地震破壞供水管網(wǎng)低壓水力分析

侯本偉　杜修力

摘要：

供水管網(wǎng)遭受地震破壞后會(huì)產(chǎn)生滲漏和爆管，在震后的緊急救援和修復(fù)階期，供水管網(wǎng)處于低壓帶漏損供水狀態(tài)。根據(jù)斷開管段的沿程水頭損失關(guān)系，提出一種在斷開管段端點(diǎn)附加擴(kuò)散器模型模擬斷開點(diǎn)漏水，簡化了斷開管段的建模方法；將壓力決定的節(jié)點(diǎn)配水量模型加入到水力分析中，避開了低壓管網(wǎng)水力分析中的節(jié)點(diǎn)負(fù)壓問題；利用線性搜索與回溯算法控制管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)非線性方程組的迭代步長，確保了管網(wǎng)低壓水力分析的全局收斂性。此方法具有建模簡單，計(jì)算量小，全局收斂速度快的特點(diǎn)；通過示例計(jì)算及結(jié)果比較，驗(yàn)證了其有效性。

關(guān)鍵詞：

地震破壞管網(wǎng)；水力功能分析；擴(kuò)散器模型；低壓分析；全局收斂算法

城市供水管網(wǎng)遭受地震破壞后，會(huì)同時(shí)產(chǎn)生大量滲漏和爆管事故點(diǎn)[13]，美國供水協(xié)會(huì)（AWWA）將地震產(chǎn)生管線破壞分為滲漏和斷開兩類[4]。由于無法及時(shí)修復(fù)，在震后緊急救援階段，供水管網(wǎng)將處于帶漏損供水狀態(tài)。與日常供水分析中將斷開管段隔離后進(jìn)行事故后管網(wǎng)供水能力評價(jià)不同，震后管網(wǎng)水力分析模型中包含斷開管段的水力模擬[57]。破壞管網(wǎng)漏水量增加，導(dǎo)致管網(wǎng)供水壓力下降，用戶供水量不足，此時(shí)的用戶配水量可由壓力決定的節(jié)點(diǎn)供水量（Pressure Dependent Demand， PDD）關(guān)系模擬[89]。

在管線破壞點(diǎn)建模方面，陳玲俐等[10]只考慮管線滲漏，并未計(jì)及斷開管線的漏水量。Hwang等[11]在模擬滲漏與斷開點(diǎn)時(shí)均利用擴(kuò)散器模型，斷開點(diǎn)處為開口面積為管段截面積的有壓孔口出流，但其水力學(xué)模型原理存在錯(cuò)誤。Javanbarg[6]采用管段震前流量模擬斷開點(diǎn)出流，其漏水量模擬結(jié)果偏小。Cornell大學(xué)開發(fā)的管網(wǎng)震后水力分析程序GIRAFFE[5]采用附加空蓄水池模擬斷開管段出流，但其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。為簡化斷開管段建模，本文提出一種在斷開管段上游端點(diǎn)附加擴(kuò)散器模型。

在震后管網(wǎng)低壓水力分析方面，GIRAFFE[5]、高惠瑛[12]均采用節(jié)點(diǎn)固定需水量模型，當(dāng)計(jì)算結(jié)果中存在節(jié)點(diǎn)負(fù)壓時(shí)，將負(fù)壓節(jié)點(diǎn)處理后再重新進(jìn)行管網(wǎng)水力分析直至無負(fù)壓節(jié)點(diǎn)；對單個(gè)破壞工況，此種分析方法需進(jìn)行多次試算才能得到合理的結(jié)果。陳玲俐等[10]，柳春光等[13]采用PDD模型進(jìn)行水力計(jì)算，但其并未指出采用PDD模型時(shí)管網(wǎng)水力求解中的收斂問題。己有的PDD模型多為分段函數(shù)[9]，這會(huì)使管網(wǎng)非線性水力方程組迭代求解方法的收斂性能下降[1416]；采用本文提出的附加擴(kuò)散器模型計(jì)算斷開管段漏水量時(shí)，也會(huì)使其節(jié)點(diǎn)的需水量函數(shù)復(fù)雜化。因此，需要應(yīng)用全局收斂算法求解管網(wǎng)水力方程組。Giustolisi等[17]采用啟發(fā)式搜索確定牛頓迭代步長修正因子，以確保收斂；Siew等[16]利用全局梯度算法（GGA）進(jìn)行管網(wǎng)水力分析時(shí)，采用線性搜索與回溯方法控制迭代步長。本文將線性搜索與回溯方法應(yīng)用到管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量非線性方程組的迭代求解中，以確保管網(wǎng)低壓水力分析方程組求解的全局收斂。

