中日兩國高中數學教科書中微積分內容的比較研究

劉曌　楊光偉

微積分課程進入中學已不是新鮮事，世界大部分國家和地區的高中數學課程中均不同程度地引入了微積分內容，有的作為必修，有的作為選修或者大學預科課程，但是各國高中課程中的微積分內容卻存在較大差異，呈現方式及定位也各不相同.我國普通高中文科、理科的選修模塊中微積分內容均以導數為主，將導數作為研究函數的工具，文科內容較理科內容簡單；日本普通高中在選修Ⅱ、選修Ⅲ中系統介紹了微積分思想及應用，學生可根據升學意愿及要求自主進行選修.本文從微觀層面對中日兩國教科書中的微積分內容進行考察比較.中國教科書選取人民教育出版社2007年出版的《普通高中課程標準實驗教科書人教A版》選修1-2與2-2（以下簡稱人教版）[1][2]，日本教科書選取東京大學侯野博教授等主編、東京書籍株式會社2013年出版的“文部科學省檢定教科書高等學校數學科用”《數學Ⅱ》、《數學Ⅲ》（（以下簡稱東書版））[3][4].通過對兩國微積分的知識范圍、呈現方式等比較研究，以期對我國的數學教育改革及教科書建設有所借鑒與啟示.

1微積分內容課程設置比較

中日兩國微積分內容均安排為選修內容.在實際課程實施中，選修1-2、2-2作為我國高中數學選修系列課程中的基礎性內容，幾乎所有學校均將1-2作為文科學生必選課程，2-2作為理科學生必選課程，其中1-2較2-2內容偏易偏少，因此幾乎所有的中國高中畢業生都要學習微積分初步知識.而日本高中生在數學課程的選擇上有很大自主選擇權，其微積分內容安排在數學Ⅱ、數學Ⅲ，達到高中畢業標準僅需修數學Ⅰ，不需學習微積分知識；需要考普通高校的學生可能需修數學Ⅱ中的“認識微積分”（一般理科類專業需考查數學Ⅱ，而人文社科類一般不作考查），而志愿考東大、早稻田等名校相關專業的學生就需修完數學Ⅱ、數學Ⅲ中所有的微積分知識.中日兩國在微積分內容的課時安排上亦差距較大，我國高中畢業生最多需修24學時，最少需修16學時；而日本高中畢業生最多需修116學時，最少則0學時.

2微積分知識內容比較

由表2可看出，我國人教版微積分比東書版內容少、程度淺.尤其東書版用較大篇幅（28學時）系統介紹了極限概念（并非以高等數學中嚴格的ε-δ和ε-N定義來呈現），包含數列極限中數列的收斂、發散、振動以及無限等比數列、無限等比級數；分式函數、無理函數、反函數的圖像及三角函數、對數指數函數的極限.人教版則逾越極限概念，讓學生通過直觀感受瞬時變化率來體會導數的意義.同時，東書版詳細介紹了微分法及其應用、不定積分，這在人教版教材中也是完全未涉及的.值得注意的是在導數與定積分的應用方面，人教版偏重于生活情境中的實際應用，如利潤最大、用料最省等生活優化問題，東書版則偏重于微積分在數學其他分支中的應用，如微分法在證明不等式、求方程實數解的個數上的應用.另外，東書版在知識拓展模塊介紹了柯西均值定理、洛必達法則、高次導函數與泰勒展開式、微分方程式，涉及了高等數學中的幾個重要定理或法則，可供學有余力的優秀學生學習.

3相同知識點呈現方式的比較

兩套教材中相同且核心的知識點有兩個，即導數和定積分（人教版無不定積分、微分等）.

在導數的呈現方式上人教版通過氣球膨脹率、高臺跳水問題讓學生體會經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，感受導數的意義，弱化了極限概念，再進一步研究導數的幾何意義；而東書版教材通過斜面上小球的運動讓學生體會由平均變化率到瞬時變化率的過程，在此基礎上介紹了微分系數與極限概念，研究微分系數在函數圖象上的意義，然后才給出導數的定義.在學生初步認識微積分后東書數學Ⅲ中利用較大篇幅介紹了函數與極限的相關理論，要求學生能更深層次理解導數的概念，即將導數作為“差商的極限”來理解，并能理解可微、可導與連續的關系.

4例題、習題的比較

由于兩版教材微積分部分學時、章節差距較大，在此以人教版“導數及其應用（24學時、7節）”與東書版數學Ⅱ中的“認識微積分（26學時、9節）”為參考做比較，數據以每節為單位做平均數處理.這里對兩套教材中的例題及練習題做定性的分類界定，類型1表示僅運用微積分部分的數學知識就可以解決，無任何情境，也無交叉其他數學分支或是其他學科分支，如求∫31（x3-2x）dx的定積分；類型2表示有生活背景、科技背景等實際情境的，比如人教版中原油溫度的瞬時變化率、凈化1噸水到相應純度所需凈化費用的瞬時變化率；類型3表示有學科交叉背景的題目，比如與其他數學分支的交叉、與物理等學科的交叉，如變速直線運動、變力做功等問題.

