在解題教學中培養數學思維能力

曹潔

摘要：以一道高考題為例，揭示了如何在解題教學中滲透數學思維的培養，從而提高數學解題能力。對高中解題教學及高考試題研究有一定的參考價值。

關鍵詞：數學思維能力；數學的思維方式；內在規律

中圖分類號：G718.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）50-0157-02

怎樣才能學得好數學呢？數學科學的最顯著的特點是它提供了有特色的思考方式，訓練人們清晰思維的智力，因此學好數學的正確途徑是按照數學的思維方式來學習數學。數學的思維方式是由“觀察—抽象—探索—猜測—論證”這五個環節構成的。即觀察客觀現象，抓住主要特征，抽象出概念或建立模型；運用直覺、類比、歸納、聯想、推理等進行探索，猜測可能有的規律；然后進行深入分析、邏輯推理和計算，揭示事物的內在規律。數學科的高考在考查基礎知識的同時，注重考查能力。能力要求包括思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創新意識，其中思維能力是核心。數學思維能力就是按照數學的思維方式去思考、分析和解決問題的能力。

下面結合2012年全國新課標數學卷第16題，談談如何在解題教學中培養學生的數學思維能力。

觀察視角1：從函數視角進行觀察

觀察“an+1+（-1）nan=2n-1”，你如何表述這個條件呢？

an+1+（-1）nan=2n-1等價于an+1=（-1）n+1

an+2n-1，an+1是an的函數，則a2可以用a1表示，a3可以用a2表示，所以a3也可以用a1表示，所以這個數列的每一項都可以用a1表示：a2=a1+1，a3=-a2+3=-a1-1+3=-a1+2，a4=

a3+5=a1+2+5=-a1+7

以此類推，寫出這個數列的前60項根本不成問題。至少有以下兩種方法來觀察。

方法1：因為這是一個填空題，除了條件式外，沒有提供任何表示常數的字母，問的卻是前60項和，結果應該是一個數字，當給這個數列的a1賦不同的值，結果都是一樣的，所以我們不妨讓a1=1，于是得到左邊的式子。

對左邊式子進行觀察，可能有兩種方式：

解法1 觀察全部

可以一直寫下去，直到寫完60項，然后把這些項加起來，得到問題的答案，這不失為一種好方法，因為這種方法一定能夠在有限的時間內得到問題的正確答案，最起碼比為了找到一種好方法，最終得不到正確答案好。

解法2 觀察部分，應用合情推理

觀察到奇數項都是1，偶數項是2，6，10，14，猜想奇數項是常數列1，1，1…，偶數項是首項為2，公差為4的等差數列，因為是填空題不需論證，分別用等差數列的前n項和公式求解如下：a1+a2+…+a60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a60）=30+30×2+■×4=1830

方法2：設a1=a

不知道這個數列的a1，但是我們可以假定知道，設a1=a。（對于教師來說，用a1和a只有形式上的區別，但是對于學生來說，把a1=a寫成a1=a會有不同的作用，尤其在學生認知水平較低時。）

觀察2-1 觀察所有項

解法3：與觀察1-1-1類似，全部寫出來，再相加得到結果。

觀察2-2 觀察奇數項、偶數項特征，應用合情推理

解法4：觀察到奇數項中，猜想出奇數項和為30，觀察到偶數項中a6+a8=（a2+a4）+16，再驗證a10+a12=（a8+a10）+16，猜想a2+a4，a6+a8，a10+a12…構成首項為8，公差為16的等差數列，偶數項的和為8，從而前60項的和為15×10+■×16=1830.

觀察2-3 片段和的特征，應用合情推理

解法5：觀察到a1+a2+a3+a4=10，a5+a6+a7+a8=26，再驗證a9+a10+a11+a12=42，猜想a1+a2+a3+a4，a5+a6+a7+a8，a9+a10+a11+a12，…構成以10為首項，16為公差的等比數列，則前60項的和為15×10+■×16=1830。

以上都是從函數y=f（x），的視角來觀察an+1+（-1）nan=2n-

1，這個條件，分設首項為數字、設首項為字母觀察，用完全歸納的方法或者不完全歸納方法得到問題的結果。要說明的是，完全歸納法，雖然笨拙，但是結果可靠；不完全歸納法雖然簡潔些，但是在邏輯上不完整，可能產生漏洞甚至是錯誤。設首項為1，和設首項為a也是存在差異的，設首項為1時，我們看到奇數項構成的是常數列，設首項為a，奇數項構成的是擺動數列。我們可以認為解法3、4是解法1、2的抽象。解法1、3是對問題的論證，解法2、4、5是對問題的猜想。而解法1～5都算是我們對問題的探究。

