一種基于分段冪函數(shù)插值法的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法及其應(yīng)用研究

毛 博，高 斐，孟 軍

（軍械工程學(xué)院電工電子實(shí)驗(yàn)中心，河北 石家莊 050003）

0 引 言

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，EMD）是近年發(fā)展起來的一種適于處理非線性、非平穩(wěn)信號的分析方法[1]，被認(rèn)為是對以傅里葉變換為基礎(chǔ)的線性和穩(wěn)態(tài)譜分析的重大突破，在機(jī)械故障檢測方面得到了良好應(yīng)用[2-3]，其克服了傳統(tǒng)小波分析方法的不足，是具有良好自適應(yīng)性的信號處理方法。但EMD方法的分解效果取決于包絡(luò)線生成算法，傳統(tǒng)EMD方法存在分解不完全的缺點(diǎn)[4]；為此，提出一種基于分段冪函數(shù)插值法的改進(jìn)EMD算法。改進(jìn)后的EMD算法采用分段冪函數(shù)插值法替代原算法中的三次樣條插值法求解包絡(luò)線，并將改進(jìn)的EMD算法和時(shí)間序列分析中的AR模型相結(jié)合應(yīng)用于電磁換向閥的故障診斷。

1 一種新的包絡(luò)線生成算法

EMD算法中的包絡(luò)線生成是決定分解效果的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，包絡(luò)線生成不準(zhǔn)確將導(dǎo)致信號的EMD分解不完全。目前，常用的三次樣條插值法求解包絡(luò)線要求信號足夠光滑，否則差值得到的函數(shù)可能越過原本應(yīng)是極值點(diǎn)的信號點(diǎn)；因此，本文采用分段冪函數(shù)插值法來生成包絡(luò)線。

三次樣條插值法的原理如下：

記所有插值點(diǎn)為P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），插值函數(shù)為y=f（x）。對任意3個(gè)相鄰點(diǎn)Pi-1（xi-1，yi-1），Pi（xi，yi），Pi+1（xi+1，yi+1）進(jìn)行冪函數(shù)插值為

當(dāng)x≤xi時(shí)，插值函數(shù)fi（x）滿足

當(dāng)x≥xi時(shí)，插值函數(shù)fi（x）滿足

用fi（x），fi+1（x）重新插值以得到Pi（xi，yi），Pi+1（xi+1，yi+1）之間的分段冪函數(shù)插值曲線為

2 基于分段冪函數(shù)插值法的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

2.1 基本原理

EMD方法能把非平穩(wěn)、非線性信號分解成有限個(gè)瞬時(shí)頻率有意義的、幅度或頻率受調(diào)制的高頻或低頻的本征模態(tài)函數(shù)（IMF）。所謂本征模態(tài)函數(shù)，是滿足以下兩個(gè)條件的信號[5-6]：

（1）整個(gè)信號中零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相等或至多相差1。

（2）由局部極大值點(diǎn)確定的上包絡(luò)線和由局部極小值點(diǎn)確定的下包絡(luò)線的均值為0，即信號關(guān)于時(shí)間軸局部對稱。

基于分段冪函數(shù)插值法的EMD步驟為：

（1）確定出 x（t）所有局部極值點(diǎn)，然后通過分段冪函數(shù)插值算法將所有的局部極大值點(diǎn)和局部極小值點(diǎn)連接起來形成上、下包絡(luò)線，包絡(luò)線應(yīng)該包絡(luò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

（2）計(jì)算上、下包絡(luò)線的平均值曲線m1（t），用x（t）減去m1（t）得到h1（t）：

判斷h1是否滿足IMF條件。若不滿足，則把h1（t）作為原信號重復(fù)上面的步驟，得到h11（t）：

再判斷h11是否滿足IMF條件。若不滿足，則反復(fù)篩選k次直到h1k（t）變?yōu)橐粋€(gè)IMF，即

記 c1=h1k，則 c1為信號 x（t）的第 1 個(gè)滿足 IMF條件的分量。

（3）將信號 c1從 x（t）中分離出來，得到

將 r1作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)步驟（1）、步驟（2），得到x（t）的第2個(gè)滿足IMF條件的分量c2，重復(fù)循環(huán)n次，得到信號x（t）的n個(gè)滿足IMF條件的分量：

式中：rn——?dú)堄嗪瘮?shù)，代表信號的平均趨勢。

2.2 實(shí)例分析

電磁換向閥是液壓系統(tǒng)中一種重要的控制元件，若其出現(xiàn)故障，將嚴(yán)重影響液壓系統(tǒng)的正常運(yùn)行。采集電磁換向閥工作時(shí)的壓力信號進(jìn)行EMD分解，取得本征模態(tài)函數(shù)。分別用EMD算法和本文改進(jìn)后的EMD算法對正常時(shí)壓力信號進(jìn)行分解，結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同插值算法對EMD分解效果的影響

由圖1可以看出，信號經(jīng)改進(jìn)EMD算法分解后得到9個(gè)IMFs，而經(jīng)原EMD算法分解只得到6個(gè)IMFs，說明改進(jìn)EMD算法分解的層數(shù)更多，效果更好；圖1（a）中代表信號趨勢的殘余分量res比圖1（b）中的res單調(diào)趨勢更為明顯，說明改進(jìn)的EMD算法對信號的分解更為徹底。

