淺談數學研究性學習的幾個案例

姚源

摘要：科學研究法，主動獲取知識，建立生動的情景模式，重要的著眼點是改變學生的學習方式；一種新的學習方式的掌握和運用，需要依托相應的課程載體；開放題的核心是培養學生的創造意識和創造能力。

關鍵詞：數學研究；教育核心；知識理論

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A ？搖文章編號：1674-9324（2013）50-0155-03

自20世紀中葉以來，全球隨著計算機技術的迅猛發展，數學的應用不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經濟、管理、金融、生物、醫學、環境、地質、人口、交通等新的領域滲透，數學技術已經成為當代高新技術的不可或缺的重要組成部分。

但是由于數學這門學科其本身具有特有的抽象、枯燥性，因此很多學生對數學的學習在心理上很自然的產生出恐懼性，厭學等態度，但迫于考試約束和壓迫性，學生們又不得不硬著頭皮去學習，沒有從自己心里產生一種主動的求知欲，從而在學習過程中處處被動，布滿荊棘。使得數學教育目標和學習效果都達不到預期目的。所以大力宣傳與普及一種另類的數學學習，使同學們對數學有新的認識是勢在必行的，也是刻不容緩的。

而研究性學習就是其中的一類。這類學習是學生們在老師的指導下，從身邊的自然、所處的社會和自己的生活中選擇和確定專題進行研究，以類似科學研究的方式主動地獲取知識、應用知識、解決問題，并在研究過程中通過多種渠道主動地獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動。而學生所學知識的獲取、學習能力的提高、好的學習行為習慣的養成，歸根到底是學生正確學習的過程和結果。所以，我們的教育需要關注的重要問題是要讓我們越來越多的學生形成正確的積極的學習方式方法。而在現有教育環境下、教學條件下，許多老師對學生的知識傳輸方式以“填鴨式”、“灌輸式”為主，而學生的學習又偏重于機械記憶、淺層理解和簡單應用，僅僅立足于被動地接受教師的知識灌輸。這種學習方式十分不利于學生創新精神和實踐能力的培養，而且掌握得也不很扎實，即使記憶下來，也是暫時記憶。針對這一狀況，當前教學改革的一個重點是通過教學目標、內容和途徑方法來調整、幫助學生改變原有的單純接受式的學習方式，改變被動的學習態度，在開展有效的主動接受學習的同時，形成一種對知識進行主動探求，并重視實際問題解決的主動積極的學習方式。

