行“悟道”，見“高效”

林洪能

摘要：現行“輕負高質”的大形勢下，教育要求我們教師要不斷提高育人質量，在不加班加點的情況下，課堂教學的關鍵是高效率，而高效源于對課堂教學的不斷反思、不斷感悟、不斷總結。本文主要從悟“整合”之道、悟“活動”之道、悟“變式”之道等三個方面探討了如何提高常規數學課堂教學“高效”性的一些思考及體會。

關鍵詞：課堂教學；悟道；高效

一、引言

從前，一學僧到法堂請示禪師：“我常常打坐，時時年經，早起早睡，心不雜念。我想在您座下沒有一個人比我更用功了，可為什么還是無法開悟？”禪師拿了一個葫蘆，一塊鹽，交給學僧說：“你去將葫蘆裝滿水，再把鹽倒進去，使它立刻溶化，你就會開悟了！” 學僧遵照指示去做，沒多久，跑回來說道：“我把鹽塊裝進葫蘆，可它老不化；葫蘆口太小了，伸進筷子也攪不動。我還是無法開悟。” 禪師拿過葫蘆倒掉了一些水，然后只搖晃幾下，鹽塊就溶化了。禪師慈祥地說道：“一天到晚用功，不細心觀察生活，不留一些平常心，就如同裝滿水的葫蘆，搖不動，攪不得，如何化鹽，又如何開悟？”這是佛教故事《悟道之本》，故事說明僧人要“開悟”方能成為真正的大師，其實我們教師何嘗不是這樣呢？有些教師整天碌碌無為，學生一屆一屆走了，可自己的教學經驗和課堂教學效率卻沒有隨之增長。所以教師不斷行“悟道”，課堂教學才會見“高效”。

那么，什么叫“悟道”，什么叫“高效”呢？本文提到的“悟道”，指的是：教師對自己參與的教學活動的回顧檢驗與認識，本質上是對教學的一種反省認知活動。教師以自己的實踐過程為思考對象，在回放過程的基礎上，對其中的成敗得失及其原因進行思考，得到一定的能用以指導自己教學的理性認識，并形成更為合理的實踐方案。“高效”指的是：以盡可能少的時間、精力和物力投入，取得盡可能好的教學效果。盡可能好的教學效果可以從以下兩個方面來體現：一是效率的最大化，也就是在單位時間內學生的受益量；二是效益的最優化，也就是學生受教育教學影響的積極程度。概括為：輕負擔，低消耗，全維度，高質量。數學教學中“悟道”和圍棋高手的復盤同樣重要，它是提高教學能力，提高教學效率的最有效、最直接、最快速的途徑。

一、悟“整合”之道，見課堂高效

新課程理念強調，教學的過程是教師用材教的過程，而不是教教材的過程。葉圣陶說：“教材無非是個例子”，教材并不是教學的全部，教學也并不是緊緊盯著教材，惟教材是用。梁啟超說，“變則通，通則久”，要遠離本本主義，要與時俱進，要海納百川，要融會貫通，把利于和符合教學目標的內容和手段等有效資源吸收、整合和運用到課堂教學中去。在教學實踐過程中，要大膽改革，勇于創新，“百尺竿頭更進一步”，要積極改進和推廣先進的教學方法，激發和調動學生的積極性和求知欲，力求課堂高效。

“已知三角形ABC，過B點作AC邊上的垂線”。

結果大半學生不能作出來。有些雖能作出，但錯誤百出（如錯誤（1），錯誤（2））。

美國心理學家波斯納認為，沒有反思的經驗是狹隘的經驗，至多只能是膚淺的知識，他提出了教師成長的公式：成長=經驗+反思。教完新課后，分析這道作業題時，雖經過筆者的反復習提醒和層層鋪墊，才算挽救回部分學生的“知道”，但總不是滋味。憑多年教學經驗，學生在作業中出現的普遍錯誤必與教師在課堂中的授課質量有關。筆者回顧授課過程：先從生活中觀察發現存在著大量的垂直情況，引入垂線的定義，用動畫演示畫垂線的過程，歸納結論，講解例題，進入訓練階段。在授課中，學生已經從動畫演示中學會了畫一般情況的垂線，但對于需要添加輔助線的垂線畫法，筆者只是作了簡單的介紹，因為筆者認為學生在小學時接觸過。在另一班授課時，筆者采用如下方法組織教學：

