，桿對小球有指向圓心的拉力，由F+mg=m得出拉力隨速度的增大而增大；

（3）當0

（4）當v=0時，由上式可得出輕桿對小球有豎直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即FN =mg 。

模型拓展：這個模型可以拓展到其他情形，如小球在豎直平面內的（光滑）圓管內運動，小球套在豎直圓環上的運動等，其受力情況與豎直平面內輕桿帶小球的圓周運動完全相同（如圖3）。

應用實例2：如圖4所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置，AB段平直，質量為m的小球以水平初速度v0射入圓管。

（1）若要小球能從C端出來，初速度v0多大？

（2）在小球從C端出來瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況，初速度v0各應滿足什么條件？

解析：（1）小球恰好能達到最高點的條件是v臨=0，此時需要初速度為v0，由機械能守恒 ：mv02=mg2R， 得v0=， 因此要使小球能從C端出來需vC>0，故入射速度v0>；

（2）小球從C出來端出來瞬間，對管壁壓力可以有三種典型情況：

①剛好對管壁無壓力，此時重力恰好充當向心力，由圓周運動知識mg=m由機械能守恒定律：mv02=

mg2R+mvC2， 聯立解得；

②對下管壁有壓力，此時應有mg>m，相應的入射速度應滿足

③對上管壁有壓力，此時應有mg。