加強數形結合 提高解題能力

周志保

初中數學以現實世界的數量關系到空間形式作為其研究對象，因而數形結合是一種很自然的數學思想，它可以把圖形的性質轉化成數量關系問題，也可以把數量關系轉化成圖形的性質問題，這種處理問題的思想方法就是數形結合思想方法. 以下對數形結合思想在解題中的應用從以形輔數和以數輔形這兩方面做一番探討.

一、數向形的轉化，利用形的直觀解題

（一）借助于數軸解絕對值一次不等式

很容易觀察出來x ≥ 3或x ≤ -1.

（二）借助于函數圖像解題

（三）構造特殊圖形解題

試問有多少學生三種都及格？

分析 本題若從代數的方法來解比較抽象，較難獲得答案，借助韋恩圖答案就一目了然.

解 借助韋恩圖來解，由題意可知總人數41人，即可得三科及格人數為41 - 15 = 26（人）.

（四）利用勾股定理解題

二、從形到數，揭示形中數的本質

（一）用代數方法解決平面幾何問題在初中數學中的應用

例1 平行四邊形ABCD中，∠DAB是銳角，且AC2·BD2 = AB4 + AD4，求證：∠A = 45°.

分析 這個題目從幾何角度來證明難度很大，因為條件有限且AC，BD，AB，AD又不能在同一三角形中有機結合起來，這就給證明帶來了困難，但借助代數中的根與系數關系和余弦定理此題便可較快解答（證明略）.

（二）用代數方法解決平面幾何問題在高中數學中的應用

例2 已知：△ABC的三個頂點是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求∠A的平分線AD的長.

解 第一步，簡單的數形結合，在直角坐標系下指出已知點A，B，C，畫出△ABC的邊及其∠A的平分線AD（如圖）.

從以上解題可知數學解題是一個富有創造性的數學思維活動過程. 數形結合其實就是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形的兩種信息的轉換，及其優勢互補與整合. 正如華羅庚先生所說的數無形時少直覺，形少數時難入微！

【參考文獻】

[1]章士藻著.中學數學教育學.南京：江蘇教育出版社，1996.

[2]張雄，李得虎，編著.數學方法論與解題研究.北京：高等教育出版社.

[3]李勇新，藤文凱，等編著.中學數學教材教法.長春：東北師范大學出版社.