在數學的美感中漫溯培養學生創新思維

史小琴

數學中處處蘊涵著美——形式的美與內容的美，內隱的美與外顯的美，婉約的美與奇異的美，獨立的美與統一的美。這些美自然而不造作，高貴而不庸俗，沉穩而不浮躁，冷峻中不失靈動，奇異中又不乏和諧。這些美反映了一種自然的秩序與規律。數學美是蘊藏于它所特有的抽象概念、公式符號、命題模型、結構系統、推理論證、思維方法之中的簡單、和諧、奇異、統一等形式，它是數學創造的自由形式，它揭示了規律性，是一種科學的真實美。在數學學習的過程中，要讓我們的學生體驗數學之美，激發學習數學的興趣，提高學生的數學素養，從而提高學生的綜合能力。數學中，美的因素是多方面的、具體的、意義深刻的，其主要表現在以下四方面。

一、數學的簡潔美

愛因斯坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。數學中絕大部分公式其形式都非常簡潔，且其內涵非常豐富。如歐拉公式：V-E+F=2，曾獲得“最美的數學定理”的稱號。世間有多少多面體，我們都說不清楚，但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式。一個這么簡單的公式，給出了無數多面體的共同特性，真令人驚嘆不已。

數學圖形也非常簡單、優美。如華東師大版初一數學（上）第一章P13第六題：請以給定的圖形“OO、△△、=”（兩個圓、兩個三角形、兩條平行線）為構件，構思獨特且有意義的圖形，并寫一兩句貼切、詼諧的解說詞。學生中有很多意義豐富、構思巧妙的圖形，如“戰車、風箏、笑臉、棒棒糖”等。通過此題，學生為這么簡單的幾個圖形能構成美麗的圖案而感到驚奇，從而大大提高他們學習數學的興趣。

高斯曾說：“去尋求一種最美和最簡潔的證明，乃是吸引我去研究的動力。”數學語言和數學符號（如△⊙）就非常簡潔，通過數學語言和數學符號的運用，使數學題的推理過程表達準確、簡明且邏輯性強。一道數學題的解法往往不止一種，而有的解法比較繁復且使得解題的過程較長，在數學簡潔美的驅使下，使我們不滿足于會做這道題，而要想有沒有簡單明了的解法，從而進行更深入的研究。研究過程可使我們更深入地理解數學，而簡單解法的得出則能使我們從中得到成功的喜悅，從而對數學也有了更大的興趣。

二、數學的和諧美

希臘數學家裴安說：“和諧美是雜多的統一，是對立的協調，經過數學變化出現了一種統一的均衡美。” 西方有一句名言：部分與部分及部分與整體之間的協調一致就是美。據此，應用比例的方法，人們找到了造型藝術中具有美學價值的黃金比，并稱之為“黃金分割”或“黃金律”。維納斯像與女神雅典娜像就是美的比例，美的分割，它的下身與全身之比都接近0.618，人體天生有自然美，它的比例也符合“黃金律”。所以用黃金分割點來分割線段，被認為是分割線段中最優美、最令人賞心悅目的點，它所表現出的協調美，是和諧統一的美的典范。

數學中的對稱性，也可看成是數學和諧美的一種體現。數學中的對稱，幾乎無處不在。有幾何圖形的對稱性，如正多邊形、圓、拋物線等都是軸對稱圖形，各種圖案和線條構成的圖形很多都是對稱圖形，如中國銀行、中國工商銀行的標志都是軸對稱圖形。有代數中的對稱性，如一些公式的對稱性、楊輝三角的對稱、對稱的多項式、條件的對稱性及結論的對稱性。數學中的對稱，能使我們欣賞生活中美的圖形，提高我們的審美能力，使我們更加熱愛生活，感受到數學跟我們的生活息息相關，從而更加熱愛數學。

三、數學的奇異美

數學中新穎的結論、出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現出一種獨特和令人驚訝的奇異美。如，對于任意三角形，它們的三條中線（或高線、角平分線、三條邊的垂直平分線）都分別交于一點，這并非是一種巧合，顯示了一種奇巧美。

數學中的反證法，也可以看成奇異美的一種體現，從正面的方向不行，則從反面出發往往會得到意想不到的效果。比如，要證明■是無理數，如果直接證明的話無從下手，我們從反面出發，反設■是有理數，然后進行證明。我們會發現，反設不成立，即原命題成立。通過從反面出發，使問題迎刃而解，而且構思巧妙，給人一種奇異的美感。

一條輔助線的添加，可以使一道難題的證明豁然開朗。巧妙的解題方法，無不令人心頭有一種獨特、一種驚訝奇異的感覺。比如，四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別為DC、AB的中點，直線EF分別與BC、AD的延長線交于G、H，求證∠AHF=∠BGF。

分析：粗看題目，條件很散，但如聯結AC，取AC的中點M，聯結WM、FM，利用中位線的性質把條件都集中在△MEF中，問題就得到解決了。這種證明方法，也體現了一種奇特的、令人震撼的美。

四、數學的統一美

數學的統一美，指的是部分和部分、部分和整體之間的和諧一致。數學中的代數和幾何，分別研究的是數與形，但是通過直角坐標系的建立，把代數研究的對象和幾何研究的對象通過方程和曲線聯系在一起，實現了統一。矩形、菱形、正方形都可看做是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形所具有的性質它們也都具有，這樣就比較容易記住它們的共性。

橢圓、雙曲線和拋物線是三種不同的曲線，但可以對它們統一定義為：到定點距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡。當e<1時，形成的是橢圓；當e>1時，形成的是雙曲線；當e=1時，形成的是拋物線。這樣，通過一個定義，使形狀完全不同的三種曲線得到了完美統一。

從數的發展規律來看，數的發展將日益證明數學的統一性。從最早的只有正整數和零，發展成正數和零，初中先是引入了負數把數擴充為有理數，又引入了無理數把數又擴充為實數，到以后還有復數等都是相應的許多具體數學內容統一的結果。數學的發展還促進了科技的發展，促進了人類的進步。

數學美廣泛存在數學的各個領域中，關鍵是要善于發現。數學美是蘊藏于它所特有的抽象概念、公式符號、命題模型、結構系統、推理論證、思維方法之中的簡單、和諧、奇異、統一等形式，它是數學創造的自由形式，它揭示了規律性，是一種科學的真實美。在數學教學中，我們要充分挖掘這些包含有數學美的素材，著重挖掘數學教材中形象、直觀、巧妙等美的因素，使數學美深入學生的身心，留下美好的印象，并逐漸形成對數學美、符號美、圖形美的初步感受能力。要注意美的熏陶、啟發，發掘數學之美，培養學生的創新思維品質。讓學生在數學學習的過程中體驗和感受數學的美，激發學生學習數學的欲望，提高學生的學習興趣，培養學生的審美情趣。