彈性力學本科教學中的矩陣表達形式

劉章軍 鎮(zhèn)斌

收稿日期：2013-05-13

基金項目：2012年湖北省高等學校省級教學研究項目（2012237）；三峽大學彈性力學精品課程建設項目

作者簡介：劉章軍（1973-），男，三峽大學水利與環(huán)境學院工程力學系教授，博士，主要從事工程力學研究，（E-mail）liuzhangjun73@aliyun.com。

摘要：在彈性力學的本科教學中，采用了矩陣形式來表達各物理量間的相互關系。文中主要討論了以應力、應變、位移為基本量的各物理量間的矩陣表達形式，包括基本方程、邊界條件以及不同坐標間的基本物理量的轉換關系。采用矩陣表達形式不僅書寫簡潔、記憶容易，而且表現直觀、便于理解。

關鍵詞：彈性力學；本科教學；矩陣表達形式

中圖分類號：G642；TB125文獻標志碼：A文章編號：10052909（2013）05006605在現行的彈性力學本科教材[1]中，各物理量間的相互關系主要采用展開形式的教學方式，這種展開的表達形式書寫較為復雜且記憶困難，各物理量間的關系不能直觀表現。雖然采用張量的指標記法可以達到書寫簡潔的目的[2]，但對于初學者理解較為困難。為此，在彈性力學的本科教學中，采用矩陣表達是一種較為合適的形式。采用矩陣表達形式具有書寫簡潔、記憶容易，同時也便于與數值解法（如有限單元法）相銜接。

為檢驗矩陣表達形式在彈性力學本科教學中的效果，筆者曾在2年4個學期的教學中進行了矩陣表達形式與展開形式的對比實踐，學生普遍認為矩陣表達形式簡潔易懂、便于記憶。對于普通大學本科生而言，矩陣表達是一種較為理想的教學形式。為此，文章簡要介紹在彈性力學本科教學中采用的矩陣形式表達。

一、彈性力學問題中物理量間的相互關系

在大學本科教材中，一般采用彈性力學問題的微分提法[3]，即從研究彈性體內的微元入手，導出描述微元靜力平衡、變形幾何及物理關系的一組基本方程，加上相應的邊界條件，把彈性力學問題歸結為求解偏微分方程組的邊值問題。圖1給出了彈性力學中各物理量間的相互關系，包括基本方程和邊界條件。

二、以應力為基礎的物理量間的矩陣表達

在直角坐標系x，y，z下，應力分量σx，σy，σz，τxy，τxz，τyz，體力分量fx，fy，fz，面力分量x，y，z，全應力在坐標軸上的投影px，py，pz，外法線的方向余弦l，m，n；在柱坐標ρ，φ，z下，應力分量σρ，σφ，σz，τρφ，τρz，τφz，體力分量fρ，fφ，fz。為簡便之，記：

圖1物理量間的相互關系

高等建筑教育2013年第22卷第5期

劉章軍，等彈性力學本科教學中的矩陣表達形式

下面，給出以應力為基礎的各物理量間的矩陣表達形式。

（一）平衡微分方程的矩陣表達

在直角坐標系中，平衡微分方程的矩陣表達形式為：

σ（1）（1）+f（1）=0（1）

這里，記號約定：σx×x=σxx，τxy×y=τxyy，τxz×z=τxzz，依此類推。式（1）表明了應力狀態(tài)隨坐標的變化規(guī)律，即應力對坐標的一階導數與體力所滿足的平衡關系式。類似地，在柱坐標系中的平衡微分方程可寫為：

σ（2）（2）+f（2）+e（2）=0（2）

這里，記號約定：σρ×ρ=σρρ，τρφ×1ρφ=1ρτρφφ，τρz×z=τρzz，依此類推。在式（2）中，增加的e（2）項是由于柱坐標系中φ的正面和負面不平行，以及ρ的正面和負面面積不等所引起的。

