基于正交變換的區間Ⅱ型模糊模型結構精簡

基金項目： 國家自然科學基金資助項目（51177137/E070303）

作者簡介： 姚蘭（1980-），女，博士研究生，研究方向為模糊系統辨識，E-mail：dancyyao@163.com

肖建（1950-），男，教授，研究方向為模糊控制及計算機控制

文章編號： 0258-2724（2013）03-0481-06DOI： 10.3969/j.issn.0258-2724.2013.03.014

摘要：

針對奇異值-QR（SVD-QR）分解方法存在有效奇異值難以確定的問題，提出采用列選主QR分解方法對模糊模型結構進行分析.運用該方法分析從模糊模型抽取的2個激活強度矩陣，利用矩陣R主對角元素作為判斷規則重要性的依據，根據矩陣Π中每列值為1的元素位置確定所對應的規則，

從而選取重要的規則，構建簡約的區間Ⅱ型模糊模型.

將本文方法和奇異值-QR分解方法應用于混沌時間序列預測，同時還對比了兩種方法選取的重要規則在不同樣本條件下的適應能力.結果表明，兩種方法選取的重要規則存在明顯差異，并且采用本文方法可以獲得更小的誤差，平均誤差為0.108 6；在不同樣本條件下采用本文方法所得誤差基本一致，具有更強的泛化能力.

關鍵詞：

區間Ⅱ型模糊模型；奇異值-QR分解；規則精簡；列選主QR分解

中圖分類號： TP273文獻標志碼： A

為了彌補Ⅰ型模糊邏輯處理不確定性存在一定局限性的缺陷，Zadeh于1975年首次提出了Ⅱ型模糊集合的概念[1-2].Ⅱ型模糊集合的元素隸屬度值自身是Ⅰ型模糊集合，因而獲得了更強的描述與處理不確定性的能力，在很多領域取得了成功的應用[3-4].然而，與Ⅰ型模糊系統類似，Ⅱ型模糊系統也面臨著模糊規則數量隨輸入空間維數上升而呈指數上升的維度災難問題，以及具有滿意擬合精度的模型必然會帶來冗余規則的問題[5].因此如何實現Ⅱ型模糊邏輯系統的結構精簡成為目前模糊邏輯領域中亟待解決的問題之一.

目前模糊模型結構精簡的常用方法是奇異值-QR分解[6-8].本文首先給出了區間Ⅱ型模糊邏輯系統的統一描述[9-10]，分析了奇異值-QR分解方法存在有效奇異值個數難以確定的問題.在此基礎上，提出采用列選主QR分解方法[11]分析從區間Ⅱ型模糊模型抽取的2個激活強度矩陣，根據矩陣R主對角元素的絕對值將規則按重要性進行排序，從而實現重要規則的選取，有效避免了奇異值數目難以確定的問題.最后，通過仿真實驗比較了2種精簡方法的性能，同時還以訓練數據和檢驗數據為樣本，分析比較了兩種精簡方法的泛化能力.

1

區間Ⅱ型模糊邏輯系統的描述

2

區間Ⅱ型模糊模型的結構精簡

2.1

基于正交變換的結構精簡原理

2.2

奇異值-QR

然而，實際應用中大部分情況下奇異值曲線是連續光滑的，相鄰奇異值的幅值下降幅度一般很小，沒有明顯轉折點，無法準確地確定有效奇異值數目.這就會產生不同的有效奇異值數目，得到不同的矩陣Π，從而獲得差異較大的規則重要性排序結果.可見，采用奇異值-QR方法進行規則選取存在有效奇異值個數不確定而導致重要規則變化的問題.

2.3

列選主QR

3

仿真研究

為了分析比較2種精簡方法的逼近性能，以檢驗數據為樣本，按照表1所給的規則重要性排序結果每次增加1條建模規則，從第1條規則開始，得到在精簡模型重構規則數目遞增情況下2種方法的誤差如圖3所示，其平均誤差見表2所示.

可見，隨著規則數目的遞增，采用列主元QR方法所得誤差始終小于奇異值-QR方法的誤差，二者的平均誤差分別為0.108 6和0.165 5，并且列主元QR方法所得誤差下降幅度明顯更大，在規則數目為4時誤差下降至0.1以后，下降幅度就趨于平緩；而采用奇異值-QR方法誤差下降緩慢，在規則數目為7時還略有增加.這說明列主元QR方法不僅具有更高的模型逼近精度，且是一種可靠的精簡方法.

為了檢驗2種方法選取的重要規則對不同數據樣本的適應能力，分別以訓練數據和檢驗數據為樣本，同樣按照表1給出的規則排序結果依次增加模型中的規則數目，分別得到2種精簡方法的誤差如圖4所示，其平均誤差見表2所示.

可見，隨著規則數目的增加，在2種數據樣本情況下列主元QR方法所得誤差基本一致，而采用奇異值-QR方法得到的訓練數據的誤差要小于檢驗數據的誤差，直到規則數目增加到15，二者誤差才接近.這說明列主元QR方法選取的規則重構模型能更加正確地反映輸入輸出映射關系，具有更強的泛化能力.

4

結論

本文分析了采用奇異值-QR分解和采用列主元QR分解2種正交變換方法，實現區間Ⅱ型模糊模型結構精簡的原理和應用特點，并利用混沌時間序列進行了仿真研究，結果表明，雖然利用2種方法所獲得的規則重要性排序結果存在差異，但都能有效實現模型結構的精簡，其中列主元QR方法得到的誤差始終更小，誤差下降速度更快，且具有更強的泛化能力.在實際應用中，2種精簡方法應根據模糊模型前件推理所得的激活強度矩陣的具體情況進行選用.在激活強度矩陣的有效奇異值預先明確或奇異值分布曲線存在明顯轉折點，以及模型辨識精度要求不高的情況下，可以采用奇異值-QR分解方法；反之，則采用列主元QR分解方法可以取得更好的效果.本文的研究結果為區間Ⅱ型模糊控制的進一步研究提供了基礎.

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