優(yōu)化問題設(shè)計(jì) 追求高效課堂

【摘要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開問題，角度新穎、切入點(diǎn)恰當(dāng)?shù)膯栴}有利于突破重點(diǎn)和難點(diǎn)，能夠揭示學(xué)生的認(rèn)知矛盾，激活學(xué)生的思維狀態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)探究的興趣，提高數(shù)學(xué)課堂效率。教師提出的問題應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，貼近學(xué)生的心理年齡，使他們能夠明確問題的指向，有積極回答的愿望，問題的難易程度要考慮適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，觸及他們的最近發(fā)展區(qū)，不同層次不同類型的問題要分配得當(dāng)。本文以筆者對《中位數(shù)和眾數(shù)》教學(xué)中問題設(shè)計(jì)為例闡述自己的做法。

【關(guān)鍵詞】中位數(shù)和眾數(shù) 問題設(shè)計(jì) 高效課堂

素質(zhì)教育的關(guān)鍵是提高課堂四十五分鐘的效率，而問題的設(shè)計(jì)無疑是提高課堂效率的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)問題是指在數(shù)學(xué)已有的知識構(gòu)架內(nèi)，尋找適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以達(dá)到一個(gè)可見而不立即可及的目標(biāo)。問題設(shè)計(jì)得體，往往能夠把學(xué)生帶入一個(gè)奇妙的問題世界，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)其探索的欲望，能有效地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而切實(shí)有效地提高課堂教學(xué)效率，因此課堂問題的設(shè)計(jì)舉足輕重。而并非所有設(shè)計(jì)的問題都能達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。有些簡單的、膚淺的問題只能置學(xué)生于被動(dòng)地位，抵制學(xué)生的思維活動(dòng)，與開發(fā)學(xué)生的智力，激發(fā)學(xué)生的興趣相違背。所以有效的問題設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一。下面筆者以市公開課《中位數(shù)和眾數(shù)》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)剢栴}設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)做法，以期與同仁探討。

一、有的放矢——問題設(shè)計(jì)要有針對性，注重培養(yǎng)學(xué)生的問題意識

課堂提問的有效性首先必須以確立問題的目的性是否明確、清楚為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。有效的提問能在提問與學(xué)生求知心理之間，創(chuàng)設(shè)一種能觸及學(xué)生情感和意志領(lǐng)域的情境，有意識地把學(xué)生引入一種解題的最佳心理狀態(tài)，達(dá)到提問情境與學(xué)生心理情境的共鳴。選準(zhǔn)恰當(dāng)時(shí)機(jī)，在新舊知識銜接處設(shè)計(jì)問題能達(dá)到事半功倍的效果。新知識往往是在舊知識的基礎(chǔ)上引申和發(fā)展的。在舊知識向新知識過渡的時(shí)候，教師通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)劁亯|性提問，可以啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用遷移規(guī)律，溝通新舊知識之間的聯(lián)系，達(dá)到舊知識向新知識過渡的目的。因此在課堂教學(xué)中，我著重注意問題的目的性是否明確、清楚，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識。

筆者在情境引入設(shè)計(jì)中放棄教材中開門見山的做法，設(shè)計(jì)了貼近學(xué)生生活實(shí)際的職員工資問題的小故事作為情境引入：

大福泵業(yè)有限公司招工，經(jīng)理說本公司工資高，月平均工資2100元。職員D卻說他的工資是1200元，在公司算是中等收入。應(yīng)聘者小李想平均工資與中等收入差距這么大，他得先看看工資表：

（1）經(jīng)理說：月平均工資2100元有沒有錯(cuò)？

（2）平均工資能不能反映職工的工資情況？

（3）職員D說：“我的工資1200元是中等收入”，你知道“中等收入”的意思是什么嗎？

以上小故事設(shè)計(jì)把背景放在學(xué)校當(dāng)?shù)匾患移髽I(yè)，貼近學(xué)生實(shí)際，讓學(xué)生倍感親切，既創(chuàng)設(shè)了問題情境，又創(chuàng)設(shè)了情緒情境，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的意志與自信心，故事中經(jīng)理與職員D所介紹工資差異的三個(gè)小問題目的明確，第一問讓學(xué)生復(fù)習(xí)平均數(shù)的求法，第二問回顧平均數(shù)的作用，第三問為本節(jié)課中位數(shù)新知識作鋪墊，三個(gè)問題以舊帶新，既回顧了上一節(jié)平均數(shù)舊知識，又引發(fā)了學(xué)生認(rèn)知沖突，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識埋下伏筆，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成學(xué)生課堂主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)趨力，保持學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的注意力。

