形如“af（x）+b=c”方程的五種解法

徐澤明

解分式方程的一般思想方法是通過去分母，把分式方程轉化為整式方程來求解.但對于一部分較特殊的分式方程，若用一般方法求解，則解題過程比較繁雜，因此，應根據分式方程的結構特點，采用特殊的方法和技巧求解.

對于形如“af（x）+b =c”（其中a、b、c為常數，f（x）是關于x的二次代數式）”的可化為一元二次方程的分式方程，一般來說都可以用如下五種方法來解.下面我以方程 + =7為例，談談這五種方法的具體求解過程.

一、倒數換元法

觀察分式方程“af（x）+b =c”，我們不難發現它有一個明顯的特點是：f（x）與 互為倒數.對于此類問題，最簡明的求解方法就是利用倒數換元法來求解.因此我們可以假設f（x）=y，那么 = ，這樣一來，經過換元后關于新變量y的方程的次數就降低了，問題也就容易解決了.

解法一：設 =y，則 = （y≠0），原方程變形得2y+ =7.

去分母，得2y -7y+6=0，解之得y =2，y = .

當y =2時， =2，去分母，化簡得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

當y = 時， = ，去分母，化簡得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.

二、均值換元法

由于分式方程“af（x）+b =c”的左邊兩個含有變量x的式子的和是一個常數c，因此如果假設af（x）= +t，b = -t，由于f（x）與 互為倒數，因此將兩式相乘可以得到ab= -t ，再由這個方程可以解得t，然后把t的值代入af（x）= +t中求得x.結合上述方程具體解法如下.

解法二：設 = +t， = -t，

將上述兩式相乘可得12= -t ，解之得t = ，t = .

當t = 時， = + ，去分母，得2（x +1）=4（x+1），化簡得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

當t =- 時， = - ，去分母，得2（x +1）=3（x+1），化簡得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.

三、利用根與系數關系來解

仔細觀察分式方程“af（x）+b =c”的特點，不難發現它有兩個特點：①af（x）+b =c；②af（x）×b =ab，其中c與a×b都是常數.正好符合一元二次方程中的根與系數關系式，因此我們可以把af（x）與b 看做是一元二次方程“y -cy+a×b=0”的兩個實數根，我們只要解這個一元二次方程就可以得到af（x）與b 的值，從而進一步求得原方程的解.

解法三：由于 + =7， × =12，因此我們把 與 看做是一元二次方程“y -7y+12=0”的兩個根.解這個一元二次方程得y =4，y =3.

若 =4，則 =3，由方程 =4，去分母，得2（x +1）=4（x+1），化簡得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

若 =3，則 =4，由方程 =3，去分母，得2（x +1）=3（x+1），化簡得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.

四、十字相乘因式分解法

如果將分式方程進行移項或者去分母，再經過適當整理后，使得方程的右邊是0，方程的左邊是易于利用十字相乘法分解因式的式子，那么就可以利用十字相乘法來解此類方程.

解法四：移項得 + -7=0，利用十字相乘法分解因式得 + -7=-（ -1）（ -3）=0，于是可以得到 -1=0或 -3=0.

當 -1=0時，整理得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

當 -3=0時，整理得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.

另解成：方程兩邊同時乘以（x +1）（x+1）去分母，移項得2（x +1） -7（x +1）（x+1）+6（x+1） =0，利用十字相乘法進行分解因式得[（x +1）-2（x+1）][2（x +1）-3（x+1）]=0，于是可以得到（x +1）-2（x+1）=0或2（x +1）-3（x+1）=0.

當（x +1）-2（x+1）=0時，整理得x -2x -1=0，解之得x=1± ；

當2（x +1）-3（x+1）=0時，整理得2x -3x-1=0，解之得x= .檢驗略.

五、待定系數因式分解法

在解方程 + =7時，在學習用換元法解這個方程之前，大部分學生習慣上直接用去分母法來解，即方程兩邊同時乘以（x +1）（x+1），去分母、去括號、移項得2x -7x +3x +5x+1=0.當學生在解這個高次方程有困難時，教師可以引導學生觀察方程2x -7x +3x +5x+1=0的特點，可以發現：x 的系數是2；常數項是1.根據這個特點，用待定系數法分解因式時只有兩種可能.

解法五：方程兩邊同時乘以（x +1）（x+1），去分母、去括號、移項得2x -7x +3x +5x+1=0.用待定系數法分解因式：

①設2x -7x +3x +5x+1=（x +ax+1）（2x +bx+1），去括號，合并同類項得，2x -7x +3x +5x+1=2x +（2a+b）x +（3+ab）x +（a+b）x+1，于是有2a+b=-73+ab=3a+b=5，求解方程組時，發現此方程組無解，說明此種分解不符合題意.

②設2x -7x +3x +5x+1=（x +ax-1）（2x +bx-1），去括號，合并同類項得，2x -7x +3x +5x+1=2x +（2a+b）x +（-3+ab）x -（a+b）x+1，于是有2a+b=-7-3+ab=3-（a+b）=5，

解之得a=-2b=-3，所以2x -7x +3x +5x+1=（x -2x-1）（2x -3x-1），方程用待定系數法分解因式得（x -2x-1）（2x -3x-1）=0，于是可以得到x -2x-1=0或2x -3x-1=0，解方程x -2x-1=0得x=1± ；解方程2x -3x-1=0得x= .檢驗略.

我們在用倒數換元法、均值換元法法、根與系數關系法、十字相乘因式分解法、待定系數因式分解法解形如“af（x）+b =c”分式方程時，都體現了一定的靈活性和技巧性.其實我們還可以用這些方法解其他一些特殊形式的分式方程，這就要求我們必須仔細觀察、分析分式方程的特點，然后根據分式方程的特點選擇恰當的方法來解，這樣能收到事半功倍的效果.