侯本偉，等：地震破壞供水管網(wǎng)低壓水力分析

1破壞管網(wǎng)水力分析的擴(kuò)散器模型

單個(gè)滲漏點(diǎn)可認(rèn)為是小孔口自由出流（圖1）[18]，滲漏點(diǎn)水流量可由該點(diǎn)的管內(nèi)壓力水頭與孔口處局部水頭損失的關(guān)系得到。滲漏流量表達(dá)式為：

式中： PL為壓力水頭，m；C為單位轉(zhuǎn)換系數(shù)，當(dāng)QL和AL單位分別為m3/s和m2時(shí)， C=4.427。μ為孔口流量系數(shù)，其取值與孔口形狀、面積有關(guān)，對于薄壁小孔口取μ=0.62；根據(jù)孔口出流試驗(yàn)，μ值范圍可取為0.60～0.90，這與AWWA[19]、Tabesh等[20]根據(jù)管網(wǎng)漏損觀測數(shù)據(jù)建立的模型相符。

圖1滲漏管段出流示意圖

圖2斷開管段出流示意圖

管段斷開點(diǎn)如圖2（a）所示，原有管線斷開為兩段不連續(xù)的管段，且不能輸送水流。斷開點(diǎn)L處的高程為zL，壓力水頭為0，其漏水量應(yīng)通過斷開管段的沿程水頭損失關(guān)系計(jì)算，而不可在斷開處增加開口面積為管段截面積的擴(kuò)散器模擬。斷開點(diǎn)的漏水量為斷開管段上游端點(diǎn)（圖2（a）中A點(diǎn)和B點(diǎn)）至斷開點(diǎn)（圖2（a）L點(diǎn)）的單向出流QL1和QL2。因此，在管網(wǎng)水力分析模型中，可以假定斷開點(diǎn)處有兩個(gè)高程為zL的空蓄水池與A點(diǎn)和B點(diǎn)相連（圖2（b）），其連接管段上設(shè)置A→L和B→L的單向止回閥，計(jì)算得到的2個(gè)蓄水池的總蓄水量便為斷開管段漏水量。GIRAFFE[5]采用了這種分析模型，此模型用兩根管線和兩個(gè)附加節(jié)點(diǎn)（空蓄水池）模擬1根斷開管線，改變了初始管網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并增加了其復(fù)雜程度。

為簡化斷開管段的建模，本文提出一種將斷開管段漏水量附加在其上游節(jié)點(diǎn)的模型。圖2（a）所示斷開管段的漏水量還可以通過其長度（λl或 （1-λ）l）上的沿程水頭損失關(guān)系得到。對斷開管段AL分析：

與EPANET中節(jié)點(diǎn)附加擴(kuò)散器流量的思路相同，可以將式（3）的漏水量附加在斷開管段的上游節(jié)點(diǎn)，如圖2（c）所示，此時(shí)在節(jié)點(diǎn)A（B）上同時(shí)有節(jié)點(diǎn)自身流量QA（QB）和擴(kuò)散器流量QL1（QL2），此模型在斷開管線的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)置附加流量，同時(shí)將斷開管線刪除，管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)較為簡單。