一、在數學課堂教學中滲透研究性學習

求學是人們發自內心的對知識的渴望和源泉，學生對知識的渴望越高，發憤圖強的學習精神越強烈。老師可以對課例進行實例操作，讓學生跟著練習并自由發揮，讓課堂氣氛活躍，充滿朝氣勃勃，這樣學生感到學習起來很輕松，同時腦海思維又不斷擴展到了新的畫面。學生把自己的思想也融合到了課堂上。例如在講解斜三角形應用題時，我建立的情景模式是：“現在通信技術的發展可以說是日新月異，手機的使用已經達到了普及化，無論是公園里晨練的老人還是自習室上課的學生，幾乎人手一部手機。可以說，通信技術的發展給人類提供了便捷，但是有時也會造成麻煩，因為手機通訊是要通過網絡信號作媒介才能得以體現。如果某一地區沒有覆蓋網絡信號，那么你的通信工具只能當玩具。所以，信號的覆蓋顯得格外重要。在某一山區，通訊公司為了將該地覆蓋信號，想在山（即三角形BED）高ED上架一座信號塔。信號塔太低，盲區太多；信號塔太高，則浪費材料，且有危險，所以塔的高度既不能太高，也不能太低，要恰到好處才行。已知條件是山坡BD與水平方向成？墜，從B，C兩點測得塔的張角分別為？茁，？酌，若BC=a，求理論塔高為多少？”這一問題是這節課中的解斜三角形的問題，只要掌握解題方法，問題很容易被攻克。在三角形ABD中，利用已知的？茁角和？酌角，可以求出該三角形三個內角，又已知BC長為a，可以利用正弦定理求出邊AC的長，再在三角形ACD中求出三個內角，再利用一次正弦定理就可求出塔高AD來。這樣盡管這節課的內容是一些繁雜枯燥的角度和正弦定理的計算，但是將同學們所關心的手機通信知識運用在課堂中，學生在課堂上很是興趣盎然。因為剛才所說的情景模式部分，都是發生在學生們身邊并且感興趣的事物，青少年學生求知欲望強，敢說、敢想，喜歡發表自己的意見，組織討論能很好地發揮這種心理優勢。有一次在講空間立體幾何中面與面的位置關系的時候，我出了這樣一道選擇題：已知其中一個平面和另外兩個平面都垂直，則這另外兩個平面的位置關系是：A.平行；B.垂直；C，平行或垂直然后讓同學們思考和討論，教室里的氣氛一下活躍了，爭論的焦點集中在另外兩個平面是否垂直，兩種意見爭持不下，這時坐在后面的一個男同學用手指了一下墻角，站起來大聲告訴同學們：“這個現成的模型說明了另外兩個平面的確存在垂直的關系，因為地面可以看成是第一個平面，而對著大家的黑板面和靠著窗戶的墻面分別都與地面垂直，這符合題目條件，然后黑板面和靠窗戶的墻面位置關系顯見，它們也是垂直的，所以答案應該是C。說完后我給了肯定的回復，選C的同學們興奮極了。最后教師充分肯定了這位同學的創造精神并理論上證明了這一結論，使另一部分同學心服口服。

又例如，在學習指數和指數函數時，遇到了一道“將紙對折”的問題，我讓同學們自己找材料，看誰對折的次數多。很多同學興致勃勃地拿出早就準備好的紙，有的是作業本紙，有的是A4打印紙，有的是報紙，大部分同學都對折了6次，少數同學對折了7次就再也折不過去了。為什么會出現這種情況？我用簡單的指數運算來解釋就可以讓大家理解，解釋完后同學們豁然開朗，緊接著我又從其他角度引入了該影響問題的因素，紙張的對折次數與其面積、厚薄、硬度有關，細長、柔軟、薄些的紙，折的次數會比較多。從力學方面講，每張紙對折一次，厚度就翻一倍。假如一張紙的厚度為0.01毫米，那么折9次后，紙的厚度約為5毫米。隨著厚度的增加，折了七八次后，折疊起來的紙張就會很厚了，繼續對折就不可能了。而紙折的次數與個人力量的大小并無太大聯系，但同樣厚度的紙，面積越小對折難度也就越大。因此剛才那位拿報紙的同學比其他同學折的次數多，原因就在這里。但是9次的結果并不是不能打破。我們在網上搜了一下，有人曾拿50米長的長條新聞紙進行對折，最多折了10次，而用1000米長的長條新聞紙，最多折了11次。據說，創折紙次數世界紀錄的是個美國人——這個美國人用4公里長的廁紙進行對折，結果折了13次。如果同學們有興趣，也可以動手試試，看能否打破世界紀錄。聽到這里，大家都拍手叫好。這節課既豐富了知識，又夯實了指數的運算概念和性質。

通過實事證明：在遵循教學規律的基礎上，采用生動活潑的富有啟發、探索、創新的教學方法，充分激發學生的求知欲，培養學生的學習興趣，是提高課堂教學效果和培養學生研究能力的重要途徑。