對于彈性力學平面問題，只需在式（1）和式（2）中分別去掉與z相關的所有元素，即可得到平面問題的直角坐標和極坐標中的平衡微分方程。

對于空間軸對稱問題，由于對稱性，有τρφ=τφz=0，其他4個應力分量σρ，σφ，σz，τρz一般都是ρ和z的函數。因此，將式（2）中矩陣σ（2）的第二行和第二列去掉，同時將所有列向量的第二行去掉，得到空間軸對稱問題的平衡微分方程：

（二）斜截面應力的矩陣表達

已知某點的應力張量或應力矩陣σ后，此點的應力狀態(tài)就被確定了。于是，過此點任意斜截面上的全應力在笛卡爾坐標軸上的投影可寫為：

p（1）=σ（1）l（1）（4）

若將斜截面看作物體的邊界面，且給定面力（1），即可得到應力邊界條件：

（1）=σ（1）l（1）（5）

同時，斜截面上的正應力的矩陣表達式為：

σn=l（1）Tp（1）=l（1）Tσ（1）l（1）（6）

（三）主應力和主方向的矩陣表達

由于應力張量或矩陣σ是一個實對稱的3×3階方陣，因此，它的三個特征值都是實數，同時存在三個相互正交的特征向量。事實上，對于給定的應力張量或矩陣σ，此點的主應力和主方向即為應力矩陣σ的特征值和特征向量：

σ（1）l（1）=σl（1）（7）

主應力是計算最大正應力和最大剪應力的基礎，在工程強度校核中起到重要作用。

（四）應力分量轉換公式的矩陣表達

設x，y，z為原坐標系，x′，y′，z′為新坐標系，若令lij=cosx′i，xj，即x′i軸與xj軸夾角的余弦，對于同一點在不同坐標系下的應力分量轉換公式的矩陣表達式為：

σ′=βσ（1）βT（8）

其中，新坐標系的應力矩陣σ′和轉換矩陣β分別為：

σ′=σ′xτ′xyτ′xz

τ′xyσ′yτ′yz

τ′xzτ′yzσ′z，

β=l11l12l13

l21l22l23

l31l32l33

特別地，對于直角坐標與柱坐標中的應力轉換公式為：

σ（2）=βσ（1）βT（9）

其中，轉換矩陣變?yōu)椋?/p>

β=cosφsinφ0

-sinφcosφ0

001

對于平面問題，直角坐標與極坐標中的應力分量轉換關系則為：

σρτρφ

τρφσφ=

cosφsinφ

-sinφcosφσxτxy

τxyσycosφsinφ

-sinφcosφT（10）

三、以應變和位移為基礎的物理量間的矩陣表達

在直角坐標系x，y，z下，應變分量εx，εy，εz，γxy，γxz，γyz，位移分量u，v，w，給定的位移邊界分量，，；在柱坐標ρ，φ，z下，應變分量ερ，εφ，εz，γρφ，γρz，γφz，位移分量uρ，uφ，uz。為簡便之，記：