式（4）實(shí)質(zhì)上是一種PDD模型，但EPANET中并不支持節(jié)點(diǎn)PDD模型的分析，在管網(wǎng)水力分析時(shí)，節(jié)點(diǎn)擴(kuò)散器由與該點(diǎn)連接的短粗管及空蓄水池模擬（圖2（c）轉(zhuǎn)化為圖2（b））。與EPANET的擴(kuò)散器求解原理不同，為了實(shí)現(xiàn)圖2（c）簡化模型的水力求解，本文采用基于PDD模型的管網(wǎng)水力分析方法。

2壓力決定的節(jié)點(diǎn)供水量（PDD）模型

傳統(tǒng)的配水管網(wǎng)水力分析中假設(shè)管網(wǎng)壓力均滿足用戶要求，即用戶需水量需求得到全部滿足，管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)配水量固定（圖3）。地震作用下，由于管段泄漏、泵站故障等原因會(huì)導(dǎo)致管網(wǎng)壓力過低而不能提供足夠的節(jié)點(diǎn)需水量，上述假設(shè)不成立，此時(shí)的節(jié)點(diǎn)配水量是與節(jié)點(diǎn)壓力相關(guān)的。若仍用固定配水量代替實(shí)際配水量進(jìn)行管網(wǎng)水力計(jì)算，水力方程組迭代過程中基于節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性的假設(shè)，求解滿足節(jié)點(diǎn)固定需水量的結(jié)果，會(huì)降低節(jié)點(diǎn)的總水頭，出現(xiàn)不符合實(shí)際情況的節(jié)點(diǎn)負(fù)壓。

在地震破壞管網(wǎng)水力分析方法中，解決負(fù)壓問題的辦法有兩種：1）對負(fù)壓節(jié)點(diǎn)處理（刪除該節(jié)點(diǎn)或減小需水量），然后再對整個(gè)管網(wǎng)的進(jìn)行水力分析，直至沒有負(fù)壓節(jié)點(diǎn)；2）采用PDD模型確定節(jié)點(diǎn)配水量，進(jìn)行管網(wǎng)水力分析。第1種方法需要進(jìn)行多次試算才能得到合理的結(jié)果，在利用隨機(jī)模擬評價(jià)震后管網(wǎng)功能及優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)會(huì)導(dǎo)致過多的計(jì)算量。本文采用第2種方法。

PDD模型是供水專業(yè)中廣泛研究的一類問題，節(jié)點(diǎn)i的需水量Qi由該點(diǎn)總水頭Hi決定（Qi（Hi）），其中Hi=Pi+zi，其一般的表達(dá)式為：

為滿足節(jié)點(diǎn)水量所需的總水頭，m；Hiavl為節(jié)點(diǎn)的實(shí)際總水頭，m；Himin為節(jié)點(diǎn)無水與部分供水的界限總水頭，m。

由式（5）看出，各個(gè)PDD模型的差異在于DSR（Hiavl）表達(dá)式的差異，圖4給出了幾個(gè)常用的PDD模型的函數(shù)曲線，這些模型的具體函數(shù)表達(dá)式見文獻(xiàn)[9，22]。一般認(rèn)為Qi（Hi）曲線的連續(xù)性會(huì)影響迭代計(jì)算的收斂性能[15]。

3基于節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程的管網(wǎng)低壓水力分析

將管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)流量連續(xù)性方程組表示為節(jié)點(diǎn)水壓的函數(shù)：

FH=A·qH+QH=0（6）

式中：F（H）=[F1（H）， F2（H）， …， FN（H）]T。A為管網(wǎng)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣，維數(shù)為N×M，其元素取值為：當(dāng)管段j與節(jié)點(diǎn)i相連且有水流從節(jié)點(diǎn)i流入管段j時(shí)aij=1，當(dāng)水流從管段流入節(jié)點(diǎn)時(shí)aij=-1，當(dāng)管段j與節(jié)點(diǎn)i不相連時(shí)aij=0；其中N為管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，M為管網(wǎng)的管段數(shù)。向量q（H）為管段的流量，維數(shù)為M×1；向量Q（H）為節(jié)點(diǎn)需水量，維數(shù)為N×1，其各元素取值由式（5）確定；當(dāng)采用固定需水量模型時(shí)，Q為與H無關(guān)的常數(shù)。

