偽蒙特卡羅法及其在邊坡可靠度分析中的應(yīng)用

褚雪松　李亮

摘要：在確定具有最小可靠度指標(biāo)的滑動(dòng)面（即臨界可靠度滑動(dòng)面）時(shí)，由于常規(guī)的蒙特卡羅法抽樣耗時(shí)巨大，臨界可靠度滑動(dòng)面的獲得較為耗時(shí)。對(duì)于均質(zhì)邊坡，利用簡(jiǎn)化Bishop法構(gòu)建了可靠度分析的功能函數(shù)，設(shè)計(jì)了6種隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差組合，假定了隨機(jī)變量的4種抽樣范圍，利用抽樣次數(shù)較小的蒙特卡羅法即偽蒙特卡羅法對(duì)隨機(jī)生成的132組可行滑動(dòng)面進(jìn)行了偽可靠度指標(biāo)的計(jì)算并與蒙特卡羅法計(jì)算得到的可靠度指標(biāo)進(jìn)行了比較分析，研究發(fā)現(xiàn)：只有一個(gè)隨機(jī)變量的前提下，滑動(dòng)面的偽可靠度指標(biāo)與蒙特卡羅法計(jì)算的可靠度指標(biāo)呈完全線性關(guān)系，在其它條件相同的情況下，偽蒙特卡羅法抽樣范圍越大，偽可靠度指標(biāo)與蒙特卡羅法計(jì)算的可靠度指標(biāo)之間的擬合直線斜率越小，反之亦然；偽蒙特卡羅法抽樣次數(shù)越大，偽可靠度指標(biāo)與蒙特卡羅法計(jì)算的可靠度指標(biāo)之間的擬合直線斜率越大，反之亦然。對(duì)均質(zhì)邊坡，可應(yīng)用偽蒙特卡羅法快速計(jì)算其臨界可靠度指標(biāo)。

關(guān)鍵詞：邊坡穩(wěn)定；可靠度分析；極限平衡法；蒙特卡羅法

中圖分類號(hào)：TU441文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：16744764（2013）06003307

目前邊坡穩(wěn)定性分析中，雖然基于極限平衡方法（諸如簡(jiǎn)化Bishop法[1]、SARMA法[2]、摩根斯坦普萊斯法[3]以及不平衡推力法[4]）的確定性分析仍然在工程中廣泛應(yīng)用，但邊坡穩(wěn)定可靠度分析也越來越受到巖土工程界的關(guān)注。與確定性分析僅能得到關(guān)于滑動(dòng)面的一個(gè)安全系數(shù)不同，可靠度分析能得到關(guān)于滑動(dòng)面的安全系數(shù)均值及標(biāo)準(zhǔn)差，所以能更合理地評(píng)價(jià)邊坡的穩(wěn)定性。邊坡可靠度分析與傳統(tǒng)的極限平衡方法是密切相關(guān)的，當(dāng)前可靠度分析中所需要的功能函數(shù)一般是基于極限平衡方法構(gòu)建的，對(duì)于給定的某個(gè)滑動(dòng)面，可采用蒙特卡羅法[510]、一次二階矩法[1113]、響應(yīng)面法[14]等來計(jì)算其可靠度指標(biāo)（或者失效概率），幾種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，譬如蒙特卡羅法可避免求偏導(dǎo)數(shù)等復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，但是抽樣次數(shù)一般較大，與滑動(dòng)面的失效概率有關(guān)，失效概率越小，抽樣次數(shù)越大[5]；一次二階矩法僅需要隨機(jī)變量的均值和方差即可進(jìn)行可靠度指標(biāo)的求取，然而卻需要多次與多層的迭代；響應(yīng)面法是一種近似模擬功能函數(shù)的方法，或者說是一種便于功能函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的途徑。在邊坡可靠度分析中，最終需要確定具有最小可靠度指標(biāo)的滑動(dòng)面（稱之為臨界可靠度滑動(dòng)面，下同），臨界可靠度滑動(dòng)面的確定步驟與具有最小安全系數(shù)滑動(dòng)面（稱之為臨界滑動(dòng)面，下同）的確定類似，適用于臨界滑動(dòng)面確定的許多搜索方法（譬如傳統(tǒng)的網(wǎng)格法、窮舉法以及近期發(fā)展的智能方法等）均可以用于臨界可靠度滑動(dòng)面的搜索中[5]。兩者的區(qū)別在于，臨界滑動(dòng)面的獲取僅需要幾分鐘甚至更小的時(shí)間，然而臨界可靠度滑動(dòng)面的確定卻非常耗時(shí)，其原因是顯而易見的，譬如蒙特卡羅法的上千、萬次的抽樣（每一次抽樣意味著一次安全系數(shù)的計(jì)算），以及一次二階矩法的多層迭代等。為了快速地對(duì)邊坡進(jìn)行可靠度分析，往往先得到臨界滑動(dòng)面，然后再對(duì)臨界滑動(dòng)面進(jìn)行一次可靠度指標(biāo)的計(jì)算作為評(píng)價(jià)之用，這就導(dǎo)致臨界可靠度滑動(dòng)面與臨界滑動(dòng)面是一致的，但顯然這是不符合工程實(shí)際的，本文針對(duì)均質(zhì)邊坡探索一種快速確定臨界可靠度滑動(dòng)面的方法。褚雪松，等：偽蒙特卡羅法及其在邊坡可靠度分析中的應(yīng)用1臨界可靠度滑動(dòng)面的確定

