數學教育中的隱喻研究

謝圣英 ，喻 平

（1．南京師范大學 課程與教學研究所，江蘇 南京 210097；2．長沙理工大學 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410004）

近年來，國外學者開始越來越多地關注隱喻在數學教育中的重要作用（Pimm，1981；Presmeg，1992；Sfard，1994，2000；Nú?ez，Edwards & Matos，1999；Lakoff & Nú?ez，2000；Nú?ez，2000；Bazzani，2001；Robutti，2006；Edwards，2009；?zgünkoca S. Asli，2010 et al）[1~11]．“隱喻與數學教育”也是2005年歐洲數學教育研究學會第四次代表大會的討論主題之一．但目前國內相關研究很少．為了更全面地了解并深入研究數學教育中的隱喻，研究者嘗試從認知心理學基礎、數學觀和數學教育觀3方面對其加以剖析．

1 隱喻的認知心理學基礎

傳統隱喻理論認為，隱喻是一種語言的修辭現象，它通過“A是B”的表達方式傳遞比直接表達更豐富的含義．而現代認知理論視角下，隱喻是一個深層的認知機制．Schon（1979）指出，隱喻可以被看作理解“我們如何思考、如何認識現實的意義以及看待事物的觀點或方法”[12]的一種方式．美國隱喻研究專家Lakoff & Johnson（1980）認為，“隱喻植根于經驗知識之中，它們（至少部分地）形成了我們做什么、以及如何理解我們正在做的事情的一種結構．”[13]

Lakoff將隱喻解讀為“用一種事物來理解另一種事物”（understand one thing in terms of another）．這也是目前絕大多數研究者對隱喻的認知功能所達成的共識．此時，“隱喻”特別需要和心理學中的“遷移”加以區分．首先，隱喻具有“A是 B”的表達方式，這是它與遷移相區別的最明顯標志．其次，“遷移”是指“一種學習對另一種學習的影響”[14]，它通常發生在學習過程中的兩種學習之間；而隱喻中的A、B卻不一定都是學習過程中的概念或事物．比如“定義域是盛著點的容器”這個隱喻（后文還會介紹），“容器”并不是數學領域中的事物或概念，它甚至和學習沒有什么必然聯系．“隱喻”本源上屬修辭手法，因其相似，才能構成隱喻；因其不同，隱喻才有意義．另外，遷移的實質是新舊經驗的整合，整合可通過3種方式實現：同化、順化和重組[15]；而隱喻的目的是生動形象，深入淺出，把不知或難知的事物或概念等變得能知或易知，它不需將事物或概念等做任何改變．

“隱喻是從源域（source domain）到靶域（target domain）的映射，即用我們熟悉的、已知的或具體的東西去理解不熟悉的、有待理解的或抽象的東西．如果窮根溯源，人們最初熟悉的事物是什么呢？這就是我們的身體．我們的身體以及身體同世界的互動提供了我們認識世界的最原始概念．以這些身體中心的原型概念為基礎，我們發展出其他一些更抽象的概念．”[16]傳統的心智身體二元論認為心智可以離開身體而加以研究．具身認知心理學（embodied cognition psychology）則強調人類經驗的重要性、人類身體的中心地位、人類特有的認知結構和組織的作用．具身認知的中心含義就是指身體在認知過程中發揮著關鍵作用，認知是通過身體的體驗及其活動方式而形成的．所以，隱喻是身體、大腦、經驗和心智的產物．具身認知理論為隱喻特別是身體隱喻（bodily metaphor）提供了至關重要的認知心理學理論基礎．由于隱喻連接了許多身體知覺，它們對于人們建構數學實體的意義很重要．“大量非常基礎，同時又非常復雜的數學思想在本質上是隱喻的．”[6]Sriraman and English（2005）在他們的數學教育研究理論框架調查中也談到了具身認知理論的重要性[17]．

