讓操作更具生長的力量

湯衛紅

一、 常見流程，你用嗎

1.猜想

（1）出示生活中一些事物的照片，讓學生找出平行四邊形，再讓學生舉出一些例子。

（2）猜測平行四邊形有什么特征，學生回答，教師板書特征并加上問號。

2.驗證

（1）我們的猜想是否正確呢？需要通過操作來進行驗證。下面讓我們利用學具，想辦法做一個平行四邊形，再借助做出的平行四邊形驗證你的猜想。

（2）學生用4根小棒（2長、2短）、釘子板和橡皮筋、兩個完全一樣的三角形、方格紙等漫不經心地做出平行四邊形，并有口無心地說著所謂的驗證。（其實是復述特征）

（3）教師請學生匯報：怎么做？怎么驗證？學生往往背口訣、走過場式地用三角板和直尺配合驗證平行、用直尺測量驗證相等。

3.結論

看來，同學們的猜想是正確的。（去掉板書上的“？”）讓我們一起自豪地讀讀自己發現的特征。

二、 從來如此，便對嗎

對于這種認識圖形特征的模式化教學，我們司空見慣，甚至因為其踐行了新課程所倡導的“自主、合作、探究”的學習方式而沾沾自喜。學生也早已對這一套滾瓜爛熟，毫不費勁地應付著。

冷靜審視這些課堂，我們不難發現：一堂課下來，學生除了強化了對已有認識的記憶（這些圖形的特征早已成了學生的已有經驗），所獲無幾。我曾經調查過部分學生：“既然你們都知道了特征，干嘛還要假裝去驗證什么猜想，再得出結論？”學生的回答令我瞠目結舌：“沒辦法！老師要我們這樣做。反正可以不動腦地玩一堂課?！逼鋵崳^猜想，既沒有猜，也沒有想。學生只是把自己知道的說出來，根本就沒有任何數學思考的成份。形成強烈反差的是，天真的教師們仍然一廂情愿地把學生早已熟知的結論硬梆梆地打上一個問號，活生生地把一個結論拽回到猜想，再亦步亦趨地“引導”學生經歷“探究”的過程。對學生而言，早已存儲于頭腦中的結論，哪里還有真正的“猜想”所具有的不可抗拒、讓人鍥而不舍地探究的魅力呢？所以，缺乏思維含量的操作驗證也就使學生感到索然無味。事實上，上述教學還犯了循環論證的謬誤：做平行四邊形要應用其特征，但卻要用做出的平行四邊形來驗證對其特征的猜想。這無疑是對學生數學思維發展的誤導。我曾經問過一些執教的教師，“學生都已經知道了，干嘛還要這么去上課呢？”教師的回答同樣令我瞠目結舌：“這種課，大家都這樣上，我不這樣上，還能怎么上？”顯然，有不少教師已經意識到問題的存在，但都茫然不知所措。

三、 特征已知，怎么教

顯然，對于認識圖形特征的教學問題已經不是改良所能解決的，我們必須有根本性的變革。解決問題的基點是，我們得老老實實地承認學生已經知道了圖形的特征。學生對于假猜想、假驗證早已是“小和尚念經——有口無心”。與其走形式化的所謂科學探究之路，倒不如基于學生對圖形特征的初步認識，考慮如何進一步認識、把握、應用圖形的特征，發展學生的空間觀念和思維能力。這其中，最重要和最根本的是如何摒棄形式主義的操作活動，讓操作積累更具生長力量的活動經驗，從而發展學生的空間觀念。

1.引入

（1）出示木條釘成的長方形框架，讓學生說說長方形有哪些特征。并引導學生觀察對邊的位置關系，發現長方形的對邊平行。（三年級學習時，未認識平行。）

（2）將長方形框架拉成平行四邊形，說說這個平行四邊形有哪些特征。學生說出：對邊相等且平行、對角相等。

2.探究

（1）出示活動材料，引導學生觀察并思考：怎樣做平行四邊形？

①6根小棒。（如：8厘米、5厘米各2根，3厘米、2厘米各1根，各組的小棒長度并不相同。）

②方格紙。

③釘子板。

④三角形紙片。（有的組3張，其中2張完全一樣，第三張不一樣，但可與前者拼成梯形；有的組只提供1張。）

⑤白紙緊包鋼尺。（紙上已留下包的折痕。）

⑥1張梯形紙或1張一般四邊形紙。

（2）自主選擇2到3種材料想辦法做出平行四邊形。

（3）不能獨立解決的，合作完成。

（4）組內討論：怎樣解釋自己做出的是平行四邊形？

3.交流

重點交流除了用驗證平行線的方法說明平行和用直尺測量或數格子的方法說明相等以外，還有哪些方法可以說明？

對用材料①做的學生，追問：為什么不選擇3厘米和2厘米的？如果拿掉1根5厘米的還能做出平行四邊形嗎？這說明了什么？（對邊必須相等，才能做出平行四邊形。）

對用材料②做的學生，追問：未沿著格子線畫的兩條邊怎么說明是平行且相等的？學生有的說：因為都是沿著同一方向畫3×2的長方形對角線，所以平行且相等；有的說：把直角邊為2和3的三角形剪下平移，對邊將會完全重合。

