兩種矩形板考慮初始恒載效應的位移伽遼金近似解

劉德貴　周世軍

摘要：基于板考慮初始恒載效應的應變能表達，運用變分原理導出了靜力平衡控制微分方程。運用伽遼金法求解得到了四邊固支、簡支矩形板考慮初始恒載效應的近似活載（或后期荷載）位移表達式，并運用有限元法驗證了公式的正確性。各近似位移表達式簡單明了，清楚地反映了前期恒載和各因素對活載位移的影響，更為直觀地說明了板的恒載效應這一概念。計算分析表明：初始恒載的存在增加了板的彎曲剛度，減小了活載位移；板的恒載效應主要受恒載大小、跨厚比和邊界條件等因素的影響；對于較薄或彎曲剛度較小的板，在計算分析和結構設計中應考慮這種恒載效應對承受活載（或后期荷載）作用的受力行為影響。

關鍵詞：近似解；恒載效應；位移；板

中圖分類號：TU313文獻標志碼：A文章編號：16744764（2013）06005809

工程結構中，由于初始恒載的存在，當受到后續活載或荷載時，產生的位移和應力將受初始彎曲的影響而變小的現象被稱為恒載效應[14]。Takabatake[12]首次提出該概念，導出了梁考慮恒載效應的靜、動力控制微分方程，并對簡支梁和兩端固定梁的恒載效應進行了研究，后來也分析了這一效應對板動力特性的影響[3]。Zhou等[4]和張家瑋等[57]進一步分析了恒載效應對梁受力性能的影響，提出了考慮恒載效應的有限梁單元；周世軍[89]提出了可供分析板恒載效應的矩形板單元。后來，張家瑋等[1012]又提出了拱形梁考慮恒載效應的非線性控制微分方程，討論恒載效應對拱形梁的動、靜受力特性的影響。劉德貴，等：兩種矩形板考慮初始恒載效應的位移伽遼金近似解

目前為止，已有板的恒載效應研究未提出考慮板恒載效應的明確簡單的活載（或后期荷載）位移解析解或近似解。本文基于板考慮恒載效應的應變能表達，運用變分原理推導出了直角坐標系下一般形式的靜力平衡控制微分方程，運用伽遼金法解出了固支矩形板和簡支矩形板考慮恒載效應的活載位移近似解，并用有限元法驗證了近似解公式的正確性。該公式可直接用于考慮了恒載效應矩形板的受力分析。運用活載位移近似解，進行了不同長寬比的2種矩形板的恒載大小和厚度對活載（或后期荷載）位移影響分析。分析結果表明：板實際存在這種恒載效應，在較薄或彎曲剛度較小的板中表現明顯，初始恒載的存在提高了板承受活載的彎曲剛度，減小了板活載位移；這種恒載效應主要受恒載大小、跨厚比和邊界條件等因素的影響；對于較薄或彎曲剛度較小的板，計算分析中應考慮實際存在的這一恒載效應對板的受力行為產生的影響，以做到精確分析和合理結構設計。

從以上2種不同支撐條件的矩形板考慮恒載效應的活載位移計算結果可以看出：考慮了初始恒載效應的活載或后期荷載伽遼金近似解計算結果明顯小于彈性理論計算結果，這說明初始恒載提高了板在承受活載（或后期荷載）時的彎曲剛度。而且，恒載越大，板的厚度越小，這種初始恒載效應越明顯；簡支邊界條件板的恒載效應明顯于固支邊界條件板；對上述2種矩形板來說，荷載和厚度、短邊尺寸一定，恒載效應隨長寬比的增加而增加。導致這種與彈性薄板理論計算結果差異的主要原因在于：已有彈性薄板理論忽略了初始荷載產生的初始彎曲應力與后期荷載應變耦合所產生的附加應變能，以致最終形成了與已有彈性薄板理論不同的應變能表達和靜力平衡控制微分方程及活載或后期荷載位移計算公式。另外，上述計算分析中，考慮恒載效應的總位移均小于或略大于板的厚度，且板在最大的恒載（1.60）和活載的作用下，按彈性理論[16]計算獲得的最大應力分別為：139.3、74.6 MPa。表明活載和恒載合理的取值范圍內。這說明在合理的恒載和活載的取值范圍內，2種不同支撐條件的矩形板恒載效應明顯，因此在板的計算和分析中應考慮這種恒載效應。

6結論

基于考慮初始恒載效應的應變能公式，運用變分原理導出考慮板恒載效應一般形式的靜力平衡控制微分方程；運用伽遼金法求解得到了固支和簡支矩形板考慮恒載效應的活載位移近似計算公式，提供了可供查詢的活載位移表達式中的常數表格。并運用位移表達式進行了計算分析，得到了有關板恒載效應的結論。

1）2種矩形板考慮恒載效應的伽遼金位移近似解的獲得，更為清楚地說明了恒載對板承受活載（或后期荷載）受力性能產生的影響，初始恒載增大了板活載的彎曲剛度，減小了活載位移；各位移表達式簡圖2簡支矩形板wmax/wmax-/0關系曲線

單明了，物理意義明確，可方便運用于2種矩形板在均布荷載作用下考慮恒載效應的受力分析。

2）矩形板的恒載效應主要受恒載大小、板的尺寸、厚度和邊界條件的影響。初始恒載越大，跨厚比越大，邊界約束越弱，這種效應越明顯。

3）恒載效應對板的受力性能產生了不可忽略的影響，在厚度較薄或彎曲剛度較小的板中表現尤為明顯，在計算分析與結構設計中，應充分細致考慮實際存在的這一恒載效應，以做到精確分析與合理設計。

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（編輯薛婧媛）