二、實(shí)事求是——設(shè)計(jì)鑒別概念型問題，理解概念的內(nèi)涵和外延

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的主要元素，是數(shù)學(xué)問題解決的基礎(chǔ)，所謂正確地理解概念就是明確概念的內(nèi)涵和外延，認(rèn)識所學(xué)概念具有哪些本質(zhì)屬性，以及這一概念包含有哪些對象。沒有概念，整個(gè)數(shù)學(xué)知識體系將無法建構(gòu)，思維將無法進(jìn)行。因此數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)知識體系中有重要的地位，它的有效地獲得和掌握可以幫助學(xué)生在沒有直接經(jīng)驗(yàn)的條件下獲得抽象觀念，這樣獲得的觀念可以成為同化或發(fā)現(xiàn)新知的“固著點(diǎn)”，也可以成為學(xué)生在新情境下概念學(xué)習(xí)時(shí)分類的起點(diǎn)；同時(shí)，數(shù)學(xué)概念之間也可以組成具有潛在意義的命題，它充當(dāng)著知識網(wǎng)絡(luò)的“節(jié)點(diǎn)”。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對基本概念的理解與掌握，對一些核心概念要貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。

職員D的工資1200元，恰好居所有員工工資的“正中間”（恰有5人的工資比他高，有5人的工資比他低）我們稱它為中位數(shù)。11個(gè)員工中有4個(gè)人的工資為1100元，1100出現(xiàn)的次數(shù)最多，我們稱它為眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

學(xué)習(xí)了中位數(shù)和眾數(shù)的定義后，筆者設(shè)計(jì)以下課堂練習(xí)：

問題1：數(shù)組 2，3，4 ，5，6的中位數(shù)是_____。

問題2：數(shù)組 2，3，4 ，5，6，8的中位數(shù)是_____。

問題3：數(shù)組 22，13，34，15，16的中位數(shù)是____。

問題4：數(shù)組 x，6，8，10的中位數(shù)是8，則x=____。

問題5：數(shù)組 2，3，4 ，5，5 ，6 的眾數(shù)______。

問題6：數(shù)組 2，3，4 ，5，5 ，6，4的眾數(shù)______。

問題7：數(shù)組 92，96，98，y，100 的眾數(shù)是96，則y=______。

筆者在引入新概念后及時(shí)編擬了相應(yīng)的課堂練習(xí)，讓學(xué)生對照定義逐一進(jìn)行判斷與分析，問題1與問題2旨在讓學(xué)生鞏固中位數(shù)的概念，并分一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)或偶數(shù)個(gè)兩類情形分別落實(shí)，加深學(xué)生對中位數(shù)概念內(nèi)涵的理解。問題3說明了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)要先進(jìn)行排序。問題4則要進(jìn)行分類討論。通過3、4兩個(gè)問題揭示中位數(shù)概念的外延。將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。問題5一組數(shù)據(jù)只有一個(gè)眾數(shù)的情形。問題6一組數(shù)據(jù)有兩個(gè)眾數(shù)的情形。問題7要進(jìn)行分類討論。通過這兩個(gè)問題說明了一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè)或多個(gè)。及時(shí)鞏固中位數(shù)和眾數(shù)的概念，理解概念的內(nèi)涵和外延，以提高學(xué)生對概念的理解能力，從而加深了對知識的體驗(yàn)，促進(jìn)了技能的掌握。

三、殊途同歸——設(shè)計(jì)類比型問題，提高學(xué)生防止知識間的干擾能力

類比是根據(jù)兩個(gè)對象之間在某些方面的相同或相似，從而推出它們在其他方面也可能相同或相似，類比法是初中重要的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)中的許多定理、公式和法則是通過類比得到的，在解題中尋找問題的線索，往往也借助于類比方法，從而達(dá)到開啟思路的目的。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，當(dāng)我們的思維遇到障礙時(shí)，運(yùn)用類比推理，往往能實(shí)現(xiàn)知識的正遷移，將已學(xué)過的知識或已掌握的解題方法遷移過來，使得“柳暗花明又一村”。

