追問(wèn)：讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深遠(yuǎn)

王廣闊

蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)第六單元“四則混合計(jì)算”的整理復(fù)習(xí)后面安排了“探索與實(shí)踐”，如下圖：

通過(guò)探索學(xué)生得出了如下結(jié)論：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加■，長(zhǎng)方形的面積是原來(lái)的■。教學(xué)至此，已經(jīng)完成了既定的教學(xué)任務(wù)。但是，總有一種意猶未盡的感覺(jué)，數(shù)學(xué)教學(xué)除了引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程，給學(xué)生一些正確結(jié)論之外，還應(yīng)該有更重要的事情可做。正如鄭毓信教授所說(shuō)：“在問(wèn)題解決后還要繼續(xù)前進(jìn)。發(fā)展學(xué)生的思維可能是更貼切的做法。”于是，我專門安排了一節(jié)課，進(jìn)行了三次追問(wèn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了如下的思維之旅：

追問(wèn)一：對(duì)不對(duì)——從舉例驗(yàn)證走向公式推導(dǎo)

通過(guò)兩個(gè)例子的計(jì)算，學(xué)生得出了上述結(jié)論之后，我沒(méi)有停留在發(fā)現(xiàn)結(jié)論的層面，而是引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)地去對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。我追問(wèn)學(xué)生：“怎樣能夠說(shuō)明我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)結(jié)論是正確的呢？”多數(shù)小學(xué)生往往更直觀具體、更關(guān)注結(jié)果的正確與否，因此他們繼續(xù)舉出更多的例子來(lái)說(shuō)明結(jié)論的可靠性。但是這樣的簡(jiǎn)單重復(fù)，學(xué)生的思維水平依然停留在原先具象水平的層面，沒(méi)有任何提高。此時(shí)，教師有意挑戰(zhàn)學(xué)生的思維，故意“刁難”他們說(shuō)：“不用舉例的方法，你們能想出別的辦法說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？”一部分學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后，開(kāi)始借助面積公式去說(shuō)明原因：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，長(zhǎng)和寬都變成原來(lái)的■，所以面積變成原來(lái)的■。教師適時(shí)借助板書(shū)，引領(lǐng)全班同學(xué)理解第二種證明方法：因?yàn)椋琒1=ab；所以，S2=■a×■ b =■ ab= ■S1。從舉例驗(yàn)證到借助公式推理，學(xué)生既積累了豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，又在師生、生生多邊交流的過(guò)程中，將自己的思維從具象水平提升到抽象水平，使他們從關(guān)注結(jié)果的正確性轉(zhuǎn)向了關(guān)注過(guò)程的合理性，學(xué)生對(duì)概念和公式的關(guān)注，對(duì)于思考過(guò)程的關(guān)注，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平提高的顯著標(biāo)志。深入學(xué)生思維深處，有意識(shí)地引領(lǐng)他們向上發(fā)展，才是真正以學(xué)生發(fā)展為本的數(shù)學(xué)教學(xué)。

追問(wèn)二：全不全——從平面遷移走向立體拓展

學(xué)生理解了“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加■，長(zhǎng)方形的面積是原來(lái)的■”之后，我繼續(xù)追問(wèn)學(xué)生：“從長(zhǎng)方形的這個(gè)結(jié)論，你們又想到了什么類似的結(jié)論？”學(xué)生的思維又體現(xiàn)出兩個(gè)不同的層次：

