對任意數(shù)項級數(shù)收斂條件的探討

摘 要： 級數(shù)的斂散性判別一直以來都是級數(shù)理論的核心.本文研究了已知的判別任意數(shù)項級數(shù)收斂的相關(guān)定理，探討了如何從新的角度判定一般任意數(shù)項級數(shù)收斂和絕對收斂的方法，并給出了定理的相關(guān)證明.

關(guān)鍵詞： 任意數(shù)項級數(shù) 收斂 絕對收斂 定理 證明

級數(shù)理論是數(shù)學分析學的一個非常重要的理論，在其他數(shù)學科學和現(xiàn)代科學技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.判別級數(shù)的斂散性是級數(shù)理論的核心，其判別方法一直為人們所研究.任意數(shù)項級數(shù)■u■收斂的必要條件是■u■=0，而當且僅當■u■=0時，任意數(shù)項級數(shù)■u■的斂散性是不確定的.并且，在判定級數(shù)收斂的充分條件時，往往要求以正項級數(shù)為前提，這就給我們判定一般任意數(shù)項級數(shù)的斂散性增加了難度.因此，我們試想探討：在一般任意數(shù)項級數(shù)■u■中，當■u■=0時，只要再增加什么條件，就能夠使其收斂.

一

在諸多判別任意數(shù)項級數(shù)收斂的充分條件中，以■u■=0為判別條件之一的有如下幾種.

（一）Leibniz定理：如果交錯級數(shù)■（-1）■u■（u■>0）滿足下列條件：

（1）u■≤u■；（2）■u■=0，

則級數(shù)■（-1）■u■收斂，且其和s≤u■.

該定理首先要求級數(shù)為交錯級數(shù)，其次要求■u■=0，并且u■單調(diào)減少，便能證明其收斂.

（二）如果數(shù)列{nu■}收斂，且■n（u■-u■）也收斂，則任意數(shù)項級數(shù)■u■收斂.

在這個結(jié)論中，由數(shù)列{nu■}收斂，不難推出■u■=0，再加上一個■n（u■-u■）收斂的條件，即可獲證任意數(shù)項級數(shù)■u■收斂.

（三）Cesaro定理：如果級數(shù)■u■的部分和數(shù)列{s■}滿足■■=s（S為有限數(shù)）時，且u■=o（■），則■u■收斂.

這里，將■u■收斂的條件減弱為■■=s，稱為（C，I）求和，將■u■=0改為u■=o（■），即可證明■u■收斂.

二

在此，本文試從新的角度，通過建立三個輔助定理——引理，給出任意數(shù)項級數(shù)■u■在條件■n.△u■下收斂和絕對收斂的幾個定理.

引理1：若■u■=0，則■u■（n+1）|△■u■|收斂于u■，其中，△u■=u■-u■；△■u■=△（△u■）=u■-2u■+u■.

證明：■（n+1）|△■u■|=■■（k+1）△■u■=■■（k+1）·（u■-2u■+u■）=■[（u■-2u■+u■）+2（u■-2u■+u■）+3（u■-2u■+u■）+…+（n+1）·（u■-2u■+u■）]=■（u■-u■）=u■

引理2：對？坌u■，則有u■-u■=△■u■+2△■u■+…+n·△■u■+（n+1）·△u■

證明：當n=0時，u■-u■=△u■成立.設(shè)對？坌n成立，則對n+1有

u■=u■=u■-u■+u■-u■

由歸納假設(shè)知

u■-u■=△■u■+2△■u■+…+n·△■u■+（n+1）△u■+△u■+△u■

=△■u■+2△■u■+…+n·△■u■+（n+1）·{△■u■+△■u■}+△u■

由于

（n+1）·△u■+△u■=

（n+1）·（△u■-△u■+△u■）+△u■=

（n+1）·{△■u■+△u■}+△u■

因此

u■-u■=△■u■+2△■u■+…+（n+1）·△■u■+（n+2）△u■

引理3：若■u■=0，則■n·△u■=0

證明：由引理2

u■-u■=△■u■+2△■u■+…+n·△■u■+（n+1）△u■

令m=n，及m=n+1，則分別有

|（n+1）△u■|≤|u■-u■|+|△■u■|+2|△■u■|+…+n|△■u■|

≤|u■-u■|+■|（k+1）△■u■|

|（n+2）△■|≤|u■-u■|+■（k+1）|△■u■|

由引理1，若■u■=0，則■（n+1）|△■u■|收斂，再由柯西收斂定理可知

■n·△■=0.

定理1：設(shè)■n·△u■收斂于S，其中△u■=u■-u■，則■u■收斂于S-u■.

證明：S■=■u■=（N+1）u■-u■+■n·△u■，由已知

■（N+1）u■=0及■■△u■=S，即可知■u■，收斂于S-u■.

定理2：設(shè){nu■}收斂，且■n|△u■|收斂，則■u■絕對收斂.

證明：由Abel變換

■u■b■=u■B■-■B■△u■

其中，B■=■b■.令b■=sgnu■，則

■|u■|≤（m+1）|u■|+■n·|△u■|

因為|B■|≤n，所以■|u■|部分和有界，所以■u■絕對收斂.

注：若■u■為正項級數(shù)，且u■=o（■），a>0，則■u■收斂.

若■u■為正項級數(shù)，且u■=o（■），u■單調(diào)，則■u■未必收斂.

例如：■■由廣義積分？蘩■■■dx可知級數(shù)發(fā)散，但■=o（■），且■（n≥2）單調(diào)下降，因此它不是■u■收斂的充分條件.

定理3：設(shè)級數(shù)■u■，其中u■≥0且單調(diào)，則當u■=o（■）時，■u■收斂.

證明：∵u■=o（■），∴n·u■<ε，不妨設(shè)u■單調(diào)上升，故

（m-n）u■≤u■+…+u■≤n·u■（n>m）

？坌ε>0，？堝充分大的m，n使

|u■+…+u■|

定理4：設(shè)■u■的相應(yīng)級數(shù)為■u■·x■，且■■u■·x■=s（s為有限數(shù)），

當u■=o■時，則■u■收斂.

證明：考察x→1-0，設(shè)

I=|■u■·x■-■u■|

S■=■u■為■u■的部分和，因為

I=|■u■·（x■-1）+■u■x■|≤|■u■·（1-x■）|+|■u■x■|

其中，

|■u■·（1-x■）|<（1-x）■ku■

對于固定的n，且x→1-0，它必趨向于0，而

|■u■·x■|=|■k·u■■|<■■x■<■→0 （x→1-0）

所以

■I=0

即■u■收斂于S.

參考文獻：

[1]陳建功.三角級數(shù)論[M].上海：上海科學技術(shù)出版社，1964.

[2]菲赫金格爾茨.數(shù)學分析原理[M].北京：人民教育出版社，1979.

[3]江蘇省非理科專業(yè)高等數(shù)學競賽試題，1991.