數(shù)學(xué)概念，如何形成？

王存金

人類生活在符號(hào)的世界里，數(shù)學(xué)可以說(shuō)是符號(hào)之符號(hào)，因此數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性工作，是培養(yǎng)孩子們的抽象思維、概括能力，并與客觀事物形成良好的數(shù)量、空間關(guān)系的必由之路，也是孩子們形成正確的數(shù)學(xué)觀，形成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的唯一途徑。那么，在具體教學(xué)中，如何讓孩子們形成數(shù)學(xué)概念呢？

一、原型入手，共同分析，抓住關(guān)鍵

1.選擇原型：反映生活。很多數(shù)學(xué)概念比較直觀。比如一些圖形的概念，而實(shí)際上，很多較原始的數(shù)學(xué)概念就是源自于生活，從人們的生活實(shí)踐中抽象而來(lái)，創(chuàng)造而來(lái)，所以，學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)概念就是為了展示這些概念的產(chǎn)生過(guò)程，讓孩子們獲得“再創(chuàng)造”的體驗(yàn)。

2.歸納分析：提取共性。在《線段的認(rèn)識(shí)》中，我先做了簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的舉例，這樣就可以讓學(xué)生很快總結(jié)出線段的共同數(shù)形，比如線段都是直的，線段都有兩個(gè)端點(diǎn)等等。而在《認(rèn)識(shí)圓》的教學(xué)過(guò)程中，我則讓比較不同大小的圓，通過(guò)引導(dǎo)慢慢得出結(jié)論：圓屬于一種曲線的圖形，中間有一個(gè)圓心，圓上的點(diǎn)到圓心的距離都是相等的，這個(gè)值就是半徑。等等。

3.體會(huì)實(shí)例：抓住本質(zhì)。所謂本質(zhì)就是一個(gè)事物區(qū)別另一個(gè)事物的關(guān)鍵性質(zhì)，抓住關(guān)鍵屬性，對(duì)孩子形成數(shù)學(xué)概念起著重要的作用。但關(guān)鍵屬性的獲得必須讓孩子們經(jīng)歷親身的實(shí)踐。比如教學(xué)《認(rèn)識(shí)平行四邊形》，我讓孩子通過(guò)畫不同形態(tài)的平行四邊形，孩子們?cè)诶L畫的同時(shí)，也逐漸認(rèn)識(shí)到了它的關(guān)鍵屬性：四邊形，兩組對(duì)邊平行且相等。

4.實(shí)例強(qiáng)化：拓展外延。抓住關(guān)鍵屬性，體會(huì)到事物的本質(zhì)后，還要再次回歸生活，讓孩子們?cè)谏钪羞M(jìn)一步驗(yàn)證，這樣孩子們的記憶會(huì)更加深刻，對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)會(huì)加深。還如在知道了《平行四邊形》的本質(zhì)屬性后，我讓孩子們繼續(xù)距離，說(shuō)明生活中有那些平行四邊形。如校門口的伸縮門，有的學(xué)生甚至能想到平行四邊形具有不穩(wěn)定性。

二、多種方法，復(fù)習(xí)鞏固

1.比較分類，形成統(tǒng)一性。比較和分類是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的思維方法，比較一般包括對(duì)比和類比，在同化概念的過(guò)程中可以用對(duì)比，這在概念形成的過(guò)程中具有著重要的地位，因?yàn)樗鼘?duì)于辨析新舊概念的異同功不可沒(méi)。比如，我們可以拿線段和直線、射線進(jìn)行比較。

可以說(shuō)，概念獲得基礎(chǔ)便是分類，分類的過(guò)程，就是形成概念統(tǒng)一性的過(guò)程，在我們小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們需要進(jìn)行各種各樣的分類，比如“數(shù)”的分類，比如“形”的分類。孩子們能夠進(jìn)行分類，是考驗(yàn)孩子們是否已經(jīng)獲得數(shù)學(xué)概念的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

2.反例運(yùn)用，強(qiáng)化理解。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程中，我們除了要給孩子們從正面揭示內(nèi)涵，還應(yīng)當(dāng)考慮利用反面的例子來(lái)突出概念的本質(zhì)，讓孩子對(duì)正反兩個(gè)例子進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)彼此之間的差異，讓反思所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，從而使得已經(jīng)形成概念得到強(qiáng)化。