2 隱喻的數學觀

2.1 隱喻的數學觀是什么

探討隱喻的數學觀就是從隱喻的視角思考“數學是什么”．換言之，在“隱喻能增進數學思想的理解，促進數學教與學”的觀點持有者眼中，數學的本質究竟是什么？

在隱喻的觀點下，數學是一個隱喻網絡．數學的隱喻網絡是由基礎隱喻（grounding metaphor）和連接隱喻（linking metaphor）這兩種類型的隱喻聯結而成的．那么，什么是基礎隱喻，什么是連接隱喻呢？Lakoff & Nú?ez（2000）根據隱喻與數學的關系，區分了它們：基礎隱喻將數學外的源域（如實物）同數學中的靶域（數學概念或意義）相聯系；而連接隱喻中的源域和靶域均屬于數學領域中，它只是在數學的不同分支領域間交換性質[6]．“容器”這個意象圖式（image schema）可以作為理解其它更加的抽象概念（如函數的定義域）的源域．于是，構成了基礎隱喻——“定義域是盛著點的容器”（見圖 1）．連接隱喻如“一重積分是面積”，它則將屬于數學中不同分支的微積分（積分）和平面幾何（面積）聯系起來．又如“數學是建筑”，意味著數學是這樣一門課程：必須好好學習基礎知識才能為進一步的學習提供強有力的支持．此時，“數學是建筑”這個隱喻的映射源域是“建筑必須有好的地基，才能一層一層往上蓋”．當然，有的人也可以用完全不同的隱喻表達（metaphor expressions）來理解這個隱喻，如建筑上的門窗、建筑內的裝飾等的隱喻意義．所以，隱喻具有單一與系統相結合的二重性（unitarysystemic duality）．一方面，隱喻的形式單一（“A是B”）；而另一方面，隱喻表達卻是多樣的，隱喻讓人們產生一個實踐系統（系統論的觀點）通過源域來了解靶域（見圖2）．

圖1 定義域是盛著點的容器

Mowat & Davis（2010）關注數學概念的具身化性質以及它們對隱喻的依賴，提出了數學是隱喻網絡的觀點，并且利用拓撲網絡理論研究了數學概念之間的聯系，探討了支撐具身化數學（embodied mathematics）的隱喻網絡結構．在這個網絡結構中，源域或數學中的概念域（conceptual domain）表示為網絡中的結點，而基礎隱喻或概念隱喻（conceptual metaphor）則在源域與概念域間或各概念域間提供聯結．當靶域為數學概念時就形成了數學概念隱喻網絡，可以用圖3來表示數學概念隱喻網絡系統的某個局部．

圖2 描述隱喻的構成及來源（Font, Bolite & Acevedo, 2010）

圖3 數學的概念隱喻網絡系統局部示意圖

其實，在隱喻的觀點下，數學不僅是一個隱喻網絡，它還是一個復雜系統（complex system）．Mowat & Davis（2010）不僅提出了數學是隱喻網絡的觀點，還將數學中的這個隱喻網絡同復雜系統的10條性質進行了逐一比照論證之后認為“數學是一個復雜系統”．他們對數學隱喻網絡的分析提供了這種對數學知識的解釋的合理性證據，研究結果發現數學的隱喻網絡呈現出嵌套形式（nested forms）和無標度拓撲結構（scale-free topology），這是一個典型的復雜系統[18]．復雜系統特征是元素數目眾多，而且其間存在著強烈的耦合作用．復雜系統由各種小的系統組成，例如，生態系統是由各個種群，各種生物組成的．生態系統是復雜系統的一個很好的例子．限于篇幅，在此不會對復雜系統的具體性質作詳細、深入地介紹．但是，這里特別強調——數學這個復雜系統是開放和發展的．這個“復雜系統的網絡”不應是“追蹤（tracing）”而是“地圖（map）”．“追蹤”就像一棵樹，它通過獲得基因在枝葉中復制相同的部分來生長，而“地圖”則處于不斷變化的狀態，圖中每個部分都不完全相同．正如Deleuze & Guattari（2007）所描述：“一個‘地圖’在它的所有維度上是開放和可連接的；它是可拆卸的，可逆的，容易不斷修改的．”[19]也就是說，數學這個復雜系統是開放的，充滿了各種連接并不斷地變化發展．

總而言之，在隱喻的觀點下，數學就是一個由數學的概念或意義同數學之外的實物或經驗之間、數學概念或意義之間形成的復雜的隱喻網絡系統．主張數學是一個復雜網絡系統是很有價值的．Ernest（2010）認為將數學看成復雜系統，可以使學習者擺脫必須經歷的嚴格的學習階段順序（如皮亞杰的認知發展階段論）．在復雜系統的模式下，數學教與學同思想能夠復合成為一個概念、表征、記憶等構成的互聯的網絡．

