初中幾何探究類問題的教學研究

王東

摘要：隨著新課程改革的全面推進，幾何探究類問題已成為近些年來各地中考試卷中的一類重要題型。被認為是考查學生創新意識、創造能力和發展學生學力的最富有價值的數學問題。同時這類問題也成教師教學過程中的一個難題。個人認為，在幾何探究類問題的教學過程中，教師不僅要教會學生解決問題的方法，更要培養學生提出問題、分析問題、解決問題的各項能力和一些具有元認知性質的解題策略。

關鍵詞：幾何教學；探究類問題；反思

幾何教學是中學數學課程中不可或缺的重要內容。我國義務教育新課程標準強調：要在數學活動中學習幾何，注重探索圖形性質的過程。實踐證明，要全面提高中學幾何教學的質量，關鍵取決于教師的業務素質與教學水平。

在幾何教學中，教師往往只重視思路的分析、技巧的揭示，而忽視“為什么會有這個思路”，忽視“技巧背后有沒有某種必然性”的總結提升。這就使得學生在經歷了題海、題型戰術后，仍然懼怕幾何問題。愛因斯坦曾說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要，因為提出一個問題更需要創造性的想象力”。教師不僅要教會學生解決問題的方法，更要培養學生提出問題、分析問題、解決問題的各項能力和一些具有元認知性質的解題策略。

一、實驗操作，探究規律

幾何探究類問題教學設計的思想是“以學生的學習為主體，在操作實驗中發現問題和探究規律，并進一步深化應用”。新的課程標準修訂稿提倡：在日常教學當中讓學生動手操作、鼓勵發現、鼓勵合作探究，以及在此基礎上完成對所學內容的歸納，最后再通過演繹的方式去證明的教學方式。

例如，在講三角形三邊關系時，先讓同學們把事先準備的三條長短不一的木棒擺一擺，看是否能擺成三角形。過了一會后，發現有幾個同學怎樣擺也擺不成三角形，于是我把這幾個同學請到講臺前又演示了一遍，提出了如下問題：為什么擺不成三角形？怎樣的三條木棒能夠擺成三角形？學生紛紛拿起自己的木棒再進行研究……在操作中發現問題，學生探究的欲望被瞬間喚醒，學習熱情也瞬間高漲，每個同學積極投入到課堂學習中，“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”這個自己探索得出的性質也在每個同學的腦海里根深蒂固。

實驗探究向學生提供了自主探索的機會，考查了他們理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想方法的水平，為他們解決數學問題提供了豐富的思維空間。

二、解讀鋪墊，尋找方向

幾何探究類問題往往通過對一些簡單問題的解決或者知識和方法的介紹，讓答題者在閱讀或解題過程中獲取新的知識、方法，或領會某種新的數學思想。而這些思想方法正是進一步探究所必須的。因此，在解幾何探究類問題時研讀鋪墊材料，透過材料的表象，看出材料所隱藏的思想方法，是解決這一類問題的關鍵。

例題 已知：等邊的邊長為。

探究（1）如圖1，過等邊的頂點依次作的垂線圍成，求證：是等邊三角形且；

探究（2）在等邊內取一點O，過點O分別作，垂足分別為點。

①如圖2，若點O是的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質得到兩個正確結論（不必證明）：結論1.；結論2.；

②如圖3，若點O是等邊△ABC內任意一點，則上述結論1、2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由。

本例中，探究（1）就是最基本的一個鋪墊，它的證明并沒有多大難度，在教學過程中發現大部分的學生都能解答探究（1）。但是，在探究（2）②中第二個結論的分析過程中能用上探究（1）方法的人極少。究其原因主要是大部分學生沒有仔細品味探究（1）的作用。對于本題的構造過程無動于衷，體會不到這里實際上是為第二問的解決隱藏了一個方法，只是就題論題地解答了這個問題，導致在探究（2）②中第二個結論時無從下手。

簡析：（1）如圖1，為等邊三角形，，，

，，

同理：，為等邊三角形。

在中，，

在中，，

。

（2）結論1成立。證明：如圖5，連接

由作垂足為H，則

。

（2）結論2成立。證明：如圖6，過頂點依次作邊的垂線圍成。

由（1）得為等邊三角形且，

過點O分別作，，，

由結論1得： ，

又，

四邊形為矩形，

，同理：，

。

從以上的分析中，不難發現，解讀鋪墊材料的意義重大，因為探究類問題的解題策略與方法往往就隱藏在題目的背景材料之中。在教學過程中要引起足夠的重視，可以多選擇一些問題與學生一起剖析、教會學生解讀鋪墊材料的方法。