（一）幾何方程的矩陣表達

在直角坐標中，幾何方程的矩陣表達形式為：

ε（1） = 12u（1）{}（1）T + （1）u（1）T（11）

這里，記號約定：u×x=x×u=ux，u×y=y×u=uy，u×z=z×u=uz，依此類推。

在柱坐標中，幾何方程的矩陣表達則為：

ε（2） = 12u（2）（2）T + （2）u（2）T + δ（2）（12）

其中，矩陣δ（2）為增加部分。同樣地，記號約定：uρ×ρ=ρ×uρ=uρρ，uρ×1ρφ=1ρφ×uρ=1ρuρφ，uρ×z=z×uρ=uρz，依此類推。

顯然，在式（12）中去掉所有與z坐標相關的元素，即可得到平面極坐標中的幾何方程：

εργρφ2

γρφ2εφ=12uρ

uφρ1ρφ+

ρ

1ρφuρuφ+

0-uφρ

-uφρuρρ（13）

（二）主應變和主方向的矩陣表達

應變矩陣ε與應力矩陣σ一樣都是3×3階的實對稱方陣，它們具有完全類似的性質。與主應力和應力主向的矩陣表達類似，主應變和應變主向的矩陣表達可寫為：

ε（1）l（1）=εl（1）（14）

對于理想彈性體，應力主向與應變主向重合，因此可統(tǒng)稱為主方向。

（三）位移邊界條件的矩陣表達

在直角坐標中，位移邊界條件的矩陣表達式為：

u（1）Su=（1）（15）

（四）位移、應變轉換關系的矩陣表達

直角坐標和柱坐標中的位移分量轉換關系：

uρ

uφ

uz=cosφsinφ0

-sinφcosφ0

001u

v

w（16）

特別地，平面直角坐標與極坐標的位移分量轉換公式為：

uρ

uφ=cosφsinφ

-sinφcosφu

v（17）

把uρ，uφ和u，v分別替換成fρ，fφ和fx，fy，即為體力分量的轉換關系。

與應力轉換公式類似，平面直角坐標與極坐標的應變分量轉換公式為：

ερερφ

ερφεφ=cosφsinφ

-sinφcosφεxεxy

εxyεy×

cosφsinφ

-sinφcosφT（18）

四、物理方程的矩陣表達

在物理方程的矩陣表達中，一般將應力分量和應變分量寫成列向量的形式，即σ=σx σy σz τxy τxz τyzT，ε=εx εy εz γxy γxz γyzT。下面，僅以各向同性線彈性材料為例給出物理方程的矩陣表達形式：

ε=Dσ（19）

其中，矩陣D稱為彈性柔度矩陣：

D=1E1-μ-μ000

-μ1-μ000

-μ-μ1000

0002（1+μ）00

00002（1+μ）0

000002（1+μ）

由于柱坐標系和直角坐標系一樣都為正交坐標系，對于各向同性彈性體，柱坐標系中的物理方程與直角坐標系中的物理方程具有同樣的形式（彈性柔度矩陣D完全相同），只需將應力分量和應變分量中的下角碼x和y分別換成ρ和φ即可。

對于平面應力情況，僅需在式（19）中考慮σz=τxz=τyz=0，即可退化為平面應力問題的物理方程：

εx

εy

γxy=1E1-μ0

-μ10

002（1+μ）σx

σy

τxy（20）

在平面應力情況下，應變分量εz=-μE（σx+σy）=-μ1-μ（εx+εy），而應變分量γxz=γyz=0。對于平面應變情況（εz=γxz=γyz=0），則需將式（20）中的彈性模量E換成E/（1-μ2），泊松比μ換成μ/（1-μ），同時應力分量σz=μ（σx+σy），τxz=τyz=0。

五、結語

在彈性力學的本科教學中，采用矩陣形式表達各物理量間的相互關系，既書寫簡潔，容易記憶，又可將已學的線性代數知識運用于彈性力學教學中，并為后續(xù)的有限單元法教學打下伏筆。教學實踐表明，在彈性力學本科教學中采用矩陣形式表達可以獲得良好的教學效果，對于普通院校的本科生而言，矩陣表達是一種較為合適的教學形式。

參考文獻：

[1]徐芝綸. 彈性力學簡明教程 [M].3版.北京：高等教育出版社，2002.

[2]美陳惠發(fā)，A. F. 薩里普.彈性與塑性力學[M].余天慶，王勛文，劉再華，譯.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2003.

[3] 陸明萬，羅學富.彈性理論基礎[M].北京：清華大學出版社，施普林格出版社，2001.

Matrix representation of elasticity in undergraduate teaching

LIU Zhangjun， ZHEN Bin

（College of Hydraulic & Environmental Engineering， China Three Gorges University， Hubei 443002， P. R. China）

Abstract： In undergraduate teaching of elasticity， matrix representations of basic quantities and equations were used. We gave matrix representations of relationships between basic physical quantities， such as stress， strain and displacement， including basic equations， boundary conditions， and coordinate transformations of basic physical quantities. Matrix representations are simply written， easy to be memorized， and easy to be understood.

Keywords： elasticity； undergraduate teaching； matrix representation

（編輯梁遠華）