2.2 隱喻的數學觀反思

不同時代的哲學家、數學家和數學哲學家從不同角度對“數學”的含義提出了不同的理論和觀點．譬如Wittgenstein（1978）提到“斑駁混雜的數學”就承認了數學含義的多樣性．數學是一個有組織的知識體、數學家從事的活動、一門學校科目、一個多義的文化體，以及一種語言和在許多不同場合使用的概念工具盒[20]．Ernest（2010）認為：“僅僅它的名字（mathematics）就不明確，因為它是用一個復數詞來命名一個單獨實體．”[19]隱喻的數學觀從一個獨特的經驗論和系統論相結合的視角揭示了數學的本質和內在規律性，但它同時也不可避免地遭遇了一些質疑或否定．其中，以對身體隱喻的數學觀的反思尤為突出：

首先，隱喻的數學觀認為，“所有人類活動，包括做數學和學數學本質，都是人的身體運動”．譬如“化簡代數方程是一種身體運動”，支撐化簡代數方程的基本意義是建立在身體運動基礎上的，平衡可以從兩手分別向上托住秤盤力量中獲得身體感受，解方程中的操作只有當他們在平衡的兩端執行相同行為，即雙方保持一致時才湊效．對此，Ernest（2010）提出了異議：“一致性判斷不是照字面上的”[19]，數學活動應當看作是符號系統內部的記號運算．符號系統是由3個部分組成：一個符號集、一套符號的使用和生產規則、一個潛在的意義結構來結合這些符號和規則之間的關系．據此，對于一個初等代數的符號體系，平衡隱喻體現在支撐符號“=”的含義及其操作規則的意義結構（如反身性，對稱性，傳遞性）中，而不是平衡的身體隱喻．隱喻在數學中的地位和更普遍的意義應當在潛在意義結構中被發現，而這潛在意義結構本身就是一個網絡系統．

其次，由于基礎隱喻（見圖3）常常被形象地看成是支撐整個數學概念（意義）體系的隱喻腿（metaphor leg），而身體隱喻屬于基礎隱喻中的一類（它將數學外的身體體驗和活動方式同數學概念或意義聯系起來），所以隱喻的數學觀主張身體隱喻是基本型，它可作為數學領域中其它意義形式的基礎．許多學者認為這是過分絕對化、夸大了的論斷．盡管Nú?ez（2005，2008）提供了無限逼近、超窮基數、連續函數等的一些高等數學概念中使用隱喻的例子[21~22]，Mason（2010）還是指出“很多數學中的概念包含了隱喻（傳遞意義），但它也有心理和邏輯等其它成分在其中起作用”[23]．僅僅建立在簡單地觀察集合和函數的作用而得到的論斷不管用，對于更加復雜的數學結構，比如科赫雪花曲線、希爾伯特填充曲線（它們的尺寸是正實數而不是整數，而且巧妙地運用了超窮基數），通常不那么容易找到它們直接的具身基礎．McGowena & Tall（2010）也認為，雖然隱喻的一般概念可能為數學思想提供深入的分析，但更重要的是要考慮到個人的“前見”（met-before）．“前見”將經驗建構的個體特殊心理結構提供給個體，可是“前見”并不一定直接建立在身體隱喻之上[24]．“不是所有隱喻都能被肢體動作捕獲，同樣，也不是所有的肢體動作都通過隱喻來發揮符號功能．將肢體動作作為所有數學概念的隱喻基礎，是將潛在洞察力延伸得太遠”[19]．事實上，身體隱喻僅是皮爾斯的符號三元組合分析（icon，index and symbol）中的一元（相似表象）的一部分．皮爾斯的相似模式包含了各種形式的隱喻和類比，大大超出了Lakoff & Nú?ez（2000）強調將身體隱喻作為數學的基礎．

此外，有研究者對隱喻為更成熟概念提供基礎的觀點提出了批評，認為隱喻不夠精確、不夠可靠，依賴隱喻是心靈偷懶的表現．如“Bachelard Gaston將常識性心靈對直觀形象的依賴看作是滋生認識論障礙的溫床……[這些]往往沒有明確制定約束條件，而只是在潛隱的假設、認知或知覺習慣層次進行操作”[19]．同時還有研究指出，隱喻派生的不成熟的觀念，有可能會導致對數學概念的錯誤理解．如郜舒竹等（2011）發現數學術語中，通常是用詞語的一般日常意義隱喻其數學意義，這種隱喻存在著指稱對象模糊或變異等隱喻歧義的現象[25]．

3 隱喻的數學教育觀

迄今為止，關于什么是數學教育觀，一直沒有一個統一的說法[26]．但是，研究數學教育中的隱喻又確有必要將隱喻的數學教育觀予以澄澈．不妨從隱喻觀點下的教育目的、教育方法入手，對隱喻的數學教育觀進行一番檢視．