三、簡化圖形，突出重圍

幾何教學離不開幾何圖形，幾何問題中所涉及的幾何圖形有基本圖形和復雜圖形，而這些復雜圖形又都是由一些基本圖形復合而成。不管遇到什么樣復雜的幾何問題，只要能夠善于發現基本圖形，并熟練掌握這些基本圖形的構成、形式及其性質，這樣就能使模糊問題清晰化、復雜問題簡單化。

例題 取一副三角板按圖7①拼接，固定三角板，將三角板繞點依順時針方向旋轉一個大小為的角（得到，如圖7②所示。試問：

（1）當為多少度時，能使得圖②中∥？

（2）當旋轉至圖7③位置，此時又為多少度？圖③中你能找出哪幾對相似三角形，并求其中一對的相似比。

（3）連結BD，當時，探尋值的大小變化情況，并給出你的證明。

圖7

第三小題簡析：（3）如圖連結，擦掉線段可以發現

構成一個五角星。因為五角星的五個角的和為，，所以的值的大小沒有變化，總是。

利用基本圖形及其性質能比較有效地解決一些復雜問題，采用復雜圖形基本化的策略，一般都會取得事半功倍的效果。

四、另辟蹊徑，殊途同歸

什么是幾何？偉大的數學家克萊因曾指出：“考慮空間的一個變換群，研究它的一切不變性質或不變量就構成一種幾何”。比如，一個形狀大小任意變化的四邊形，順次聯結各邊的中點所得的四邊形始終是平行四邊形。比如，一個三角形，它的一條底邊長度不變，這條底邊的對角頂點在這條底邊的平行線上滑動，而三角形的面積始終不變。也就是說幾何的精髓是在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的規律。

例題：在中，交的延長線于點。一等腰直角三角尺按如圖8所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為，一條直角邊與邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點。

（1）在圖8中請你通過觀察、測量與的長度，猜想并寫出與滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

（2）當三角尺沿方向平移到圖9所示的位置時，一條直角邊仍與邊在同一直線上，另一條直角邊交邊于點，過點作于點。此時請你通過觀察、測量的長度，猜想并寫出之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

（3）當三角尺在（2）的基礎上沿方向繼續平移到圖10所示的位置（點在線段上，且點與點不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）

簡析：此題以等腰直角三角尺與等腰的相對運動為背景，旨在探究線段之間的數量關系，問題（1）是在圖8中，探究兩三角形在特殊位置下兩線段與滿足的數量關系，通過≌容易解決。問題（2）、問題（3）是從通過三角板的移動過渡到一般情況下的。圖9、圖10中猜想探究線段、與之間滿足的數量關系：，這一結論的證明給學生提供了更為廣闊的思維空間，從不同角度來分析，可以得出不同證法。如采用“截長補短法”構造全等三角形：

證明：過點作于點，于點，，四邊形為矩形，∥。。，。又，，≌，。，即。

本題同時也隱含著一個基本性質：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上高的長度。因此本題還可以運用該性質解題。

證明：連結，，又于點，于點，，， 。

本題是一道利用三角板為背景設計的題目，求解時一定要了解三角板的特性，使求解難度降低，通過求解我們還可以看出，三角板通過適當的操作能變幻出許多精彩的中考數學試題，近兩年的中考中就頻頻出現此類問題。

五、解后反思，自主提升

教會學生解后反思、實現自主提升是提高探究類問題解題能力的最有效的途徑。在教學過程中，教師不僅要強調思維的重要性與必要性，還要教會學生思維的方法，培養學生的思維習慣。從某種意義上說習慣有時比方法更重要。解題的過程是一個學習的過程，孔子曰“學而不思則惘”。我們許多學生正是因為缺乏必要的反思，經常迷惘，題目做了一道又一道，題型解了一類又一類，可到頭來還是一無所獲，碰到新題還是一頭霧水。

在課堂教學過程中，教師首先要讓學生有反思的時間，教師在課堂中留出幾分鐘來讓學生進行自主的感悟提升；其次是要教會學生反思的方法，反思不是解題過程的重復，不僅僅是訂正錯題，也不僅僅是用紅筆寫出錯誤的理由，反思是一個系統工程，一道題解完后，首先要讓學生反思的是思路的產生和確定過程，是突然的靈光一現，還是由己知條件層層推出，還是歷曲折之后的柳暗花明。作為答題者，在諸多合理性與必然性中，你有沒有想到？為什么會想到這一種解法？在對這些問題的反思過程中，學生就會發現自己在知識、方法和策略等方面的不足，從而找到努力的方向。

總之，探究類問題的教學是數學教學中的一個熱點，也是一個難點，對其教學策略的探討也應是一個逐漸深入的過程。沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平。我們認為傳授方法或解答后讓學生進行反思、領悟是很好的方法，所以我們在教學時應留出足夠的時間來讓學生進行反思，從而使學生盡快形成一種解題思路。

參考文獻：

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