問題：中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)三個(gè)特征數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系是什么？

聯(lián)系：都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表。主要描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。

區(qū)別：平均數(shù)：① 反映一組數(shù)據(jù)的平均水平 ；② 容易受極端數(shù)據(jù)的影響。

中位數(shù)：①不受極端數(shù)據(jù)的影響； ②不能反映所有數(shù)據(jù)的信息。

眾數(shù)： ①反映數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)； ② 不能反映所有數(shù)據(jù)的具體特征。

通過比較中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)三個(gè)特征數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生回顧已有的知識類比分析新知識特點(diǎn)，明確三個(gè)特征數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。準(zhǔn)確區(qū)分其差異之處，這樣既可以讓學(xué)生對已有平均數(shù)知識進(jìn)行鞏固，又可以通過類比討論，讓學(xué)生準(zhǔn)確地區(qū)分這三個(gè)特征數(shù)的特點(diǎn)，有助于學(xué)生澄清思維，明晰概念混淆點(diǎn)，提升學(xué)生辨析思維的能力。

四、循序漸進(jìn)——設(shè)計(jì)梯度型問題，培養(yǎng)學(xué)生探究精神

設(shè)計(jì)梯度型問題要有合理的層次和程序，具有良好的階梯性，即問題要由淺入深，由易到難，層層推進(jìn)，把學(xué)生的思維逐漸地引入新的高度和深度。為了使學(xué)生的探索有成就感、探索有持續(xù)性，問題之間的關(guān)聯(lián)必須要大，梯度必須小。否則學(xué)生不容易順著問題走向另一個(gè)高度，會(huì)極大地打擊他們的探索激情，不利于有效教學(xué)的開展。創(chuàng)設(shè)遞進(jìn)性問題要針對數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性、邏輯性和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，立足于學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)歷，防止過分抽象和概括的問題讓學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理；遞進(jìn)性問題要具有啟發(fā)性，緊密地圍繞主題，以從不同的側(cè)面與主題相聯(lián)系的問題串的形式出現(xiàn)，利用一定的變式問題，有利于學(xué)生拾級而上，較快地形成綜合能力。

圍繞中位數(shù)與眾數(shù)的應(yīng)用，筆者設(shè)計(jì)了易于學(xué)生獨(dú)立解決、有思維層次梯度的三個(gè)問題系列：

活動(dòng)1：在今年我校初三女生體育考試800米跑步中，抽得12名女生的成績?nèi)缦拢▎挝唬好耄?36，240，239，250， 234， 254，246， 245， 258， 265， 264， 248

（1）這12名女生成績的中位數(shù)是多少？

（2）一名女生的成績是242秒，她的成績?nèi)绾危?/p>

活動(dòng)2：澤國青青鞋店將在這次體育考試前向?qū)W生銷售女鞋，為此該鞋店抽查了參加體育考試的30位女生的鞋碼：

你能根據(jù)上面的數(shù)據(jù)為這家鞋店提供進(jìn)貨建議嗎？活動(dòng)3 ：如果該鞋店老板了解到參加這次體育考試所有女生運(yùn)動(dòng)鞋的尺碼情況，并制作了如下的統(tǒng)計(jì)圖。

你能求出所有女鞋尺碼的眾數(shù)與中位數(shù)嗎？

從活動(dòng)1直接呈現(xiàn)數(shù)據(jù)求中位數(shù)，到活動(dòng)2以表格權(quán)重形式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)求眾數(shù)，再到活動(dòng)3只用扇形圖比重呈現(xiàn)數(shù)據(jù)求中位數(shù)與眾數(shù)，三個(gè)活動(dòng)圍繞同一知識點(diǎn)求中位數(shù)與眾數(shù)，以數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式不同設(shè)計(jì)成符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的梯度型問題，層層遞進(jìn)，難度逐級提升，又能利用問題中知識關(guān)聯(lián)作為鋪墊，減少學(xué)生思維的突兀，降低思維的難度。這類設(shè)問既展示了知識的內(nèi)在聯(lián)系，又利用圖形及其變化降低了思維的難度，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思考方法，同時(shí)增強(qiáng)了學(xué)生的探索精神。