其實(shí)，我們采用反例的方法來(lái)強(qiáng)化概念，實(shí)質(zhì)上就是讓孩子們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)概念的外延，讓孩子們對(duì)外延進(jìn)行綜合性的認(rèn)識(shí)，從而加深理解。理論上講：凡具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象必屬于該概念的外延集，而反例的構(gòu)造，就是讓學(xué)生找出不屬于概念外延集的對(duì)象。比如教學(xué)“比”，我們可以采用田徑比賽中的1︰0，3︰0等等這些反例，孩子們經(jīng)過(guò)研讀，一定會(huì)發(fā)現(xiàn)，“比”的后項(xiàng)是不能為零的。數(shù)學(xué)概念中的“比”，反映地是事物之間的一種倍比關(guān)系。比的后項(xiàng)的后項(xiàng)是不能為0的，這就相當(dāng)于除法中的除數(shù)，分?jǐn)?shù)中的分母，如果為0，這個(gè)比就沒(méi)有實(shí)際意義。田徑比賽中的“比”，僅僅是兩對(duì)所得分?jǐn)?shù)的對(duì)比，并不是數(shù)學(xué)概念中的“比”。

3.變式運(yùn)用，感知合理性。依靠感性材料，有它的好處，但過(guò)于依靠感性材料，又會(huì)使得孩子們對(duì)概念的認(rèn)識(shí)形成片面性、局限性，而且很多感性材料的非本質(zhì)屬性比較突出，會(huì)讓孩子們無(wú)法辨認(rèn)本質(zhì)屬性，從而削弱了孩子們的正確理解，這對(duì)孩子們數(shù)學(xué)概念的形成是不利的。在具體教學(xué)中，我們完全可以采用變式的方法，讓孩子們從變式中逐漸感知概念屬性，所謂變式，一般包括圖形變式、式子變式和字母變式等等。比如，學(xué)習(xí)“等樣三角形”，一般來(lái)說(shuō)，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。例如，講授“等腰三角形”概念，筆者就設(shè)計(jì)了不同的便是，讓孩子從不同的方面來(lái)認(rèn)識(shí)等腰三角形，最終孩子們真正認(rèn)識(shí)了等腰三角形的概念。

4.理性看待，甄別生活性。我們必須引起注意的是，概念的生活原型一定不能等同于概念知識(shí)，但孩子們也必須認(rèn)識(shí)到，這些也不會(huì)妨礙我們用生活的原型來(lái)研究數(shù)學(xué)概念，這一點(diǎn)孩子們要有一個(gè)理性的認(rèn)識(shí)，因?yàn)橛械暮⒆訒?huì)產(chǎn)生一種生活排斥的感覺(jué)，這對(duì)他們形成數(shù)學(xué)概念和正確的數(shù)學(xué)觀是不利的。比如，在生活中，我們只要拉近了一根繩子就構(gòu)成了一個(gè)“線段”，但這條線段僅僅是生活中，絕不是數(shù)學(xué)上的。再比如，要讓孩子們認(rèn)識(shí)到，我們看到圓圓的臉，圓圓的車輪，圓圓的太陽(yáng)等等，它們雖然都是圓的，但不是數(shù)學(xué)上研究的概念。讓孩子們?cè)龠M(jìn)行作畫，畫出一個(gè)圓來(lái)，孩子們就自然認(rèn)識(shí)到自己畫出來(lái)的圓，才是數(shù)學(xué)中的圓。

5.鞏固整理，增強(qiáng)系統(tǒng)性。鞏固是學(xué)習(xí)任何新知識(shí)所必須的途徑和方法，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中，更是離不開(kāi)必要的復(fù)習(xí)。但概念的復(fù)習(xí)有其特殊性，因?yàn)楦拍钍乔逦模虼擞斜匾尯⒆觽冞M(jìn)行個(gè)別的復(fù)述；概念是闡明事物的，因此可以讓孩子們闡釋運(yùn)用概念解決生活中的問(wèn)題。但更多的是，要讓孩子們學(xué)習(xí)整理，將類似的概念進(jìn)行整理，從而形成系統(tǒng)性，構(gòu)成概念體系。