3 改進(jìn)EMD算法和AR模型在電磁換向閥故障診斷中的應(yīng)用

3.1 基于改進(jìn)EMD算法的電磁換向閥壓力信號分解

電磁換向閥是液壓系統(tǒng)中一種重要的控制元件，若其出現(xiàn)故障，將嚴(yán)重影響液壓系統(tǒng)的正常運(yùn)行，故對其故障診斷進(jìn)行研究具有重要意義。電磁換向閥的故障信息會在閥體工作時(shí)的壓力信號中表現(xiàn)出來，故采集其壓力信號進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)中，人為設(shè)置電磁換向閥的 3種故障：（1）閥芯卡死；（2）閥芯磨損；（3）復(fù)位彈簧變形。

首先采用本文提出的改進(jìn)EMD算法對各種狀態(tài)下采集到的壓力信號進(jìn)行分解，取得本征模態(tài)函數(shù)。各種狀態(tài)的壓力信號都可以分解成若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)，狀態(tài)不同，對應(yīng)的各階模態(tài)和模態(tài)階數(shù)也有所不同。由于EMD方法分解出來的IMF是頻率由高到低逐漸變化的，而電磁換向閥壓力信號的主要信息集中在高頻段；因此，只需對分解得到的包含主要信息的IMF分量進(jìn)行分析即可。圖2給出了電磁換向閥正常工作和發(fā)生故障時(shí)的壓力信號及前3階模態(tài)函數(shù)IMF1-IMF3。

3.2 AR模型系統(tǒng)辨識

在時(shí)間序列分析中，AR模型是最基本、實(shí)際應(yīng)用最廣的時(shí)序模型，其模型參數(shù)凝聚了系統(tǒng)狀態(tài)的重要信息[7]。對于時(shí)間序列 x（t）（t=1，2，…，N），其AR模型系統(tǒng)函數(shù)為

式中：n——模型階數(shù)；

φi（i=1，2，…，n）——自回歸參數(shù)；

at——?dú)埐顫M足均值為0，方差為σ2的獨(dú)立正態(tài)分布。

同時(shí)，大量研究表明，AR模型的自回歸參數(shù)和殘差方差對狀態(tài)變化規(guī)律反映最為敏感，因此采用AR模型的自回歸參數(shù)和殘差方差作為特征向量來分析系統(tǒng)狀態(tài)變化十分有效[8]。

得到電磁換向閥各工作狀態(tài)的IMF分量后，對其建立AR模型。要建立各IMF分量的AR模型，首先應(yīng)進(jìn)行定階運(yùn)算。基于均方誤差最小的最終預(yù)測誤差（final prediction error，F(xiàn)PE）準(zhǔn)則是確定 AR 模型階次比較有效的準(zhǔn)則，在準(zhǔn)則函數(shù)取得最小值時(shí)的模型為適用模型。圖3為對正常狀態(tài)時(shí)的前3個(gè)IMF分量采用FPE準(zhǔn)則進(jìn)行定階運(yùn)算的結(jié)果。

由圖3得到各IMF分量階次依次為36，19，13。實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)的狀態(tài)主要由前幾階的自回歸系數(shù)和殘差方差決定，為減少計(jì)算量，選擇前5階自回歸參數(shù)φi（i=1，2，3，4，5）和殘差方差ei作為特征向量[9]。表1列出了4類狀態(tài)下前3個(gè)IMF分量的特征向量。

圖2 電磁換向閥各工作狀態(tài)下的EMD分解結(jié)果

為驗(yàn)證所提取特征向量的有效性，采用Mahalanobis函數(shù)來對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)識別[10]。ai表示被診斷信號第i個(gè)IMF分量的特征向量的加權(quán)系數(shù)。通過分析，發(fā)現(xiàn)在加權(quán)系數(shù)a1=0.4，a2=0.3，a3=0.3的情況下計(jì)算結(jié)果對故障的分辨率最為敏感，此時(shí)識別結(jié)果最為準(zhǔn)確。表2列出了8個(gè)不同信號的分析結(jié)果，可以看出，識別結(jié)果與實(shí)際完全一致，從而驗(yàn)證了該方法可以有效提取電磁換向閥的故障特征。

圖3 IMF分量定階曲線

表1 電磁換向閥各工作狀態(tài)下的特征向量

4 結(jié)束語

針對EMD算法分解的不充分，提出了基于分段冪函數(shù)插值的改進(jìn)EMD算法。實(shí)例證明，改進(jìn)后的EMD算法對信號的分解效果更充分完全。將改進(jìn)算法EMD和AR模型相結(jié)合應(yīng)用于電磁換向閥的故障診斷，對閥體壓力信號經(jīng)EMD分解后得到IMF分量，對各分量建立AR模型，提取模型參數(shù)作為特征向量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠正確有效地實(shí)現(xiàn)電磁換向閥的故障診斷。

表2 測試信號分析結(jié)果

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