釘子板，學生通常都是先圍成一個長方形，再拉伸或縮減得到平行四邊形。學生解釋：上邊從左往右縮進2格，下邊從右往左也縮進2格，所以傾斜的角度是完全一樣的，左、右兩邊平行……

對用材料④做的學生，追問：通過嘗試，你發現什么？學生答：必須用兩個完全一樣的三角形才能拼成一個平行四邊形，最好先重疊再旋轉（加平移）就能拼成平行四邊形?！?=∠1'，∠2+∠3=∠2'+∠3'，所以對角相等。如果用另外一個不一樣大的三角形來拼，只能拼成一個梯形，只有一組對邊平行。只用一個三角形，就先畫下它，再旋轉（或加平移）畫出完全一樣的另一個三角形也能做出平行四邊形。

用材料⑤做的學生解釋：因為鋼尺的對邊是平行的，所以沿著鋼尺的對邊分別畫兩組相交的平行線就得到平行四邊形。

用材料⑥做的學生解釋：梯形只有一組對邊平行，用畫平行四邊形的方法畫出另兩條邊（腰）中的一條的平行線就可以得到一個平行四邊形。一般的四邊形，以兩條相鄰的邊為基礎，分別畫出它們的平行線也就得到平行四邊形。

4.總結

通過探索和交流，你發現要判斷一個四邊形是不是平行四邊形，需要怎樣？學生紛紛表示：只需要符合其中一個特征，就能肯定它是一個平行四邊形。

四、 操作思考，給力嗎

傳統教學的一個最不符合概念關系的做法便是割裂長方形與平行四邊形的關系，將其并列甚至對立。教師明白它們之間的種屬關系，但往往遮遮掩掩、欲說還休，有的只在課的最后點到為止。我們徹底顛覆這一做法，開門見山地由長方形框架的變形操作引入一般平行四邊形。不僅如此，一開始便引導學生觀察、發現長方形所具有的對邊平行特征，為知識的遷移奠定了基礎。更為重要的是，變形這一操作帶來的思考：形狀變了，對邊平行且相等的關系沒變，對角相等的關系沒有。這樣的操作有利于學生形象地理解變形過程中圖形內涵的減少與外延的擴大，促進了他們對圖形關系的自主建構。

我們在教學中并沒有將學生說出的特征命名為“猜想”，也沒有要求“驗證”。而是讓學生用感知到的特征想辦法去做平行四邊形，并對特征進行解釋說明。機械的比、量、數缺乏數學思考的魅力，無法引發起學生深入探究的熱情。我們的想法是：在多層次、多角度應用特征的活動中深化對特征的理解，在抽象和推理中抵達對本質的把握。我們對操作活動的設計可謂煞費苦心。我們努力超越形式上、肢體上的“動”，讓操作插上思維的翅膀，讓學生體驗思考的力量，獲得經驗的生長。活動中，學生對材料的選擇、甄別需要思維的參與，特征的應用不露痕跡。教師有意識地提供給各組材質、長度、面積等非本質屬性存在變化的材料，有利于學生經歷圖形特征非本質屬性的剝離和本質屬性的抽取，滲透歸納推理的基本思想。材料①中別具匠心的3+2=5，既打破了學生用4根小棒圍四邊形的思維定勢，明晰了邊與小棒根數的非對應關系（幾根小棒可以組成一條邊），有利于學生超越表象向抽象的圖形世界邁進，又巧妙蘊含了簡單的演繹推理。對材料②、③、④、⑥的處理，我們敢于碰學生對相關邊的關系似乎難以解釋的“硬骨頭”。實踐證明：學生的直覺思維和邏輯推理潛能驚人，學生在空間位置關系、合理推理、演繹推理等方面的直觀而不乏理性的智慧表達讓我們仿佛看到了直觀證明、解析幾何的雛形，令人折服。在三角形、梯形、一般四邊形的基礎上創造平行四邊形，能夠很好地幫助學生積累旋轉、平移、中心對稱等圖形變換的基本活動經驗，在圖形轉化中厘清平行四邊形與其他圖形的內涵差別和外延關系，在對比中分化出平行四邊形的本質特征，促進空間觀念的發展。材料④中，學生選擇兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形自然而然地對兩者的面積關系進行了早期孕伏，而在嘗試過程中用兩個不完全一樣的三角形拼出梯形，更從反面強化了這種認識。學生在嘗試用3個三角形拼出梯形后，移除不一樣的三角形得到平行四邊形的過程，則為用材料⑥中的梯形做出平行四邊形積累了直觀經驗。對材料⑤的操作能讓學生擺脫測量幾何的束縛，僅借助直尺創造的平行四邊形更能讓學生在操作和思考中觸及其本質特征——平行，有了平行，一切特征皆隨之而來。從而也就從思想上自然地認識到人類將這類圖形命名為“平行四邊形”所體現的本質規定性及其合理性。

學生在這樣的操作思考中，面臨著形象思維、抽象思維、合理推理、演繹推理和空間觀念的巨大挑戰。但學生厭倦虛假的“再創造”，渴望考驗智慧的挑戰。也只有在這樣的思考性操作中，學生才能積累起更具生長力量的數學活動經驗。著眼于學生的發展，我們需要為學生選設適宜操作活動的資源空間、思維空間，促進互動性資源的生成，有意識地引領學生豐富認識、積累活動經驗、提升思維品質。