“錯誤”在初中數學教學中的價值

楊鋒

【摘要】 初中生學習數學會不可避免地出現錯誤. 學生的錯誤是學生認知過程的重要組成部分，也是一種值得利用的教育資源. 錯誤在初中數學教學中有其重要的價值：以錯顯正，可以使學生對知識有深刻的理解；以錯攻錯，可以使學生掌握元認知監控策略；因才施教，可以使學生從錯誤中找回信心.

【關鍵詞】 錯誤；初中數學；教學；價值

在教學中，教師通常傳授科學的知識和講解正確的方法，但是教師也經常不可避免地要面對學生的錯誤. 初中的教學對象是身心發展尚未成熟的青少年，這個年齡的心理特點決定了他們常會產生理解錯誤或解題錯誤.

事實上，錯誤并不可怕. 學生所犯的錯誤及其對錯誤的認識，都是學生認知的重要組成部分. 學生作出錯解，從知識與技能掌握的角度來說，他失敗了；但是，他因為對數學活動的參與而獲得了一種體驗，嘗試用已有的知識和經驗解決問題，從這個角度來說，他是有收獲的. 教師應當把錯誤看成是學生在學習中自然存在的現象，把錯誤看成認識學生思維規律的重要手段.

另外，從教學角度來看，錯誤本身也是一種值得利用的教育資源. 一方面，行為心理學知識告訴我們，把“錯誤”作為反面材料，通過警示、否定、修正等方式刺激，可以達到強化學習的目的，這種刺激的“加強”效果也尤為明顯. 另一方面，針對學生的錯誤，引導學生自主反思、客觀分析、總結經驗，不僅可以讓學生日后減少出錯，而且能幫助學生掌握有效的學習策略.

一、以錯顯正，可以使學生對知識有深刻的理解

教學實踐表明，教師把“錯誤”展現出來，引導學生共同探討導致錯誤的原因，有利于活躍課堂氣氛和提高學生的學習興趣. 教師對“錯誤”的點評，可以加深學生對知識的理解和記憶，警惕易犯的錯誤.

（一）利用錯誤，講清本質

初中生的抽象邏輯思維很大程度上還屬于經驗型，他們的邏輯思維需要感性經驗的直接支持，在概念教學中展示錯例，可以豐富學生的感性經驗，教師進一步引導學生分析這些錯誤，可以起到突出概念的本質特征的作用，使學生比較迅速準確地掌握概念.

例如，學習對頂角這個知識的時候，學生對“對頂角的判斷”經常出錯，以為圖1-1至圖1-3中的∠1和∠2是對頂角. 這時教師借助這幾個錯例來講解. 提問：“這兩個角有沒有公共頂點？是不是由兩條直線相交構成？”通過錯例，概念的學習有了形象的依托，學生更容易從具體圖例當中提煉和記憶對頂角的本質屬性.

（二）通過對比，防止混淆

隨著教學的推進，學習內容的增多，學生容易發生混亂錯誤. 在教學中，可以通過對比來防止學生混淆. 對比，既可以把同一道題的正誤解法進行比較，也可以把學生混淆的兩個題型進行類比.

例如，學生學了分式方程后，常常與分式化簡題混淆.

教師展示了錯解，還要講解正確解法，在對比之中讓學生找出解題錯誤的步驟. 接著，教師可以針對學生混亂致錯的原因，設計一道分式方程的題目進行對比， 通過對比，學生明白了錯因，同時又知道了兩種題型的解法的區別與聯系，既能防止錯誤再次發生，又達到了深刻理解解法的目的.

二、以錯攻錯，可以使學生掌握元認知監控策略

元認知監控策略，是指學生對自己學習過程的有效監視和控制. 監控策略使學習者警覺自己在注意和理解方面可能出現的問題，以便找出來，并加以修改. 以錯攻錯，就是指教師要利用錯誤來培養學生的元認知監控策略，使其在解題過程能夠自我監控、在解題之后能夠進行反思，及時調整問題解決的方法，避免出錯.

（一）在錯誤中學會提問

利用錯誤來培養學生的元認知監控策略，首先要培養學生自我提問的能力. 教師在題目評講時，示范性地對錯解進行自我提問，引導學生發現錯誤然后找到正確解法.

教師可事先制訂一個體現思考程序的“問題單”，分三步進行自我提問. 第一步，屬于問題表征類：題目說什么，求什么？有什么數量關系？第二步，屬于解題方法類：以前有沒有做過類似題目？怎樣求，什么方法？第三步，屬于思維方式類：我進行雙向推理了嗎？我注意發散思維和集中思維了嗎？

例2 甲乙兩根蠟燭燃燒時剩余部分高度y（cm）與燃燒時間x（h）之間的關系如圖2所示，分別求出甲、乙兩根蠟燭燃燒時y與x之間的函數關系式

錯解 設y = kx + b，把（2，30）和（2.5，25）代入得

30 = 2k + b，25 = 2.5k + b，解得k = -10，b = 50.

所以，y = -10x + 50.

問：題目求什么？誰的？多少個？

答：求函數關系式，甲的……乙的，兩……兩個！怎么才求出一個，哦，可能錯了.

問：求函數關系式的方法是什么？

答：待定系數法，找兩個點的坐標代入.

問：求一個函數關系式需要多少個點的坐標？兩個函數關系式呢？

答：求一個函數關系式需要兩個點的坐標. 兩個函數關系式……對啊，怎么才兩個點的坐標？哦！我明白錯在哪里了！

類似于上述過程，經過自我提問和回答，多數學生能意識到解題的錯誤. 教師對錯解進行自我提問示范，目的是培養學生形成自我提問的習慣. 當自我提問成為一種穩定的能力時，學生就掌握了初步的元認知監控策略.