1.舉一反三

這里的舉一反三指的是學(xué)生的思維停留在與原有結(jié)論同一思維平面上的量的累加。比如通過(guò)交流，學(xué)生得出如下一些結(jié)論：正方形的邊長(zhǎng)增加■，正方形的面積是原來(lái)的■；平行四邊形的底和高分別增加■，平行四邊形的面積是原來(lái)的■；三角形的底和高分別增加■，三角形的面積是原來(lái)的■；梯形的上底、下底和高分別增加■，梯形的面積是原來(lái)的■；圓形的半徑增加■，圓形的面積是原來(lái)的■。學(xué)生借助舉例和公式推導(dǎo)的方法，分成5組分別驗(yàn)證結(jié)論的正確性后，又在進(jìn)一步的歸納比較中認(rèn)識(shí)到：以上圖形都是相關(guān)的兩條邊（兩組邊）的乘積。（正方形、圓和梯形有一些特殊性，但也可歸結(jié)于此。）兩條（兩組）相關(guān)的邊的長(zhǎng)度分別變成原來(lái)的■，相乘之后面積變成原來(lái)的■。學(xué)生又一次在一個(gè)更高的層面經(jīng)歷了從例證到理證的過(guò)程，更概括、更抽象。

2.由此及彼

由此及彼指的是學(xué)生跳出原有的思維平面，實(shí)現(xiàn)更立體的拓展。我繼續(xù)追問(wèn)：“通過(guò)剛才的這些結(jié)論，還能得出哪些相關(guān)的結(jié)論？”學(xué)生的思維開(kāi)始向不同的領(lǐng)域拓展延伸：

（1）立體圖形：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別增加■，長(zhǎng)方體的體積是原來(lái)的■；正方體的棱長(zhǎng)增加■，正方體的體積是原來(lái)的■。

（2）改變分?jǐn)?shù)：“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加■，面積變成原來(lái)的■。”

（3）由增加到減少：“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬減少■，面積變成原來(lái)的■。”

舉一反三是平面遷移，由此及彼是立體拓展，學(xué)生的思維由線性思考的方式向結(jié)構(gòu)拓展的方式發(fā)展。這種發(fā)展，不僅僅在于學(xué)生借助一個(gè)結(jié)論的證明，引出了一系列的思考，是一個(gè)將薄書(shū)讀厚的過(guò)程；更重要的是，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)越來(lái)越豐富，感性積累越來(lái)越厚實(shí)，思維方向越來(lái)越靈活，思維的結(jié)構(gòu)越來(lái)越具有系統(tǒng)化的方式，更容易形成合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，整體提升學(xué)生的思維水平。

追問(wèn)三：跳一跳——從經(jīng)歷過(guò)程走向策略提升

先把薄書(shū)讀厚，再把厚書(shū)讀薄，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此，通過(guò)對(duì)一個(gè)結(jié)論的深入追問(wèn)得出了一組又一組的結(jié)論，記住每一個(gè)結(jié)論是不可能的，怎樣才能更好地解決這一類問(wèn)題？教師有必要引領(lǐng)學(xué)生跳出原來(lái)的解題過(guò)程，進(jìn)行回顧反思，從中汲取有益的解決問(wèn)題的策略，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的認(rèn)識(shí)從方法層面向策略層面提升。回顧上述過(guò)程，不同的學(xué)生有不同的經(jīng)驗(yàn)。有的學(xué)生說(shuō)：“舉例子算一算是很好的方法，容易理解。”有的學(xué)生說(shuō)：“借助公式思考原來(lái)的結(jié)果與現(xiàn)在的結(jié)果，解決問(wèn)題的速度更快。”還有的學(xué)生根據(jù)計(jì)量單位的不同將所有的結(jié)論概括為三類：周長(zhǎng)、棱長(zhǎng)、和；面積、表面積；體積、容積。周長(zhǎng)、棱長(zhǎng)、和的變化與邊長(zhǎng)的變化相一致，面積、表面積的變化是長(zhǎng)度變化的平方倍；體積、容積的變化是棱長(zhǎng)變化的立方倍。由此可見(jiàn)，舉例子的方法貼近兒童的思維水平，易于理解、易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解決問(wèn)題的好方法。而借助公式推導(dǎo)的方法，得出的結(jié)論具有普遍性，更加可靠，讓人知其然又知其所以然。能夠?qū)Ρ姸嗟慕Y(jié)論進(jìn)行條分縷析的概括，以組塊的方式進(jìn)行貯存，學(xué)生的思維就更加簡(jiǎn)潔、有效。因而，回頭看、跳一跳的過(guò)程，既是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提取基本的數(shù)學(xué)思想的過(guò)程，又是夯實(shí)基本知識(shí)和基本技能的過(guò)程，在提高學(xué)生策略意識(shí)的同時(shí)，也自然有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解與學(xué)習(xí)離不開(kāi)思維發(fā)展的有效支撐。當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂往往重視知識(shí)的累積，卻忽視思維的有效發(fā)展，以至于當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)越來(lái)越難、越來(lái)越多時(shí)，學(xué)生就學(xué)得越來(lái)越吃力。究其原因，是思維的發(fā)展滯后于知識(shí)的積累所致。就像一些智者走得太快時(shí)會(huì)停下腳步，等一等自己的靈魂一樣，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)該在積累數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，放慢知識(shí)積累的腳步，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)展。