3.1 隱喻的數學教育目的觀

在隱喻觀點下，數學教育的目的就是要改變數學封閉、冰冷的面貌，培養和激發學生的數學想象力和數學直覺．讓每一位學生都學會通過熟悉的事物、相似的情境和已有的經驗來學習和親近數學，學會用普遍聯系的觀點、態度和方法觀察和處理現實世界中的數量關系和空間形式的有關問題；讓教師可以透過隱喻深入剖析學生個人的一些數學錯誤和困難的認識根源，甚至體會學生的數學情感、態度和價值觀，反思和改進自己的教學．

一方面，不僅教師可憑借隱喻實現深入了解和指導學生的個體知識（或稱緘默知識、默會知識）的愿望，隱喻還能幫助數學教育工作者之間、師生之間交流和反思課堂上產生的集體知識和課本中的公共知識．因為隱喻網絡的無標度拓撲結構能清楚地顯示學生學數學和用數學的困難原因，而且保證數學概念同許多源域有隱喻連接，還能促進學生對數學的理解．總之，無論是作為個人理解的數學，還是作為一個正式的學習領域的數學，分析它們的隱喻網絡結構都可以為人們提供一些新的見解或啟示．

另一方面，讓教師或學生用隱喻描述他們對數學的看法和觀點，并讓他們解釋自己的隱喻，這為研究者和教師觀察和研究學生的情感領域，教師或學生停下來反思和調試自己的情感、態度和價值觀提供了很獨特的機會．有研究者（Noyes，2006；Reeder，Utley & Cassel，2009）運用隱喻理論探索了職前數學教師的數學觀和教學觀[27~28]．楊光偉等（2006）將小學生構建“數學是什么”的隱喻分類，歸納了學生的3種主要數學觀念，并發現學生使用的隱喻與他們提出的數學學習建議之間存在一定關聯[29]．?zgün-Koca（2010）使用隱喻研究比較了初中生、高中生和大學生的數學情感和態度以及產生該情感傾向的原因[11]．此類研究比較多，類似的還有Schinck等（2008）的研究[30]．

3.2 隱喻的數學教育方法

首先，教師不要一下子引入太多的隱喻，因為這樣有可能使學生對它們產生混淆．但是，一門課程或者一個單元的教學里，教師應當保證使用一定量的各種隱喻．這些“隱喻要精挑細選，學生要很熟悉隱喻的源域，而且隱喻要精確地反映靶域結構的某些方面”[31]．如果運用成功，概念隱喻甚至可以達到無意識和自動化的程度．但在此之前，學生必須對此有足夠的經驗．教師可以提供活動、形象、模型和解釋來促成隱喻的使用和理解．如學習負數的運算時，課堂和課本上經常使用的概念隱喻——“計算是沿著一條路徑運動”以數軸和溫度計作為隱喻的源域．甚至有研究認為學生理解數學模型、數學文字題就有隱喻式思維的參與[32~33]．

另外，運用隱喻需要特別地努力整合不同的推理結構，使之成為一個有機的整體．不同的隱喻有自己不同的推理結構和隱喻表達，它會“導致學生產生有意識或無意識的各種信念，從而阻礙他們將靶域的不同方面整合成一個核心概念”[34]．Nú?ez，Edwards and Matos（1999）研究學生在學習函數的連續性產生困難的原因，發現其中使用了兩種互相沖突的隱喻；盡管這兩種隱喻反映的是相似，甚至相同的數學術語，但是這些聯結擁有完全不同的具身基礎[5]，由于學生們很少被告知這種區別，從而導致了該學習困難的產生．

最重要的是，要幫助數學教師理解隱喻在數學教育中的作用并輔助他們發展教學技能；此外，還需要幫助教師增加連接數學概念和意義的各種各樣的隱喻．做到這點并不容易，因為目前數學隱喻的研究還不夠廣泛，而且隱喻的識別需要教師對語言、動作、形象、比較和應用等保持敏感地關注．為了更好地運用隱喻來理解數學，數學教師需要提取這些細微的跡象，識別隱藏的隱喻，并和學生一起分享它們．有研究者觀察高中數學教師在教函數的圖像表征時的課堂語言和動作，發現存在4種不同的隱喻類型，但是教師們并沒有意識到自己使用了隱喻[35]．Abrahamson，Gutiérrez &Baddorf（2012）研究分析了就某個數學問題一對一訪談學生時產生的3個隱喻：蛇形、波濤和漣漪、機器人，發現隱喻具有獨特性、即興性和松散性．在學生探究數學的過程中努力地類比時，教師要敏感地及時引導[36]．