（1）過 外一點B作 的垂線；（2）過 外一點B作 的垂線；

（3）過AC外一點B作AC的垂線。

第（1）題是上課時動畫演示類似的題目，學生基本上會做，第（2）題是課后練習題中的一道題，第（3）題是作業中一道題。筆者把三道題目整合起來，相當于把“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂線”作圖中需要添加輔助線的難點通過第（2）題達到了“一橋飛架南北，天塹變通途”的效果，且學生對于輔助線的添加也顯得自然合理，學生學得輕松有趣，且基本上能畫出第（3）題的答案，教學效率明顯提升。

前幾天同事說，他在教人教版九年級（下）27.2.2相似三角形的判定（2）之“邊邊邊”和“邊角邊”這節課后，學生的作業做得很不理想：（1）書寫格式亂七八糟；（2）遇到稍難些的推理題，便沒有什么思路或有些寫了一些思路，但無法準確表達。筆者仔細分析發現：兩個判定放在一節課里學習表面上容量較大，但完全可以有機整合。教材中的例題是一道難度極小的判斷性習題，學生的推理缺少相應判定定理的實踐性演練。筆者給他提出建議：（1）整合定理的推導過程。可類比三角形全等的判定中的SSS和SAS學習，其中一個定理的推導可師生一起完成，另一個可類比推導。（2）把教材中的例1舍棄，配上一道新的例題。

如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP

證法1：（用判定“邊邊邊”）：

在正方形ABCD中，設它的邊長為AD=

∵Q是CD的中點，∴DQ=QC=

∵BP=3PC， ∴ PC=

由勾股定理推得：AQ=，PQ=

∴ △ADQ∽△QCP.

證法2：（用判定“邊角邊”）：

在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，∴DQ=QC=

∵BP=3PC， ∴ PC=

∴ △ADQ∽△QCP.

整合一個好例題，不但鞏固了兩種判定方法，而且通過一題多解，可以鍛煉學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨創性。有人說：“規范辦學了，時間不夠用了”，尤其是實行“三案”以來，很多學生不能及時完成預習案，不能保證完成鞏固案。但是，這節課的設計，有“一條線拎起了兩條螞蝗”的感覺，我們要的就是這個效果，我們要把規范辦學下有限的40分鐘時間都當成歌德筆下的《最后一課》來用。想盡一切辦法，提高課堂效率。

二、悟“活動”之道，見課堂高效

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為：數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣不經過親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的。因而《數學課程標準》的“基本理念”中指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”，在數學教學活動中，“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想與方法.獲得廣泛的數學活動經驗”。

聽過許多“三角形內角和定理”的公開課，在證明定理時，教師通過種種途徑去解釋為什么要添加輔助線，但學生卻仍一知半解，化歸思想無法落實。這樣的課，好像是教師牽著學生過獨木橋一樣，教師一放手，學生便會摔跤。為了解決這種困惑，筆者對這塊內容作了深入研究，一方面要讓學生領會三角形內角和定理的證明中要構造平角（1800），另一方面要讓學生能自然而然地想到必須去添加這些輔助線（合理性）。筆者從中“悟”出，設置如下數學活動，來化解學生的理解難點：

[活動1]拿三角形紙片（如圖1），把兩個角剪下，接在第三個角的頂點處，有幾種拼圖方法？

通過學生的動手操作，得出以下兩種拼圖的方法（如圖2）

拼圖活動直觀、形象地啟發學生猜想三角形內角和定理，也啟發了學生找出證明此定理時的輔助線添法。

[活動2]拿同樣的三角形紙片，只剪下一個角進行拼圖，你能說明三角形的內角和定理嗎？

這個活動是考慮到兩平行線的同旁內角互補，因此猜想用平行線的性質來拼圖驗證此定理（如圖3），這樣就發散了學生的思維。

[活動3]再拿出第三張三角形紙片，不剪出這張紙片中的任意一個內角，你能通過對這張紙片的折疊來驗證三角形內角和定理嗎？

問題激發了學生的興趣和好奇心。經過活動操作，只要將三角形按圖4中的虛線折疊，拼成一個平角即可說明這一定理。這個

問題是活動1的遷移，培養了學生知識的遷移能力。

通過分組討論，學生得出以下四種輔助線的添法（如圖5）

以上活動的設計，讓學生真正領悟要得到三角形的內角和定理的證明過程，添加輔助線成為水到渠成之事。杜威在其著作《我們怎樣思維》中講到“教師的成長和發展的第一步，就在于教師自身的反思”。可見，教師行“悟道”對促進教師改進教學策略，不斷提升自己教育教學水平有著重要的作用。

