奇異信號相關知識點的教學探討

黃亞飛　樊紹勝　馬瑞

摘 要：奇異信號在信號和系統分析中具有重要的作用，由于是非普通函數，學生在相關知識點的理解上經常出現偏差。筆者歸納了奇異信號教學中學生容易疑惑的四個問題：階躍信號0時刻的取值為多少、沖激與沖激偶的和是否仍為沖激信號、沖激偶的兩個沖激能否抵消以及沖激信號的復合函數如何化簡，對這些問題作了逐一解答并給出教學建議。能幫助學生更清晰地理解奇異信號及其相關概念。

關鍵詞：奇異信號；階躍函數；沖激；復合函數

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-4107（2013）05-0028-02

奇異信號或奇異函數是指函數本身有不連續點（跳變點）或其導數與積分有不連續點的一類信號，它們是將實際信號按某條件理想化后得到的，是物理不可實現的。常見的奇異信號包括斜坡、階躍、沖激和沖激偶四種信號，它們在信號與系統分析以及電路分析中發揮著重要作用。在教學中讓學生掌握這部分知識并不難，但隨著對奇異信號理解的深入，學生通常會對一些問題產生疑惑，這些問題的根源在于奇異信號不是普通函數，有其自身的特殊性。本文就教學過程中學生對奇異信號相關知識產生疑惑較多的問題進行歸納，并對其逐一解答。

一、單位階躍信號ε（t）在0時刻的取值

單位階躍信號可作為開關的數學模型，其物理背景是：在t=0時刻對某一電路接入單位電源（可以是直流電壓源或直流電流源），并且無限持續下去。如果接入電源的時間推遲到t=t0時刻（t0>0），就可以用一個延時的單位階躍函數來表示。階躍信號的符號表示和定義式在各教材中略有不同，給教師及學生的理解造成了混亂。首先是表示符號，有的用u（t）[1]，有的用ε（t）[2]，筆者認為用ε（t）表示階躍函數比較合適，因為用u（t）表示容易與電壓符號混淆。其次是定義表達式，所有教材對t>0和t<0時ε（t）的取值都是統一的，即

但對于t=0時刻的取值，不同教材和學者有不同的看法。有的文獻認為ε（0）未定義或為1/2[3]，有的文獻定義ε（0）取0或1[4]。而學者們對這一問題的討論也一直未停止過，有些文獻通過實例說明ε（0）的取值應根據實際情況給出[5-6]，有些文獻把t=0作為動態電路分析中的換路時刻[7]，對階躍信號如下定義：

本文認為，給ε（0）強加定義并無必要。我們知道，ε（t）的階躍過程是一瞬間完成，或者說ε（t）在（0-，0+）這一無窮小的時間間隔內是時刻變化的，在信號與系統分析中，強調ε（0）的取值并無多少實際意義，教學中應該重點討論階躍信號的本質特征，即信號的跳變位置和階躍幅度。

二、關于δ（t）+δ'（t）

單位沖激函數δ（t）這種奇異信號，表征的是作用時間極短、作用值極大的物理現象，比如力學中瞬間作用的沖擊力、電學中的雷擊電閃、電路中電容電流的突變等現象。那么從物理意義上講，沖激偶函數δ'（t）表示的就是δ（t）的瞬間變化。一般的“信號與系統”教材對沖激信號δ（t）的定義采用如下的狄拉克（Dirac）函數：

這種定義簡單易懂，且便于教學，但是從數學上來說卻不嚴格。例如δ（t）+δ'（t）也滿足式（3）的定義，但δ（t）+δ'（t）并不是單位沖激信號。要把該問題解釋清楚，教師除了介紹δ（t）的狄拉克定義外，還有必要講授分配函數的概念以重新認識沖激信號[8]。分配函數的定義是如果將δ（t）理解為分配函數，則把檢試函數φ（t）指定為數φ（0）的信號就是δ（t），公式如下[9]。

根據式（4）定義， =φ （0）-φ'（0），因此δ（t）+δ'（t）不是單位沖激信號。

三、沖激偶信號δ'（t）的正負兩個沖激不能互

相抵消

傳統的沖激偶信號δ'（t）的定義方式是直接對δ（t）求導得到，表示沖激信號的變化快慢，但該變化難以直觀測量，也很難用普通的求導公式來得到δ'（t），因此教學中也需要采用分配函數來定義。

其物理意義是：δ'（t）表示δ（t）的瞬間變化，該變化作用于檢試函數φ（t），通過φ（t）的變化（導數）來體現，且該變化和δ'（t）的方向相反[10]。教材中給出的沖激偶信號的示意圖如圖1（a）所示[11]。

由圖1（a）看出，δ'（t）由正、負兩個沖激組成，其強度均為無窮大。有學生看到δ'（t）的圖形自然地想到，為什么不把這一正一負的沖激相互抵消呢？通過奇異信號性質的學習，我們知道δ'（t）是奇函數，這正負兩個沖激是一左一右、關于原點對稱的，或者說這兩個沖激存在的時刻不同，所以不能互相抵消。同時還必須明確δ'（t）中的兩個沖激是不可分離的一個整體。為了不使學生產生誤解，作者在教學中對圖1（a）作了改進，以圖1（b）作為沖激偶信號的示意圖，圖1（b）清晰地表達了δ'（t）的兩個沖激出現的時刻和強度，收到了很好的教學效果。

四、沖激信號的復合函數δ[f（t）]的化簡

討論沖激信號復合函數形式δ[f（t）]是有現實背景的，但很多教材沒有對該問題作介紹。設想用一普通信號f（t）控制某開關，則該開關模型可用ε[f（t）]表示，其變化率就是

當然，不用式（6）也可直接計算ε[f（t）]的導數，例如當f（t）=（t2-4）（2t+1），ε[f（t）]的波形如圖2，由ε[f（t）]的波形易求其導數。

不過，對于式（6）中δ[f（t）]的討論和化簡有助于我們更充分理解其物理意義。對此，相關教材給出并證明了以下定理。

若普通函數f（t）=0有n個互不相等的實根t1，t2，…，tn，則有

其中f'（ti）表示f（t）在t=ti處的導數，且f'（ti） ≠0（i=1，2，…，n）。

式（7）表明δ[f（t）]是位于ti處、強度為1/|f'（ti）|的n個沖激構成的沖激函數序列。該定理考慮了f（t）=0只含單實根的情況，那么有學生不免會問：若普通函數f（t）=0含有重根，則δ[f（t）]該如何化簡？其實，f（t）=0有重根的情況下δ[f（t）]是無意義的，正如δ2（t）和δ（t）/ω這類信號不存在一樣，因為沒有這種信號運算的定義。

奇異信號是一類特殊的廣義函數，在信息系列課程中的意義重要，精確理解相關概念有助于學生系統分析能力的提高。本文對學生容易質疑的四個問題給予了解答，總結如下：（1）沒必要給ε（t）強加0時刻的定義；（2）以分配函數的概念來定義δ（t）才能解釋δ（t）+δ'（t）不是單位沖激信號；（3）圖1（b）所給示意圖能消除“δ'（t） 的兩個沖激可互相抵消”的誤解；（4）當f（t）=0含有重根時，討論δ[f（t）]的化簡是無意義的。

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