利用NewtonRaphson迭代求解式（6）所示的非線性方程組時(shí)，在第k迭代步則有：

式中，J（Hk）為雅可比矩陣，其表達(dá)式為：

式中，C是維數(shù)為M×M的對角陣，其元素取值為cii=1（nsi|qi|n-1）。D是維數(shù)為N×N的對角陣，其對角元素取值為：

對于節(jié)點(diǎn)PDD模型：

對于模擬滲漏點(diǎn)的擴(kuò)散器模型（圖1（b））：

對于模擬斷開點(diǎn)的附加擴(kuò)散器模型（圖2（c）），斷開管段的上游節(jié)點(diǎn)A的流出量由擴(kuò)散器流量QL1及節(jié)點(diǎn)流出量QA兩部分組成，則與節(jié)點(diǎn)A對應(yīng)的dii的取值為：

將壓力決定的流量關(guān)系加入到雅可比矩陣J中，增加了式（6）的非線性，從而導(dǎo)致其求解收斂性能下降。應(yīng)用式（7）求解的牛頓迭代步長直接更新自變量（Hk+1=Hk+δHk），若初始與實(shí)際方程根沒有足夠接近，迭代會(huì)使結(jié)果偏離到無規(guī)則的遠(yuǎn)處，造成不收斂。對于含有分段函數(shù)的管網(wǎng)方程組（式（6）），需加入確保迭代收斂的全局收斂規(guī)則。一個(gè)確定合理迭代步長的策略是這個(gè)步長使|F|2=FTF下降，假定f=12FT·F，則上述問題轉(zhuǎn)化為f極小化問題，注意到牛頓步長δH對f是下降方向：

在第二次以后的第i次回溯過程中，可用εi、εi-1、εi-2分別替換式（18）和（19）中ε3、ε2、ε1。

式（12）～（19）所示的求解過程適用于各類非線性方程組的求解，其具體的計(jì)算程序可見文獻(xiàn)[23]。

4算例分析

圖6所示的管網(wǎng)為24個(gè)節(jié)點(diǎn)34條管段構(gòu)成的小型管網(wǎng)，節(jié)點(diǎn)J24為源點(diǎn)，其總水頭為50 m，管線的HazenWilliams系數(shù)均為100，管網(wǎng)的詳細(xì)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)[17]。模擬地震作用產(chǎn)生的管線破壞時(shí)，本文假設(shè)整個(gè)管網(wǎng)共發(fā)生10處破壞（圖7），其中管線P8和P21遭受嚴(yán)重破壞而斷開，管線P2、P5、P7、P11、P22、P25、P29和P31發(fā)生中等破壞而滲漏；所有破壞點(diǎn)均發(fā)生在原管線的中點(diǎn)處（圖1（a）和圖2（a）中λ=0.5），破壞點(diǎn)高程（z）為原管線兩端點(diǎn)的均值。對于斷開管線，則在管線的斷開點(diǎn)處增加2個(gè)空蓄水池；對于滲漏管線，滲漏點(diǎn)的開口漏水面積AL與管線截面積之比統(tǒng)一取為0.05，孔口出流公式（1）的系數(shù)為μ=0.6，C=4.427。圖7所示破壞管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)采用空蓄水池模擬斷開點(diǎn)出流。

