函數圖象中動點與面積問題典例分析

李春蓉　鄧云峰

動態問題是指以圖形為背景，融入運動變化觀點的一類問題，主要研究的是圖形在運動中所遵循的規律，具體研究的是圖形中的位置、數量關系。就運動對象而言，通常可分為三種類型：點動問題、線動問題、面動問題。本文就點動問題中“關于函數圖象中動點與面積的最值問題”進行典例分析，希望能對同學們學習這類知識有所啟發和幫助。

典例分析

例1：如圖（1），直線y=-x+4與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上的任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于點D.

求：當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？

方法四：

①如圖（6），要使△PCB面積最大，須使動點P到定直線BC的距離最遠，過動點P作BC的平行線y=-x+b，當直線y=-x+b與拋物線只有一個公共點時，即為最遠。

②求出此時P點的坐標；

③求出兩平行線間距離；

④利用公式求△PCB的面積S.

變式練習

在例2中，當點P運動到何處時，四邊形ABCP的面積最大？

分析：四邊形ABCP的面積等于例2中△PCB的面積+定值△ABC的面積。

小結

綜上所述，我們在解決函數圖象中動點與面積這類問題時，可以遵循以下的基本方法進行：

1.利用函數解析式表示動點坐標；

2.利用坐標表示線段的長度；

3.構建關于面積的函數關系式；

4.利用函數求最值的方法求面積的最值。

以上動態問題的解決不管采用哪種方法，都是根據具體情況先構建函數模型，再具體處理問題的。同學們在學習過程中要注重數學基礎模型的建立，多提煉解題方法的規律，才能達到舉一反三的目的，數學解題能力才會得到提高。