（二）在錯誤中學會反思

作為初中數學教師，不能無視學習者的己有經驗，特別是錯誤的經驗. 教師要想辦法讓學生經歷發現錯誤的過程，反思錯誤的原因，然后尋找解決問題的辦法.

例3 如圖3，四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD和DA的長分別是3，4，13，12，∠CBA = 90°，求S四邊形ABCD .

錯解 S四邊形ABCD = （3 + 13） × 4 ÷ 2 = 32.

正解：連接AC，

∵ ∠CBA = 90°，AB = 3，BC = 4，

∴ AC = 5，

∵ CD = 13，DA = 12 ，AC = 5，

∴ ∠CAD = 90°.

∴ S四邊形ABCD = S△ABC + S△ADC = 3 × 4 ÷ 2 + 5 × 12 ÷ 2 = 36.

教師若直接給出上述解法，學生可能仍不明白做錯的原因，無法吸取教訓. 事實上，當學生出現上述錯誤時，教師可以讓學生先按題目所述的數據畫圖，讓學生發現題目中的四邊形ABCD并不是自己主觀認為的梯形，犯了“添加條件”的錯誤，此時教師不失時機地引導學生反思：題目沒有說到的條件不能擅自添加；題目說了的條件不可能無需用到. 這時學生才意識到題目并沒有說四邊形ABCD是梯形，而條件“DA = 12”卻被丟在一邊. 教師趁熱打鐵：不規則圖形求面積還有什么辦法？學生恍然大悟：分割法，我懂了！

所以說，教師要懂得利用學生的錯誤來讓學生學會反思. 只有學生自己意識到錯誤之后，他們才能從根本上改正錯誤，也才能在以后處理類似的問題時否定以前的解法，而把正確的解法作正遷移，從而提高解題能力.

三、因才施教，可以使學生從錯誤中找回信心

沒有學生愿意主動出錯，面對自己的錯誤解答，他們心理上也有壓力. 學生渴望得到尊重，他們敏銳地感受著教師言行的點點滴滴. 教師應做到具體問題具體分析，針對個體差異區別對待，并且教會學生積極地面對挫折，在錯誤中找回信心.

（一）善意批評與嚴格要求相結合

“錯誤”有一定的教學價值，但并不意味著教師可以放任學生犯錯. 教師要對學生的“小錯誤”給予足夠的重視，弄清楚該錯誤是“新病”或是“頑疾”. 對首次犯錯的學生，可以在評講時指明致錯的原因，暴露產生錯誤的思維過程；對同一錯誤一犯再犯的學生，除了強調正確解法之外，還應該對這名學生給予善意的批評.

例4 如圖4，O是△ABC內一點，AO平分∠BAC，∠1 = ∠2. 求證：AB = AC.

錯證一 ∵ AO平分∠BAC，

∴ ∠BAO = ∠CAO.

∵ ∠1 = ∠2，

∴ BO = CO.

又 ∵ AO = AO，

∴ △BAO ≌ △CAO，

∴ AB = AC.

該題的證明錯誤在于學生錯把SSA當作SAS來用了. 如果學生一直認為SSA能證明全等，教師對出現這種知識性錯誤的學生理應批評提醒和嚴格要求，杜絕再錯；如果學生知道SSA并不能證明全等，是因為想不出證法而不得不“錯證”出來，教師則應當和學生作適當的交流，提出要認真思考問題、不能馬虎對待數學的要求.

（二）個別輔導與肯定鼓勵相結合

有的學生因為思維定式出錯，有的學生因為情緒焦慮出錯，有的學生因為問題表征困難出錯，等等. 教師可以找學生談心，分析致錯的心理因素，進一步培養學生戰勝困難的勇氣和決心.

例如上述例4，有的學生證明如下：

錯證二：如圖5，作OD⊥BC，垂足為D

∵ ∠1 = ∠2，

∴ BO = CO，即△OBC是等腰三角形.

∵ OD⊥BC，

∴ BD = CD.

在△ABD和△ACD中，

∵ BD = CD，∠BDA = ∠CDA = 90°，AD = AD，

∴ △ABD ≌ △ACD，從而AB = AC.

顯然，出現上述錯誤的學生沒有意識到作OD⊥BC后，點A，O，D不一定在同一條直線上，從而證明失敗. 但是該學生作了輔助線，說明他對題目的思考已經較為充分，屬于思維活躍、敢于嘗試的學生. 教師一方面要肯定他不怕困難勇于嘗試的精神，另一方面，教師還要引導他查找錯誤，促使其全面思考，鼓勵他再作嘗試. 學生很快找到了正確的輔助線的作法：作OM⊥AB，ON⊥AC即可完成證明.

總之，錯誤是伴隨學習過程的常見現象，錯誤不等于失敗. 對學生而言，錯誤增加了他數學經驗的積累. 對教師而言，學生的錯誤使老師更好地了解到學生頭腦中的想法，在教學中能及時作出有針對性的調整. 如果學生能在教師的支持下，嘗試按照自己的想法解釋錯誤，他就有機會整理自己的觀點，并檢查自己思維過程的合理性，從而發現錯誤并弄清病因. 作為教師，我們除了傳播科學的數學知識和展示正確的思想方法，還要營造一種寬松的環境，讓學生敢于嘗試并且“知錯能改”，在改正錯誤的過程中找到正確的方法和收獲進步的喜悅.

【參考文獻】

[1]林崇德.發展心理學[M].杭州：浙江教育出版社，2002：379.

[2]戴再平.數學學習論[M].上海：上海教育出版社，1996.

[3]張大均.教育心理學[M].北京： 人民教育出版社，2004.