4.1附加擴(kuò)散器模型正確性驗(yàn)證

對破壞管網(wǎng)，管網(wǎng)初始節(jié)點(diǎn)（J1～J23）采用固定供水量，滲漏點(diǎn)采用擴(kuò)散器模型；分別采用附加擴(kuò)散器（本文）、空蓄水池模型（GIRAFFE）、隔離管線法（故障分析）模擬斷開點(diǎn)，其結(jié)果如圖8。對附加擴(kuò)散器模型，需將圖7中的節(jié)點(diǎn)J28、J30、J35、J36和管線P8、P21、P38、P40刪除，并在斷開管段的端點(diǎn)J4、J6、J7和J15處設(shè)置擴(kuò)散器系數(shù)，采用作者編寫的低壓分析程序計(jì)算，算法迭代參數(shù)為α=0.1，εmin=0.1；對空蓄水池模型和隔離管線法，采用EPANET 2.0 計(jì)算。圖8中初始節(jié)點(diǎn)的總需水量為282.08 L/s，其中漏損水量分別為164.32（擴(kuò)散器）、164.28（蓄水池）和143.41（隔離）L/s；由圖8可知，采用本文提出的附加擴(kuò)散器模型的計(jì)算結(jié)果與空蓄水池的結(jié)果相同，而采用隔離斷開管段法得到節(jié)點(diǎn)壓力水頭偏大，其分析結(jié)果過高地估計(jì)了管網(wǎng)的震后服務(wù)能力。

圖8固定需水量模型節(jié)點(diǎn)壓力分布

由于固定需水量模型的分析結(jié)果出現(xiàn)了節(jié)點(diǎn)負(fù)壓（J12和J13），采用PDD模型中的Wagner模型重新進(jìn)行破壞管網(wǎng)水力分析，參數(shù)設(shè)置為Himin=zi，Hireq=zi+15 m；其結(jié)果如圖9、10和11所示，其中漏水量分別為191.12（擴(kuò)散器）、19112（蓄水池）和156.89（隔離）L/s。圖9中，破壞前管網(wǎng)初始節(jié)點(diǎn)的供水壓力多在15 m以上，破壞后節(jié)點(diǎn)水壓下降較多，且多數(shù)處于15 m以下；從圖10可知隔離法與附加擴(kuò)散器模型的壓力滿足率差異大于0.1的節(jié)點(diǎn)有J4、J6、J7、J8、J14、J15、J16、J20和J22，這些節(jié)點(diǎn)是與斷開管段相鄰和斷開管段原來供水的下游節(jié)點(diǎn)，因此斷開管段的建模方法對其相鄰節(jié)點(diǎn)和下游節(jié)點(diǎn)的壓力影響較大。

圖9Wagner模型節(jié)點(diǎn)壓力分布

4.2低壓分析算法計(jì)算效率比較

在破壞管網(wǎng)水力計(jì)算中，對初始節(jié)點(diǎn)采用固定供水量時(shí)會(huì)出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)負(fù)壓（圖8），分別采用GIRAFFE負(fù)壓處理和不同PDD模型（Wagner、Tucciarelli、Fujiwara、Tanyimboh和周建華）共6種工況進(jìn)行計(jì)算；所有節(jié)點(diǎn)壓力水頭的迭代初始值為10 m，節(jié)點(diǎn)流量閉合差（式（6））均值的收斂允許誤差為10-3 L/s；初始節(jié)點(diǎn)的壓力滿足率和流量滿足率結(jié)果分別見圖10和圖11；各個(gè)工況的迭代收斂過程見圖12（周建華模型的收斂步并未完全標(biāo)示），圖例中工況名后的括號(hào)內(nèi)數(shù)字分別為其收斂步數(shù)和總線性搜索次數(shù)。

6個(gè)工況中的初始節(jié)點(diǎn)總配水量分別為：25933、236.04、225.34、225.09、237.1和236.35 L/s；漏水量分別為：177.22、191.16、197.34、197.46、191.49和191.34 L/s。由管網(wǎng)總供水?dāng)?shù)據(jù)得知，與PDD模型相比，GIRAFFE負(fù)壓處理模型計(jì)算的節(jié)點(diǎn)配水量偏大，漏水量偏小，也即過高估計(jì)了管網(wǎng)的震后服務(wù)能力；雖然圖10中所示的計(jì)算結(jié)果表明GIRAFFE模型的節(jié)點(diǎn)滿足率低于PDD模型，但由于其采用了固定節(jié)點(diǎn)供水量假定，圖11中得到的初始節(jié)點(diǎn)流量滿足率仍為1.0（節(jié)點(diǎn)12、13除外）。5種PDD模型的總配水量和漏水量相差較小，但對同一節(jié)點(diǎn)，不同PDD模型的壓力滿足率和流量滿足率相差較大，如：節(jié)點(diǎn)4的5個(gè)PDD模型壓力滿足率計(jì)算極差為其均值的31.98%；節(jié)點(diǎn)20的流量滿足率計(jì)算極差為其均值的39.48%。因此，當(dāng)進(jìn)行管網(wǎng)整體供水量分析時(shí)，PDD模型的選取對結(jié)果影響不大；當(dāng)針對某個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力和配水量進(jìn)行分析分析時(shí)，選取計(jì)算用PDD模型時(shí)要考慮不同模型計(jì)算結(jié)果的差異。