觀察視角2：疊加法的視角

用疊加法求等差數列通項公式的方法，是我們比較熟悉的。為了方便學生理解，復習以下的內容是必要的。

觀察左邊的式子，注意以下兩個特征：

特征一：等號左邊是“差”的形式，等號右邊還得是我們能夠求和的對象。

特征二：等號左邊的式子相加可以抵消項部分項。

而本題所給的條件，有時候是差的形式，有時候是和的形式，要由n的奇偶來決定。

觀察2-1？搖觀察等號左邊是差的情形，累加

解法6：

a2n+1+a2n=4n-1a2n-a2n-1=4n-3

得a2n-1+a2n+1=2，n=1，2，3…

a1+a3+…+a59=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a7+a59）=30

a1+a2+…+a60=[（a2+a4+…+a60）-（a1+a3+…+a59）]+2（a1+a3+…+a59）=1770+60=1830

等號左邊是差，得到的是“偶數項的和”與“奇數項的和”的差，那么如果等號左邊是和的形式呢？

觀察2-2？搖觀察等號左邊是和的情形，累加

解法7：

可以證明a61=a1，則1830即為所求。

以上是將an+1+（-1）nan=2n-1具體化，從疊加法的視角進行的觀察與分析，解法6在滿足“等號左邊是差”這個條件下累加；解法7是滿足“等號左邊全是和”條件下累加；解法8是滿足“等號左邊相加抵消部分項”條件下的累加。雖然都使得問題得到了某種程度的簡化，但是并不能立刻得到問題的正確結果，相當于把原問題化歸為兩個子問題來解決。

觀察視角3：方程視角

如果用n+1代替an+1+（-1）nan=2n-1的n，則可得到

an+2+（-1）n+1an+1=2n+1

把它們聯立an+1+（-1）nan=2n-1an+2+（-1）n+1=2n+1，這是關于an，an+1，an+2這三個未知量的方程組，雖然解不出每一個值，但是我們可以通過消元，減少一個量。

觀察3-1？搖觀察特例，應用合情推理

解法9：

a3+a4=3a2-a1=1？圯a1+a3=2 a4-a3=5a3+a2=3？圯a2+a4=8

a7+a6=11a6-a5=9？圯a5+a7=2 a8-a7=13a7+a6=11？圯a6+a8=24

a11+a10=19a10-a9=17？圯a9+a11=2 a12-a11=21a11+a10=19？圯a10+a12=40

后同解法4。

觀察3-2 觀察特例的連續四項和，應用合情推理

解法10：

a3+a2=3a2-a1=1？圯a1+a3=2，a4-a3=5a3+a2=3？圯a2+a4=8？圯a1+a3+a2+a4=10

a7+a6=11a6-a5=9？圯a5+a7=2，a8-a7=13a7+a6=11？圯a6+a8=24？圯a5+a6+a7+a8=26

a11+a10=19a10-a9=17？圯a9+a11=2，a12-a11=21a11+a10=19？圯a10+a12=40？圯a5+a6+a7+a8=42

后同解法5。

綜上，我們分別從函數、疊加法、方程的角度對an+1+（-1）nan=2n-1進行了觀察分析，也就是說我們從基本概念（如函數）、基本方法（疊加法）、基本數學思想（方程）的視角對條件進行了觀察分析，如果沒有掌握好基本概念、基本方法、基本數學思想，以上的分析都只能是空中樓閣，所以一定要掌握理論。在平時做題的過程中，我們往往希望快速的找到方法，我們會喜歡以上三種視角的第二種視角：基本方法。如果能用基本方法直接解決的問題，我們可以認為所解決的不是一個“問題”，只是對已經掌握的知識的重現而已。對我們來說，“問題”應該是這樣的，我們可以使用基本方法對其變形，但是卻不能立刻得到解決，換句話說就是，我們好像能做出來，但是卻看不清如何做出來，這樣的問題才符合我們對“問題”的正確認識。我們也看到，視角2——基本方法視角，是將一個問題轉化成了兩個子問題，其中有一個子問題得到了解決，而另外一個問題的解決，還是需要從視角1或視角3來觀察分析的。本文所做的分析，是在解題之后進行的分析，這有助于我們分辨解決問題中，從不同視角所看到的情形，有助于我們加深對數學思維方式各環節的認識，重視數學思維中觀察、抽象、探究、猜測、論證這五個環節。

參考文獻：

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