五、形散神不散——問題注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生對問題本質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的隱性的、抽象的觀念，是一種心智活動(dòng)方式。它是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在。重視數(shù)學(xué)思想方法的教育是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的需要，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教育的重要目的之一。重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，特別是在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和運(yùn)用知識解決問題能力、數(shù)學(xué)思維能力，使學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面有明顯的成效。而且，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，能有效實(shí)現(xiàn)學(xué)生在基本知識、基本技能和基本思想方法、基本體驗(yàn)過程等“四基”的同步發(fā)展。

在本節(jié)課的問題設(shè)計(jì)中，有多處體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的滲透，如

鞏固概念的練習(xí)4.數(shù)組 x，6，8，10的中位數(shù)是8，則

x=_____.

這一問題設(shè)計(jì)既強(qiáng)化了學(xué)生對中位數(shù)概念的理解，又滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想；

活動(dòng)1中：（2）一名女生的成績是242秒，她的成績?nèi)绾危?/p>

活動(dòng)2中：你能根據(jù)上面的數(shù)據(jù)為這家鞋店提供進(jìn)貨建議嗎？

這兩個(gè)問題設(shè)計(jì)的目的，就是讓學(xué)生體會(huì)用樣本估計(jì)總體這一統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想，讓學(xué)生在用樣本估計(jì)總體過程中理解中位數(shù)與眾數(shù)在日常生活中的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)以致用。

六、“問渠那得清如許？為有源頭活水來”——設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)開放問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

數(shù)學(xué)開放題，通俗地說就是給學(xué)生以較大認(rèn)知空間的題目。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識，這是一種新的教育理念的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)開放題教學(xué)是指教師根據(jù)學(xué)生的年齡、心理及認(rèn)知特點(diǎn)結(jié)合數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)際設(shè)計(jì)一些條件不具備、策略不唯一、答案不唯一的富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，并且在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，多層次探索，采用多種方法開展交流合作，進(jìn)行探究和實(shí)踐的教學(xué)活動(dòng)，從而轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在學(xué)生對中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)有了初步認(rèn)識后，筆者設(shè)計(jì)了三組問題：

問題一：我們學(xué)校打算下個(gè)星期舉行“繼承革命傳統(tǒng)，爭做四好少年”為主題的演講比賽，為此學(xué)校選出了10名同學(xué)擔(dān)任評委，請同學(xué)們制定合理的方案來確定每個(gè)演講者的最后得分

（學(xué)生給出的回答有：所有評委給分的平均數(shù)，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后計(jì)算平均數(shù)；所有評委所給分的中位數(shù)；所有評委所給分的眾數(shù)等等）

問題二：為了探究上述方案的合理性，假設(shè)已經(jīng)知道了某位同學(xué)的演講成績，并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，下圖是這位同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖：

請分別按上述方案計(jì)算這位同學(xué)演講的最后得分；問題三：根據(jù)（2）中的結(jié)果，請對各種方案進(jìn)行評價(jià)，你認(rèn)為哪種方案更合適，說出你的理由。

三個(gè)問題筆者都選擇了開放性問題，開放性問題的設(shè)置增強(qiáng)了問題的探索性和思維的深刻性，給學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)提供了寬松、自由的環(huán)境，為學(xué)生提供了更多的交流與合作的機(jī)會(huì)，為充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用創(chuàng)造了條件，這三個(gè)問題也為這節(jié)課的內(nèi)容作了相應(yīng)的延展，為下一節(jié)課平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)綜合運(yùn)用教學(xué)作了鋪墊，促進(jìn)了知識與方法的內(nèi)化與梳理，讓學(xué)生重構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的樂趣，從而提高課堂教學(xué)效率。

設(shè)計(jì)有效問題并正確運(yùn)用是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的關(guān)鍵。有價(jià)值的問題是一堂課的“靈魂”，有效問題的設(shè)計(jì)和運(yùn)用決定著教學(xué)的方向，關(guān)系到學(xué)生思維活動(dòng)開展的深度和廣度，直接影響著課堂教學(xué)的效果。我們應(yīng)該優(yōu)化課堂問題設(shè)計(jì)，追求高效數(shù)學(xué)課堂，拓展教師與學(xué)生的發(fā)展空間，使我們的課堂充滿活力。

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