圖12本文算法不同分析模型的迭代收斂過程

對圖7所示的破壞管網(wǎng)，GIRAFFE負(fù)壓處理模型的需進(jìn)行兩次水力求解，總迭代步數(shù)為24。在本文低壓分析方法結(jié)果中，除周建華模型外，其余PDD模型所需的迭代步均小于GIRAFFE模型。采用Siew與Tanyimboh[17]的GGA低壓分析方法的迭代收斂如圖13。

圖13GGA算法不同PDD模型的迭代收斂過程

對比圖12和圖13可知，與基于節(jié)點(diǎn)連續(xù)性方程式（6）的低壓分析方法相比，GGA方法的前期下降較快，但在真實(shí)解附近的下降能力退化。在迭代初值和允許收斂誤差相同的條件下，本文方法的收斂步數(shù)和線性搜索次數(shù)均少于GGA方法。因此，具有良好的全局收斂性。由于周建華模型并未有大量應(yīng)用的實(shí)例，在選用其進(jìn)行實(shí)際管網(wǎng)的分析時(shí)應(yīng)注意水力計(jì)算收斂問題。

5結(jié)論

地震產(chǎn)生管線功能破壞狀態(tài)包括滲漏和斷開兩類，供水管網(wǎng)處于低壓帶漏損供水狀態(tài)。為簡化斷開管段建模，提出一種在斷開管段上游端點(diǎn)附加擴(kuò)散器的模型。采用壓力決定節(jié)點(diǎn)流量（PDD）模型進(jìn)行管網(wǎng)低壓水力分析時(shí)，針對PDD函數(shù)和擴(kuò)散器函數(shù)曲線不連續(xù)導(dǎo)致的NewtonRaphson法收斂能力下降問題，將線性搜索與回溯方法應(yīng)用到管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)流量非線性方程組的迭代求解中，確保了管網(wǎng)低壓分析水力方程組的求解收斂。示例計(jì)算結(jié)果及模型比較表明：

1）附加擴(kuò)散器模型與用空蓄水池模擬斷開管段方法的結(jié)果相同，隔離斷開管段方法的模擬結(jié)果則偏于不安全，對斷開管段相鄰節(jié)點(diǎn)及其下游節(jié)點(diǎn)的壓力影響較大。

2）對于同一地震破壞供水管網(wǎng)，與本文低壓分析方法相比，GIRAFFE水力分析方法計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)配水量偏大，漏水量偏小，也即過高估計(jì)了震后管網(wǎng)的服務(wù)能力。

3）當(dāng)進(jìn)行管網(wǎng)整體供水量分析時(shí)，PDD模型的選取對結(jié)果影響不大；當(dāng)針對某個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力和配水量進(jìn)行分析分析時(shí)，選取計(jì)算用PDD模型時(shí)要考慮不同模型計(jì)算結(jié)果的差異。

4）當(dāng)?shù)踔怠⑹諗恳?guī)則相同時(shí)，本文基于節(jié)點(diǎn)連續(xù)性方程的低壓分析方法的收斂步數(shù)和線性搜索次數(shù)均少于GGA方法。因此，本文方法具有建模簡單，計(jì)算量小，全局收斂速度快的特點(diǎn)。

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（編輯王秀玲）