二、數學開放題與數學研究性學習

近些年來，開放題是數學教學中的一種熱點題型，它是相對于傳統的封閉題而言的。開放題的核心是培養學生的創造意識和創造能力，激發學生獨立思考和創新的意識，這是一種新的教育理念的具體體現。該題目有的類型為一題多解；有的同一道題答案卻有幾種，只要求思路清晰明了，運用手法準確；還有的是數形結合，可謂靈活多樣。為了使數學適應時代的需要，我們選擇了數學開放題作為一個切入口，開放題的引入，促進了數學教育的開放化和個性化，從發現問題和解決問題中培養學生的創新精神和實踐能力。關于開放題目前尚無確切的定論，通常是改變命題結構，改變設問方式，增強問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對命題賦予新的解釋進而形成和發現新的問題。近兩年高考題中也出現了開放題的“影子”，如對■-lx≤0，是選擇■≥0，還是選擇■≥1呢？選擇前者則得kx+1≥0，？圯x≥-■，之后的解題道路荊棘叢生，而選擇后者則有kx+1≥1，？圯x≥0以后的道路則是豁然開朗。

解答數學開放性問題的幾種常用策略：（1）分析所給問題、聯想實際應用、類比解決策略。對于由給定的條件尋求相應的結論或是由給定的結論反溯應具備的條件的開放性問題，可通過觀察、分析、聯想、類比等策略，執因索果探求結論或執果索因反索條件。（2）歸納、猜想、證明策略：對于比較大小或探求公式的開放性問題，可先通過特例引路，猜想結論，然后進行證明：或者由特殊到一般，由低維到高維探求結論。（3）假設存在，驗證肯定或反證否定策略：對于判斷符合條件的某種數學“對象”是否存在的開放性問題，可先假設該數學“對象”存在，然后據此進行推理，若推出合理結果，則假設成立。

三、社會實踐與數學研究性學習

研究性學習強調理論與社會、科學和生活實際的聯系，特別關注環境問題、現代科技對當代生活的影響以及社會發展密切相關的重大問題。要引導學生關注現實生活，親身參與社會實踐性活動。同時研究性學習的設計與實施應為學生參與社會實踐活動提供條件和可能。

學生對這個問題的進一步研究，無疑會激發其學習數學的主動性，養成善于發現問題、獨立思考的習慣。

1.一塊長方形苗圃，長460米，寬300米，在它的四周每隔5米種一棵蘋果樹，那么一共要種多少棵？

2.赤壁大道的兩邊每邊原有81線桿，每兩根間的距離是30米，現改成另一種型號，每兩根相距50米，兩邊共需要多少根這樣的電線桿？

3.有一個花壇，是由四個相同的小三角形組成的一個大三角形，每個小三角形邊上種了10棵花。大三角形的一周種了多少棵花？一共種了多少棵？

4.用8角的郵票，排列在一張正方形紙的周邊，每邊張數相等，這些郵票共值19元2角。請你算出每邊的張數。

5.有一個報時鐘，每敲響一下，持續聲音可持續3秒。如果敲響6下，從敲響第一下到最后一下持續聲音結束，一共需43秒。現在敲響12下，從敲響第一下到結束，一共要多長時間？

6.甲、乙兩個綠化隊在3千米的公路兩旁栽樹，每隔20米栽一棵白楊樹，在相鄰的香樟樹中間栽一棵槐樹。甲隊比乙隊多栽12棵，甲、乙兩隊各栽了多少棵？

7.在一座橋上，兩側有20塊廣告牌，每塊長3米，寬2米，兩塊廣告牌之間相距8米，靠近橋兩端的廣告牌距離橋兩端都是50米，求這座橋長多少米？

8.某市一次大型的武警警力閱兵，一共有20個方陣和50輛警車從主席臺前通過。每輛警車長4米，警車之間相距5米。每個方陣長10米，每兩個方陣相隔3米，方陣和警車之間相隔8米。這個隊伍長多少米？

在數學研究性學習中，社會實踐是重要的獲取信息和研究素材的渠道，學生通過對事物的觀察、了解并親身參與取得了第一手資料，可以用所學的數學知識予以解決。以下的問題均可作為簡單有趣的數學研究性問題來進行討論：對于上述問題，有些你也許想過，有些你也許從未想過。這些問題都與數學有關！數學與生活是如此的息息相關，讓我們發現并研究這些數學問題吧！相信你會其樂無窮。