“一線三等角”問題

所謂“一線三等角”是指三個角的頂點在同一條直線上，如圖1，點C是AB上一點，若∠A=∠B=∠5，則∠1=∠2，∠3=∠4.

證明：因為∠ECA=∠5+∠1=∠2+∠B，又∠B=∠5，所以∠1=∠2，同理∠3=∠4.

也就是說只要有一線三等角的模型，一定存在其它兩個角相等，從而找到解決問題的突破口，或用全等、或用相似，快速使問題得到解決，本文以2013年中考題為例加以研究.

圖1圖2例1（天津）如圖2，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長為.

解易知∠B=∠C=∠ADE，由模型知△ABD∽△DCE，所以AB1DC=BD1CE，即916=31CE，CE=2，故AE=7.

例2（廣東）如圖3，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C.

（1）設Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1S2+S3（用“>”、“=”、“<”填空）；

（2）寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.

解（1）填“=”；（2）△BCD∽△DEC，△BCD∽△CFB，△DEC∽△CFB.由條件知∠F=∠BCD=∠E，由模型知△DEC∽△CFB.

圖3圖4例3（福州）如圖4，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC邊上一點，△PAD的面積為112，設AB=x，AD=y.

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）若∠APD=45°，當y=1時，求PB·PC的值；

（3）若∠APD=90°，求y的最小值.

解（1）y=21x；（2）等腰梯形ABCD中，∠B=∠C=45°，當∠APD=45°時，由模型知△ABP∽△PCD，所以AB1PC=PB1CD，又AB=CD，所以PB·PC=AB2，當y=1時x=2，即AB=2，故PB·PC=（2）2=2.（3）略.

例4（揚州）如圖5，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E.設BP=x，CE=y.

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍.

（3）如圖6，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP長.

圖5圖6解（1）因為AB∥CD，∠B=90°，所以∠B=∠C=90°，因為PE⊥PA，所以∠APE=90°，所以∠APE=∠B=∠C=90°，由模型知，所以△ABP∽△PCE，所以AB1PC=BP1CE，因為BC=m，BP=x，所以PC=m-x，所以21m-x=x1y，所以y=112x2+m12x，所以y關于x的函數關系式為y=112x2+m12x，x的取值范圍為0

（2）因為y=112x2+m12x=112（x-m12）2+m218，所以當x=m12時，ymax=m218，所以點E總在線段CD上，所以m218≤1.所以m≤22，所以0

作者簡介李品林，男，1956年12月生，湖北人，主要從事初中數學教學及解題研究，發表數學論文40多篇.