一道簡單計算題解法的數形結合及其教學反思

馬翠

【摘要】數和形是初等數學中被研究得最多的對象，數形結合是一種極富數學特征的信息轉化。本文通過一道簡單計算題的解法來分析由數到形再由形到數的整個過程，不但對該題的解法提出了新的視角，也滲透了數形結合思想的雙向性。

【關鍵詞】數形結合 平方差公式

北師大版七年級下冊《第一章 整式的運算》的“復習題”中有這樣一道利用平方差公式簡化計算的題目：992-1。為了增加學生的興趣和鞏固利用平方差公式簡化計算的方法，在講完這道題后筆者隨堂編制了一道類似的題目：20112-20102 。在與學生們一道分析研究之后，不期而得到了許多意外的收獲，現整理出來與大家分享，不當之處，還請各位老師指正。

一、解法的數形結合1.由數到形：從常規的代數解法到相應的幾何解釋。因為題目涉及兩數的平方差，故有如下自然、簡單的代數解法：

解法1：20112-20102 =（2011+2010）（2011-

2010）=2011+2010=4021

在學習平方差公式時，課本上給出了其明顯的幾何背景，所以在講完這種解法后，筆者順便向學生提問，能否通過幾何圖形給出這種解法的直觀解釋。學生很快畫出了圖1.1，所求式子即為圖中所示陰影部分圖形的面積，那么如何與上述解法中的代數表征20112-20102 =2011+2010聯系起來呢？經過提示，學生不難畫出圖1.2，于是上述解答就一目了然了。 圖1.2是將陰影部分圖形分割成兩個長方形，那么還有其他求陰影部分圖形面積的方法嗎？

2.由形到數：從已有的幾何圖形到嶄新的代數解法。

如圖1.3，學生以“迅雷不及掩耳之勢”找到了兩個新的借助圖形的算法：將陰影部分圖形分割成兩個全等的長為2010 、寬為1的長方形與一個邊長為1的正方形，即可列出算式20112-20102=2×2010 ×1+12；將陰影部分圖形分割成兩個全等的長為2011 、寬為1的長方形（邊長為1的正方形部分重疊），即可列出算式 20112-20102=2×2011×1-12。

及此，筆者追問學生，你能直接從所求算式得到上述幾何解釋的代數解法嗎？通過分析差異，學生也迅速得到了對應的兩個代數解法：

解法2：2 0 1 12- 2 0 1 02 = （ 2 0 1 0 + 1 ）2-20102=20102+2×2010×1+12-20102==2×2010×1+12=4021

解法3：20112-20102 =20112-（2011-1）2=20112-（20112-2×2011×1+12）=2×2011×1-12=4021

決一個代數問題時，若尋找到了一個幾何解法，不妨嘗試從已有的幾何圖形出發進行再度思考，看是否能得到新的代數解法；在解決一個幾何問題時，若探索出一個代數解法，不妨仔細分析這個代數解法，看能否得到一個從圖形上的直觀解釋。從這個角度來說，本例或可為此提供一個案例，請讀者評說。