臨界可靠度滑動(dòng)面確定的第1步是如何從數(shù)學(xué)上描述潛在滑動(dòng)面，作為一般情況，可假定潛在滑動(dòng)面為任意形狀滑動(dòng)面，筆者曾對(duì)數(shù)種可行的構(gòu)造方法進(jìn)行了比較分析[15]。本文針對(duì)均質(zhì)邊坡進(jìn)行，因此可假定滑動(dòng)面為圓弧，需要3個(gè)變量確定一條滑動(dòng)面；

第2步就是采用一種方法計(jì)算可行滑動(dòng)面的可靠度指標(biāo)，譬如蒙特卡羅法、一次二階矩法等。本文假定隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，利用蒙特卡羅法計(jì)算其可靠度指標(biāo)，功能函數(shù)為g=Fs-1，F(xiàn)s可以是任意一種極限平衡方法得到的安全系數(shù)，本文用簡(jiǎn)化Bishop法[1]計(jì)算功能函數(shù)中的安全系數(shù)；

第3步就是變化潛在滑動(dòng)面尋求臨界可靠度滑動(dòng)面的策略，即搜索算法。關(guān)于搜索算法，目前算法種類繁多，本文選用簡(jiǎn)單易行的和聲搜索算法[16]進(jìn)行，關(guān)于和聲搜索算法在邊坡穩(wěn)定分析中的具體應(yīng)用可參見文獻(xiàn)[17]。2偽蒙特卡羅法抽樣

2.1蒙特卡羅法抽樣

蒙特卡羅法適用于隨機(jī)變量的概率密度分布形式已知或符合假定的情況，它避免了功能函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的求導(dǎo)運(yùn)算從而可方便地與任意一種極限平衡方法結(jié)合。實(shí)際上，蒙特卡羅法直接求解的是滑動(dòng)面的失效概率，其主要思想為：首先對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣，然后將這些抽樣值逐個(gè)代入功能函數(shù)并判斷功能函數(shù)是否小于零（即失效），最終將失效的抽樣次數(shù)與總的抽樣次數(shù)之比定義為失效概率，當(dāng)然也可以根據(jù)功能函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差來計(jì)算與此失效概率相對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)。

4結(jié)論

鑒于蒙特卡羅法抽樣次數(shù)巨大導(dǎo)致的臨界可靠度滑動(dòng)面搜索困難的問題，針對(duì)一均質(zhì)邊坡，在只有一個(gè)隨機(jī)變量的前提下，提出了一種偽蒙特卡羅抽樣方法，比較了偽蒙特卡羅法抽樣次數(shù)以及抽樣范圍對(duì)結(jié)果的影響，初步研究得到以下結(jié)論：

1）對(duì)均質(zhì)邊坡而言，滑動(dòng)面的偽可靠度指標(biāo)與蒙特卡羅法計(jì)算的可靠度指標(biāo)呈完全線性關(guān)系，偽蒙特卡羅法抽樣范圍以及抽樣次數(shù)Q都沒有影響。

2）在其它條件相同的情況下，偽蒙特卡羅法抽樣范圍越大，偽可靠度指標(biāo)與蒙特卡羅法計(jì)算的可靠度指標(biāo)之間的擬合直線斜率越小，反之亦然。

3）在其它條件相同的情況下，偽蒙特卡羅法抽樣次數(shù)越大，偽可靠度指標(biāo)與蒙特卡羅法計(jì)算的可靠度指標(biāo)之間的擬合直線斜率越大，反之亦然。

4）對(duì)均質(zhì)邊坡，可應(yīng)用Q=2的偽蒙特卡羅法進(jìn)行臨界可靠度指標(biāo)的搜索，然后換算為蒙特卡羅法的可靠度指標(biāo)。

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（編輯胡玲）