從“曹沖稱象”中學習比較大小

趙廣樂

摘要：基于“曹沖稱象”的經驗，比較離散量與連續量的區別，研究連續量比較大小的基本思路和方法。此法有助于高中學生迅速理解比較大小題目的實質，為高中學生學好數學推開一扇窗戶。

關鍵詞：曹沖稱象；離散量；連續量；比較大小

中國百姓家喻戶曉的歷史典故“曹沖稱象”， 出自西晉·陳壽·《三國志·卷二十魏書二十武文世王公傳第二十》：“鄧哀王沖，字倉舒。少聰，察岐嶷，生五六歲，智意所及，有若成人之智。時孫權曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則校可知矣。太祖大悅，即施行焉。”

其大意是說：曹操的兒子曹沖長到五六歲的時候，知識和判斷能力所達到的程度，可以比得上成人。有一次，孫權送來了一頭巨象，曹操想知道這象的重量，詢問屬下，都不能說出稱象的辦法。曹沖說：“把象放到大船上，在水面所達到的地方做上記號，再讓船裝載其他東西（故事中常說是石頭）（當水面也達到記號的時候），稱一下這些東西（石頭），那么比較一下（東西的總質量差不多等于大象的質量）就能知道了。”曹操聽了很高興，馬上照這個辦法做了。

“曹沖稱象”的故事，其實蘊含著實用的生活經驗和深刻的數學原理。

數（shù），起源于數（shǔ）；量（liàng），來源于量（liáng）。

量，大體上可以分為兩類：離散量和連續量。離散量，例如：蘋果、人、石頭等等，這類東西是一個個分離的、獨立存在的。離散量的比較，只需要數數其個數即可。連續量，例如：水、空氣等等，這些東西沒有接縫，是不可一個個分離的，故有“抽刀斷水水更流”之說。連續量的比較與測量，是比較困難的。例如：大象的重量就當時的技術水平而言，是很難測量的。

我們先來看看另外一個例子：要比較兩根長短相差不大的棍子的長度，如下三種比較方式中，只有第三種是行之有效的。

（圖一） （圖二） （圖三）

第三種比較方法的關鍵，在于將連續量放在了一起，并且“對齊一頭”。雖然這是一個很簡單的生活常識，但這個常識，對于我們解決高中數學中的比較大小問題，是一個很好的啟示。

例1. 比較與的大小。

解：與大小的比較對于初學的學生不易一眼看出，此時，我們可以模仿剛才比較棍子長度的方法：“對齊一頭”。，而由指數函數單調遞增，即可知。

例2.比較與的大小。

解：根據“對齊一頭”的比較思路，，由對數函數在單調遞增，可知。

例3.比較與的大小。

解：根據“對齊一頭”的比較思路，，而由對數函數在單調遞增，可知。

在現實生活中，有些事物的比較，是不能像兩根木棍那樣放在一起并“對齊一頭”那樣簡單的。如：江蘇無錫靈山大佛的大拇指，與四川樂山大佛的大拇指是不能簡單比較哪個長的。這個時候，“曹沖稱象”的典故所蘊含的生活經驗和數學思想，就可以給我們深刻的啟示了。

大象的體重，就當時的技術水平，是很難測量的。而曹沖的聰明之處卻在于，他用可分開測量的石頭的重量，來代替不可分開測量的大象的體重，其實質是用離散量來測量連續量，而所選取的離散量，是與連續量有共同測量標準的。

其實，在生活中還有很多這樣的例子。例如：貨幣的產生。在人類沒有貨幣的時候，交易都是物物交換進行的，這是各種物品價值的直接比較，可是人們總是對自己所擁有的物品的價值估值較高，這樣的比較和交易是很麻煩的。于是，便出現了以貝殼、貴金屬等作為中間物的價值比較，就形成了貨幣。

又如：在生活中，如果家里的玻璃損壞了，請換玻璃的師傅來換玻璃。師傅一定不會抱著一整塊玻璃來家中比劃，然后在整塊玻璃上描繪出所需玻璃的大小，再裁玻璃。如果真有人這樣做了，裁下的玻璃恐怕也不能合適地安裝上去。事實上，裁玻璃的師傅一定會用一把尺子先量好所需玻璃的尺寸，再回去在整塊玻璃上裁下大小適宜的一塊玻璃。

不論是貨幣，還是量玻璃的尺子，它們都有一個共同的特點：就是可以與所比較的兩個事物都“對齊一頭”，有共同的價值尺度或測量標準。這就為我們解決數學中的比較大小問題提供了思路和經驗。

例4.比較與的大小。

解：此例無法將所比較的兩個量“對齊一頭”，此時，我們可以借鑒“曹沖稱象”的經驗，尋找如同貨幣、尺子之類的可以與所比較的兩個量都對齊的東西。考慮到，則有

，即解。

例5.比較與的大小。

解：仿照例4，，比較雙方均比1小，作為測量標準的1失效，此時，我們考慮：測量標準并非非1不可，關鍵是要能夠與比較雙方“對齊一頭”，根據這個思路，我們可以將的底數取出，將的指數取出，組成一個新數，這個新數是可以與比較雙方很好的“對齊一頭”的。由指數函數單調性知，而由指數函數在第一象限“低大圖高”，可知，即。

綜上所述，比較大小題型的解題思路可以總結如下：1.比較雙方已然“對齊一頭”的，可以利用函數單調性直接比出大小；2.比較雙方沒有“對齊一頭”的，可以通過變形使其“對齊一頭”；3.比較雙方不能對其“對齊一頭”的，可以嘗試利用或作為中間的測量標準；4.即使常見的測量標準或失效，我們也可以充分發揮主觀能動性，人為地做出合適的標準進行測量。

數學，源于生活，又高于生活、用于生活。如果我們善于觀察生活中的常見現象，勤于思考其中蘊含的數學思想，勇于用生活中的經驗和智慧來分析數學、學習數學，那么數學將不再是一本難懂的天書，而是充滿了懸疑和智慧的“偵探小說”。

參考文獻：

[1]遠山啟（日）.數學與生活[M].北京：人民郵電出版社，2010.