三、悟“變式”之道，見課堂高效

變式教學的宗旨是啟發、引導學生研究、探索知識的發生、發展過程，有利于發揮學習主體的主動和能動作用，激發學生的學習興趣，提高學生的注意力。變式教學可以較好地避免教學中使知識、技能、方法割裂的弊端，能使學生的思維向“深”和“寬”的方向發散，從而培養學生思維的發散性、深刻性、靈活性和創造性，能起到拓展學生思維的作用。變式教學能通過一個問題解決一類問題，有效地增大課堂教學容量，有效地控制課外作業量實現讓學生跳出“題海”，從而減輕學生負擔，真正提高數學課堂教學的效率。

（2010山東煙臺）手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個圖案花邊的寬度都相等，那么，每個圖案中花邊的內外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（ ）。

筆者的愛人遇到上面一道題，她通過舉出一些具體的數據解釋給學生聽，比如設內矩形的長為10，寬為5，小路寬為1，則外矩形的長為12，寬為7，，所以D選項這兩個矩形不一定相似，但她感覺到部分學生似懂非懂。來征求我如何分析，學生才會解惑？見到此題，筆者回憶起新人教版九年級（下）教材第39頁習題27.1第6題：

原題：如圖，矩形草坪長30m，寬20m，沿草坪四周有1m寬的環形小路，小路內外邊緣所成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似？

筆者從中“悟道”，必須要通過探索這一類題來徹底解決雙矩形類問題。于是通過一節變式教學課提高課堂教學效率，發展學生思維品質。具體做法如下：

解：∵矩形的每個內角都等于900，

∴∠A=∠E=900，∠B=∠F=900，

∠C=∠G=900，∠D=∠H=900

即： 它們的對應角對應相等。

但它們的對應邊：

∴矩形EFGH和矩形ABCD不相似

引導學生思考，如果改變矩形ABCD的長和寬，那么矩形EFGH和矩形ABCD相似嗎？進一步追問：如果改變矩形ABCD的長和寬不變，那么小路的寬為多少時，矩形EFGH和矩形ABCD相似？

設小路寬為x，對應角都已經對應相等了（900）

還需條件：，即

解得x=0，這樣的小路寬不存在。

由以上可知： 邊緣寬度相同的內外兩個矩形永遠不可能相似。到此，學生對于2010山東煙臺的中考題便會不講自通。教師不妨再追問：既然邊緣寬度相同的內外兩個矩形永遠不可能相似，那么，邊緣寬度不相同的內外兩個矩形有沒有可能相似呢？此時，學生的探究欲望會被再一次燃燒。

設小路寬為x和y，對應角都已經對應相等了（900），

還需條件：，即

解得

結論：當橫向小路的寬與縱向小路的寬之比為3：2時，矩形EFGH和矩形ABCD相似。

如果矩形ABCD的長為m，寬為n，叫學生猜想：是否成立。

還需條件：，即

。結論：當橫向小路的寬與縱向小路的寬之比為m：n時，矩形EFGH和矩形ABCD相似。也就是說，當橫向小路的寬與縱向小路的寬之比等于矩形ABCD的長與寬之比時，矩形EFGH和矩形ABCD相似。

教師再次追問：那么兩個梯形呢？如果梯形ABCD的各邊向外平移2個單位得到新的梯形EFGH，試問兩個梯形相似的條件是什么？（答案：若EA，FB，GC，HD的延長線能交于一點時，所得到的兩個梯形能相似。）

通過層層追問，學生的思維被一次次激活，通過這一系列的變式拓展訓練，不但能開闊學生的解題思路，而且啟發學生建立了課本例題，課外習題之間的聯系，使學生在做題時做到“遇新題，憶舊題，多思考，善聯想、多變換、找規律”，從而培養了學生的應變能力和創造性思維能力。著名數學家波利亞說過“一個專心認真備課的教師能夠拿出一個有變化但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”。教師在教學過程中，“悟道”起著關鍵的因素，通過“悟道”進行變式教學，講一題，串一類，課堂教學效率明顯提升。

身為教師，就要在工作中不斷學習，在學習中不斷“悟道”，在“悟道”中不斷實踐，在實踐中努力探索，才能使自己在理論上提升、在經驗中升華、在研究中突破、在追求中完善，成為現代教學中的合格高效的教師。

旦旦為之，終日成騏驥；“悟道”著，快樂著。

參考文獻：

[1]教育部.數學新課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2]李濤.提高課堂教學效率之我見[J].教育理論與實踐，2000（2）.

[3]王杰.中學生數學問題提出策略的理論研究與實踐探索[J].中學數學教學參考，2004（6）.

[5]周景，張慶林.關于提高教學效率的幾點思考[J].西南民族大學學報（人文社科版），2003（24）.