3.3 隱喻的數學教育觀反思

從前文的分析中不難發現，隱喻的數學教育觀應當可以認為屬于社會建構主義的數學教育觀．雖然社會建構主義的數學教育觀把數學學習或意義的獲得看成是個體自我建構的過程，但它更關注社會性的客觀知識在個體主觀知識建構中的中介作用，更重視社會的微觀和宏觀背景與自我的內部建構之間的相互作用，并視它們為不可分離、循環發生、彼此促進、統一的社會過程．“社會建構主義其實并不是什么‘主義’而是一種對知識的新的研究方式……社會建構主義主要研究知識的生產過程．”[37]隱喻的數學教育觀正是這樣一種社會建構主義的教育觀，它提醒人們要在數學知識的生產和社會建構的過程中理解數學教育．隱喻恰好可以是社會性客觀知識與個體主觀知識之間聯結的紐帶．以隱喻為中介的數學教育可以為客觀知識和主觀知識之間、主觀知識與主觀知識之間提供互動和交流的舞臺．

需要特別強調的是，隱喻的數學教育觀和數學觀是緊密聯系在一起的．在隱喻的觀點下，產生的對數學本質的經驗論和系統論相結合的認識，以及對數學隱喻網絡系統的開放和發展的理解；這些都直接決定了關注數學知識的社會構建、打破封閉的數學“硬殼”的教育目的的確立；也直接影響了建立數學與個人體驗及生活情境的廣泛聯系、注重數學交流和分享的教育方法的選擇．誠然，除了數學觀之外，還有許多因素制約著隱喻的數學教育觀，例如廣泛而普遍的社會文化心理、主流社會價值取向以及傳統教育思想等，都會對數學教育價值觀產生一定影響，但不能否認隱喻的數學觀同隱喻的數學教育觀的形成與發展有十分重要的關聯．

應當承認，隱喻可以被比作一把雙刃劍．特別是隱喻這種獨特的、想象的結構可能在教學對話中被濫用，因為它比傳統的教學需要給予更多的專注、個性化的腳手架和時間的投入．此外，對于隱喻在數學教育中的實際作用，特別是，究竟“先隱喻后理解”還是“先理解后隱喻”還存有疑慮．“學習者不一定能將不同的表象模式整合為一個唯一的核心概念．從使用建構好的具體材料和教具的經驗中生成出抽象概念，這是一個數學教育中的老生常談，與其說它是一個已證明的發現倒不如說是一種信仰．”[19]已有研究也表明學習者總是無法將同一個概念的不同表征聯系起來，如Hart（1989）研究發現，雖然學者們可能會看到隱喻連接不同的活動，孩子們卻常將隱喻連接的兩個活動看作無關的、具有獨立的意義和程序規則的活動[38]．“這有可能是不強調不同表征間的聯系和共同結構的糟糕的教學計劃所導致的后果，但這也可能歸咎于一個更為深層的問題，即為學習者提供兩種人們認為擁有共同結構的表征，并期待學習者發現這兩個表征之間的聯系，特別是當其中一個表征更抽象而另一個表征更具體，這可能犯了期待學習者提前去使用他們仍在建構過程中的抽象概念的錯誤．也許直到這個概念已經在腦海中形成，人們才能看到作為一個抽象概念的隱喻的具體情形．如果是這樣，那么在數學教育中使用隱喻的建構素材就存在嚴重的缺陷．”[19]Ernest（2010）的這一評論可謂切中要害，這也同時解決了進一步研究數學教育中隱喻的可能性和必要性．

隱喻由原本屬于語言學領域的一種修辭現象進入認知心理學領域，它與具身認知理論的聯系十分密切，并且在數學教育領域中獲得了越來越多的關注和應用．通過剖析隱喻的數學觀和數學教育觀，可以較為本質地理解隱喻在數學教育中的地位和作用，發現隱喻作為一種數學教學和數學教育研究的工具，能發揮其它方法所不可替代的獨特功能和輔助作用．隱喻似一縷溫暖和煦的春風，它給注重精確、邏輯、抽象和理性的嚴冬帶來了想象、創造、體驗和熱情的活力．毋庸置疑，這為當前的中國數學教育改革也提供了重要的啟示和借鑒．

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