結合表5及對教材中具體例題與習題分析的基礎上可發現：東書版的例題與習題的數量稍比人教版多；東書版中幾乎未包含有實際背景的題目（例題每節僅平均0.11，習題中無），但有學科交叉的背景的題目數量要明顯高出人教版；類型1的例題和習題在兩套教材均占較高比例，人教版達到58.64%，東書版達到57.81%；另外東書版教材練習題緊跟例題，邊講邊練，可促進知識的強化，而人教版則采用集中舉例，集中練習的方式，不利于課堂及時內化[3].

5數學文化的融入比較

結合表6及對兩套教材中具體數學文化融入分析的基礎上可發現：東書版教材更注重微積分教學中融入數學史及數學文化的內容，教材中不僅介紹了微積分的開創者牛頓、萊布尼茨，也介紹了對現代數學貢獻極大的黎曼、阿貝爾等；除了對數學家生平及其研究的介紹以外，還介紹了極限理論發展過程中極其著名的芝諾悖論：阿基里斯與龜，以及數學中最美的式子、迷人的曲線等.人教版中有兩處數學文化的融入，一處是“探究與發現”中介紹了用導數方法求方程的近似解（牛頓法），另一處是在章末的實習作業中要求同學以小組為單位收集有關微積分創立的時代背景、歷史意義等.

6結論與啟示

6.1日本微積分知識體系完整、知識豐富，我國則重點突出導數教學

由表2可知，日本教科書中基本包含了一元微積分的主要知識點和解題方法，而人教版教科書則以“導數及其應用”為中心，繞過了極限理論，亦回避了不定積分等知識，且在內容要求上偏易.通過比較可知我國微積分內容以介紹性和簡單應用性為主，沒有過度拓寬知識面以及加深知識點，尤其定積分部分僅露出了“冰山一角”，宛如蜻蜓點水.筆者認為我國教科書應適當豐富微積分內容，比如在理科教材中可引入極限概念以及不定積分等知識，讓學生對微積分思想及應用能有更深層次的理解.

6.2日本更注重微積分在數學、物理上應用，我國更注重在社會生活中的應用價值

不論是從導數、定積分的呈現內容出發，還是從例題、習題的選取上，我國教材非常重視微積分在日常生活中的應用，比如“原油溫度的瞬時變化”、“磁盤的最大存儲量”等問題；而日本則更注重在數學其他分支或者物理學科中的應用，比如微積分在不等式證明、解高次方程中的應用.筆者認為，我國應保持注重實際應用的特點，同時適當擴充微積分在數學學科、其他交叉學科中的應用，使學生能感受到微積分在研究數學、物理等學科問題中的應用價值，更好地體會微積分的科學價值.

6.3日本教科書中注重數學文化的融入，我國教科書較少融入數學文化

由表6可知，我國教材中僅兩處數學文化相關內容，其中一處還是以“實習作業”的形式出現，而日本則出現多達11處的文化融入，不僅有微積分發展史上數學家的介紹，還有趣味題（阿基里斯與龜）、數學中最美的式子曲線等，題材豐富、形式多樣.筆者認為，微積分內容本身較難理解，抽象程度較高，教材中適當融入數學史、數學文化，可提高學生學習的興趣，讓學生感受到微積分的文化意義與科學價值.比如定積分教學中可引入我國數學史上劉徽的“割圓術”中有關圓的面積公式產生的推導思想，且對學生而言圓比曲邊梯形更熟悉更好理解，這樣不僅體現了數學教學中的歷史發生原理，更傳揚了中國傳統數學文化[6].當然如何適當選材以及何種方式呈現還需要不斷探索論證.

參考文獻

[1]人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中數學課程標準實驗教科書數學A版（選修1-2）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中數學課程標準實驗教科書數學A版（選修2-2）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]吳野博，河野俊丈，等.數學Ⅱ[M].東京：東京書籍株式會社，2013.

[4]吳野博，河野俊丈，等.數學Ⅲ[M].東京：東京書籍株式會社，2013.

[5]葉立軍，王曉楠，劉春江.中美高中數學教材“球的表面積與體積”內容的比較研究[J]，中學數學教學參考（上旬刊）， 2011，（11）：70—72.

[6]張黨光.對高中數學微積分的理解及建議[J]，教學實踐， 2012，（2）：71.