如何促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)展？既不能越俎代庖，也不能拔苗助長(zhǎng)。當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂要么給予學(xué)生的時(shí)空太小，學(xué)生的思維沒(méi)有成長(zhǎng)的土壤；要么一味地追求高效，催熟學(xué)生思考。師問(wèn)生答的問(wèn)題交流方式使學(xué)生不能養(yǎng)成主動(dòng)思考的習(xí)慣；即問(wèn)即答的問(wèn)題交流方式使學(xué)生不能學(xué)會(huì)思考的方法，止步于問(wèn)題解決的教學(xué)。只有松開(kāi)手里的韁繩，馬兒才能撒開(kāi)歡地奔跑。聰明的學(xué)生是在思考中變得聰明的，只有給學(xué)生提供思維發(fā)展的時(shí)間與空間，學(xué)生的思維才有生長(zhǎng)的可能。教師給學(xué)生思考的時(shí)間與空間，而不是僅僅給予結(jié)論，這樣學(xué)生才能越學(xué)越聰明，才能深層次地體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，才能領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。

追問(wèn)，是教師引領(lǐng)學(xué)生思維發(fā)展的一種有效手段。追問(wèn)要貼近學(xué)生的思維水平，既要尊重學(xué)生的原有水平，又要在感性經(jīng)驗(yàn)不斷累積的基礎(chǔ)上，及時(shí)介入，由感性經(jīng)驗(yàn)的“聚變”引發(fā)內(nèi)涵理解“質(zhì)的提升”；追問(wèn)要切入問(wèn)題的內(nèi)涵，學(xué)生才能將思維集中在最有價(jià)值的問(wèn)題上，圍繞核心問(wèn)題展開(kāi)有效思考；追問(wèn)要講究提問(wèn)的技巧，掌握問(wèn)題的跨度，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，關(guān)注問(wèn)題的層次性，引領(lǐng)學(xué)生以漸進(jìn)方式走向問(wèn)題本質(zhì)，構(gòu)建問(wèn)題的體系，借助問(wèn)題的體系構(gòu)建學(xué)生認(rèn)知的體系。在教師的有效追問(wèn)中，學(xué)生的思維才能自然地走向深遠(yuǎn)。

數(shù)學(xué)是思維的樂(lè)園，教室理應(yīng)成為思維的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，在追問(wèn)中不斷地引領(lǐng)學(xué)生前行，讓學(xué)生在思維的過(guò)程中，學(xué)會(huì)思考的方法，提升思維的能力，漸漸地養(yǎng)成思維的習(xí)慣。用數(shù)學(xué)提升學(xué)生的思維，讓他們變得更加嚴(yán)謹(jǐn)，讓他們更加主動(dòng)和深刻；用數(shù)學(xué)引領(lǐng)學(xué)生不斷探究，讓他們養(yǎng)成不懈追求的精神。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才能從技巧層面上升到文化層面，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)以“數(shù)”化人的文化功能，才能在更深層面落實(shí)“以人為本”的教學(xué)目標(biāo)，才能在學(xué)生學(xué)習(xí)之路上留下更深的記憶。