高考平面幾何題的一種解題策略

趙志強 顧棟明

摘 要： 在新課程標準體系下，平面幾何被列入高中數學選修課程，平幾題成為高考必考的題型。把具體的平面幾何題目的求解放在一種策略指導下進行，不失為實踐新課程標準強調的、教學理念變“知識為本”為“育人為本”的好方法.這種解題策略強調把求證結論作為目標元素、問題的主要矛盾優先考慮，把已知條件作為條件元素，用事物間聯系的觀點分析思考，建立兩者之間的聯系，最終解決問題.

關鍵詞： 高考 平面幾何題 解題策略

在新課程標準體系下，平面幾何被列入高中數學選修課程，與之對應的是它成為高考內容.下面筆者舉例談談高考平面幾何題的解題策略.

這種解題策略是基于力求體現新課程標準強調的教育思想，即由“知識為本”向“育人為本”教學理念的轉變.新課程標準在要求注重學生問題的分析與解決能力培養的基礎上，強調問題的發現與提出能力的培養.

平面幾何教學內容雖然傳統古老，但對學生的邏輯思維能力的訓練有著特殊的作用，其作為現代教育內容，仍然具有生命力，新課程標準將其列為選學內容.然而，不能再一味采用講究題型、強調類別方法的傳統教學方法上.為了使平面幾何的教學發揮培養邏輯思維、推理能力的特殊功能，要積極探索體現“育人為本”教育思想的新教學方法，努力把新課程標準的理念滲透到具體的教學環節中.把具體的平面幾何題目的求解放在一種策略指導下進行，強調對題中的已知條件元素與求證目標元素運用聯系的觀點分析，并把目標元素放在優先考慮的地位，不失為一種值得實踐的好方法.

傳統平面幾何題的結構是：在已知圖形下，給出若干元素具備某種條件，可稱之為條件元素，再提出要論證相關元素具有某種特定的結論，可稱之為目標元素.

這種策略的具體操作是，結合圖形，借助其性質，對已知元素與目標元素用事物間有相互聯系的觀點去分析，對目標元素用解決問題抓主要矛盾的方法去優先考慮.由因探果，思維竭力將已知元素的發散向目標元素靠攏；執果索因，思維盡力匯聚到與已知元素的關聯點上；把這種發散與匯聚始終置于已知圖形的大背景下，既要善于拓展其隱含條件，更要始終把目標元素置于優先考慮的聯系中.在這種策略下，使學生積累思想的感悟和經驗，提高素質.

縱觀幾年來各地的高考題，在體現新課程標準下選學平面幾何的意圖中，全國卷、江蘇卷具有一定的代表性.下面以2013年的試題為例作分析.

例1：（2013，江蘇卷高考題）如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D、C，AC經過圓心O，且BC=2OC，求證：AC=2AD.

思考分析：由AB和BC分別與圓O相切于點D、C，易知∠BCA=90°，∠ADO=90°.優先考慮目標元素：AC=2AD，并企圖與條件元素BC=2OC建立聯系，這時就會考慮把它們放置在相應的三角形中，△ACD與△BCO或△ABC顯然不妥；在目標元素引導下，會注意到AC、BC是在△ACB中，對應的自然應有△ADO.于是，因為∠ACB=∠ADO=90°，∠BAC=∠OAD，所以△ACB∽△ADO，則有=，又BC=2OC，OC=OD，得AC=2AD.

例2：（2013，全國卷高考題）如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE=DC·AF，B、E、F、C四點共圓.

（1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；

（2）若DB=BE=EA，求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.

思考分析：（1）優先考慮目標元素：CA是△ABC外接圓的直徑，則∠ABC要為直角，聯系到CD為△ABC外接圓的切線，得∠DCA應該是直角，所以只要證∠ABC=∠DBC=90°.

由已知BC·AE=DC·AF想到轉化為比例式=，尋求△BDC∽△FEA，由于DC為△ABC外接圓的切線，得∠BCD=∠FAE，這樣△BDC∽△FEA顯然成立，就有∠DBC=∠EFA.又已知B、E、F、C四點共圓，∠EFA=∠ABC，那么∠DBC=∠EFA=∠ABC，因為∠DBC+∠ABC=180°，所以∠ABC=∠DBC=90°，結論得證.

（2）由目標元素“求兩圓面積比”可知，要求此兩圓的半徑（或直徑）的平方比.因為∠ABC=90°，所以CE是過B、E、F、C四點的圓的直徑.問題就變為求CE與AC的平方比.

注意到DB=BE=EA=a，∠ABC=90°，得CB⊥DE，則CD=CE.又CD為△ABC外接圓的切線，CA為其直徑，則∠ACD=90°.根據射影定理有：CD=DB·D=3a，CA=AB·AD=6a，所以，所求兩圓面積比是1∶2.

通過上例，我們進一步認識到這種解題策略的核心.抓住目標元素這一解決問題的關鍵，努力向已知元素靠攏，建立起兩者的聯系；對已知元素，層層剖析、包括其隱含特性，取其為目標元素服務的東西.在過程中，不時提出假設，并及時否定不適合的、肯定有用的，最終使問題得解。

參考文獻：

[1]趙志強，顧棟明.高考平面幾何問題的應對策略.高中數學教與學，2013（2）.