數學課堂教學的認知策略例說

謝家先

【摘要】 如何培養對數學規律的探索，加強對數學知識的認知，通過“觀察-操作-概括”、“自學-討論-發現”、“示范-理解-創新”來提高學生在認知過程中的興趣，提高學生的數學觀念、數學能力與數學素養.

【關鍵詞】 動手實踐；自主探索；合作交流；創新實踐

《數學課程標準》指出：“動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式. ”特別強調關注學生的發展，關注學生的學習過程，改善學生的學習方式，培養學生主動參與，樂于探究，勤于動手的良好習慣. 教師要改變課堂教學觀念，探討教學策略，使學生在探索、實踐、合作交流中進行數學思考，解決數學問題. 教學策略是在特定的教學情境中完成教學目標和適應學生的認知需要而制定的教學程序計劃和采取的教學措施，它既有觀念功能又有操作功能. 認知策略則是教學策略的核心，針對學生的認知水平和教材內容，精選認知策略，是取得好的教學效果的首要條件，本文結合筆者教學實踐，介紹數學課堂教學中幾種常見的認知策略.

一、當教材內容的組織具有從直觀（感性）到抽象（理性）的特點，且以直觀啟發為主，應采取“觀察-操作-概括”的策略

在“等差數列前n項和”一節教學中，求和公式的導出是較為抽象的，它既是本節的重點，也是本節的難點，教材上通過著名數學家高斯10歲時巧算1 + 2 + 3 + … + 100 = ？的例子成功地化解了這一難點，幫助學生完成了由感性到理性的認識上的飛躍，對這一節教材我們也這樣處理：

設{an}是一個正項的等差數列，它的前n項和可以被解釋為右圖中圖形的面積，這個圖形是一些底寬為1，高分別為a1，a2，…，an的小矩形拼接而成的，求Sn相當于求圖形的面積，怎樣求這塊圖形的面積呢？讓學生進行充分的觀察和操作（可以利用剪刀剪拼）. 學生經過試驗后發現有多種剪拼割補的方法求出這塊圖形的面積（實際上得出了求和公式的多種推導方法），其中較簡單的方法是剪出一塊同樣大小的圖形，把它“倒”過來“合”在原圖上就拼成了一個矩形，顯然這個矩形的面積等于n（a1 + an），從而有Sn = ■n（a1 + an），這種方法形象地展示了“倒序”相加法中的“倒寫”與“相加”，使學生清楚地觸摸到推導過程中所蘊含的割補思想和化歸思想，深刻地促成了學生從感性到理性的認識上的飛躍.

?；垭p修是溝通具體到抽象、感性到理性的一座橋梁，在數學教學中創設恰當的問題情境，使學生動手實驗，觀察歸納，既可打破沉寂的課堂教學氣氛，也為順利構建認知結構奠定了良好的直觀思維的背景，同時也培養了學生“做數學”的實踐能力.

二、當教材內容的組織具有從已知（舊知）到未知（新知）的特點，且以精講啟發為主時，應采取“自學-討論-發現”的策略

現代認知心理學理論認為：學習是認知結構的組織和重新組織. 學生的數學學習過程是原有的數學知識結構與新知相互作用產生同化和順應的過程. 因此，教師應把數學教學的內容能動地進行加工、整理. 創設切合學生數學學習心理水平的最近發展區，誘發和促進學生積極的思維活動.

“二次函數y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的圖像和性質”一節是在上一節二次函數y = ax2的圖像和性質的基礎上進行學習的，可采取“自學-討論-發現”的策略來進行. 教師可出示下列自學討論提綱：

1. 復習：說出二次函數y = ax2的圖像和性質；

4. 函數y = ax2 + bx + c與y = ax2的圖像的形狀、頂點、對稱軸和相對位置如何？要解決這個問題，事先應做什么工作？

5. 你能仿照y = ax2的性質，總結出y = ax2 + bx + c的性質嗎？

在學生自學討論的過程中，教師應注意根據學生自學情況進行精講啟發，本節課精講的應是問題的后兩問.

一組“階梯式”的問題，從簡單到復雜，從特殊到一般，使學生已知的舊知成為了未知的新知的鋪墊，在討論中，學生的認知沿著老師設好的階梯拾級而上，最后學生達到一個“欲罷不能”的狀態，此時老師適時的啟發，精練的講解定會產生很好的效果！這種教學策略，既符合學生的認知心理，又能有效引導學生的思維向縱深發展.

三、當教材內容的組織具有范例（個例）到通類（一般）的特點，且以范例啟發為主時，應采取“示范-理解-創新”的策略

新教材中有下列范例：

在邊長為60 cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？這是一道由實際問題建立數學模型并利用均值不等式求最值的范例，教師在示范后引申提出下列問題：

用一張長40 cm，寬20 cm的長方形鐵皮，制作成一個深5 cm的長方形無蓋盒子，列舉你的一些制作方法加以比較，這個長方體的容積y的最大值是多少？

最后一種方法得到的長方體的容積是否一定最大？有沒有另一種制作方法得到的長方體容積更大？要回答這個問題，就必須依賴于對范例的理解，建立數學模型然后求解.

例題是數學知識的載體，是教學內容的延續和深化，例題教學不能就題論題，教師應借助例題的示范作用，在學生充分理解例題的基礎上，“小題大做”或“借題 發揮”，通過對例題的改編、引申，引導學生進行研究性學習，培養學生探究能力和合作精神，實施創新教育，這是新時期我們每個數學教師必須面對的一個嶄新課題.

總之，如何使學生通過數學的學習，在數學思想方法和數學素養方面受到更多的減免效益，完全取決于執教者根據學生的認知特點. 制訂符合學情的認知策略，揭示數學問題的形成、獲得和應用過程. 整體而全面地把握知識，將蘊藏在數學教材中豐富的知識結構和精深的數學思想方法概括、提煉出來，給學生以熏陶和啟迪，就會不斷提高學生的數學認知水平，促進學生對數學觀念、方法和策略的逐步到位，數學觀念、能力與素養的逐漸提高.

【參考文獻】

[1]周軍，著.教學策略.北京：教育科學出版社，2003.

[2]劉兼，孫曉天，主編.數學課程標準解讀.北京：北京師范大學出版社，2002.