2013年高考導數綜合應用中的“隱零點”

導數解決函數綜合性問題最終都回歸于函數單調性的判斷，而函數的單調性與其導函數的零點有著緊密的聯系，可以說導函數零點的判斷、數值上的精確求解或估計成為導數綜合應用中最為核心的問題.導函數的零點，根據其數值計算上的差異，我們可以分為兩類：一類是數值上能精確求解的，我們不妨稱為“顯零點”；另一類是能判斷其存在但數值上無法精確求解的，我們不妨稱為“隱零點”.在教學實踐中，我們發現對于處理“隱零點”問題，由于涉及到靈活的代數變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧妙的不等式應用，對學生綜合能力要求比較高，往往成為我們教學的難點.為此筆者以2013年高考涉及函數“隱零點”的試題為例，系統闡述“隱零點”的處理策略和技巧，供讀者參考.

1函數“隱零點”的存在性判斷

對于函數“隱零點”的存在性判斷，筆者曾在文[1]進行過系統探討，對此我們常采用下列兩種方法求解：一是利用函數零點介質定理，即若連續函數f（x）在（a，b）上單調，且f（a）

·f（b）<0，則f（x）在（a，b）上存在唯一零點；二是借助圖像分析，即將函數f（x）的零點問題的判斷轉化為方程f（x）=0的解的判斷，并通過合理的變形將方程轉化為合適的形式再處理.在2013年高考中，此類問題涉及相對較多，例如

2函數“隱零點”的虛設和代換

在分析函數單調性時，我們不得不需要求導函數的零點.而對于函數“隱零點”，由于我們無法求出其顯性表達式，這給我們求解問題帶來一定的困難.筆者曾在文[2]探討過該類問題，我們處理的基本方法為“虛設及代換”，通過該手段來回避難點.此類問題的求解具有一定的難度，例如

3函數“隱零點”的數值估計

函數“隱零點”盡管無法精確求解，但是我們可以進行數值估計，最簡單的方法即為在判斷其存在性的前提下利用二分法進行估計.當然，這種估計方式多適用于數值估計，對于“隱零點”的代數估計，我們還可以通過單調函數來構建函數不等式進行估計.例如

參考文獻

[1]林國夫.函數零點問題的求解策略[J]，中學數學教學，2010，（5）.

[2]林國夫. 關注導數解決含參函數問題中虛設零點的技巧[J]，中學數學雜志（高中版），2012，（5）.

[3]林國夫. 導數應用中“隱點”的定量估計策略[J]，中學數學雜志（高中版），2013，（3）.