關節柔性的漂浮基空間機器人基于奇異攝動法的軌跡跟蹤非奇異模糊Terminal滑模控制及柔性振動抑制

梁 捷 ，陳 力

(1.福州大學 機械工程及自動化學院，福州 350108;2.中國空氣動力研究與發展中心，綿陽 621000)

空間機器人因其在衛星維修和回收、航天器維護和修理、空間站的構建和裝配，以及代替宇航員執行危險任務中發揮的重要作用而受到人們的廣泛關注，有關空間機器人系統動力學控制研究也受到各國研究人員的密切重視，并已取得了一定的成果［1-16］。隨著空間技術的發展對空間機器人的要求越來越高，柔性空間機器人因其反應速度快、效率高、執行機構少、質量輕、成本低等優點而備受關注。但值得關注的是，大多數的研究僅僅考慮了空間機器人系統結構中柔性臂的存在［1，9］，卻忽視了關節柔性的存在，即:機械臂與裝備在關節處的驅動機械臂運動的電機之間不存在絕對剛性的連接，這使得機械臂的關節也呈現出柔性的特征。對空間機器人來說，關節柔性一方面可以緩沖空間機器人在運動過程中發生的意外碰撞，降低空間機器人的損傷。另一方面會導致機械臂的轉動與驅動其運動的電機轉子的轉動角度之間存在著轉動誤差，從而影響到控制系統的精度;同時，關節的柔性特性還會導致機械臂在高精度和高速的運動過程中產生振動。因此，若在漂浮基空間機器人系統動力學建模和控制方法設計過程中忽略關節柔性的存在，其控制精度和穩定性將受到很大影響。雖然目前已有科研人員對關節柔性系統進行了研究［17］，但多數的研究是針對關節柔性的地面機器人的，而針對關節柔性空間機器人的研究還比較少。尤其對于關節柔性的漂浮基空間機器人系統，其本體呈現自由漂浮的狀態，系統結構具有強耦合性和非線性，這使得慣常應用于關節柔性的地面機器人的一些較成熟的控制方法難以得到直接應用于推廣。同時，受到負載變化、參數攝動、燃料消耗等不確定因素的影響，漂浮基空間機器人系統的動力學模型往往是不確定的。因此，對關節柔性的漂浮基空間機器人的研究難度更大、挑戰性更高。

基于以上情況，本文針對具有關節柔性和不確定系統參數的漂浮基空間機器人系統，建立其動力學模型，并利用奇異攝動理論的雙時間刻度分解，將系統分解為相對獨立的表示系統剛性運動的慢時標子系統和表示系統柔性運動的快時標子系統。分別針對兩個子系統設計相應的控制方案來保證系統的控制精度和穩定性。

1 關節柔性的漂浮基空間機器人系統動力學奇異攝動模型

不失一般性，以做平面運動且本體位姿均不受控制的關節柔性漂浮基空間機器人系統為例，幾何模型如圖1所示。該系統由自由漂浮的空間站本體W0，兩個彈性關節Oi(i=1，2)和兩個剛性機械臂W1、W2及剛性機械臂W2末端爪手抓持著的剛性載荷WP組成。

建立慣性坐標系(OXY)及分體Wi(i=0，1，2)的連動坐標系(Oixiyi)，并假設系統沿(X，Y)平面作平面運動;此外，圖中q0為空間站本體姿態的實際轉角，qai(i=1，2)各關節驅動電機的實際轉角，qi(i=1，2)為連桿Wi的實際轉角。

圖1 關節柔性的漂浮基空間機器人系統Fig.1 Free-floating space robot with flexible joints

文中所使用的符號約定如下:m0、I0、l0分別為本體的質量、轉動慣量及其質心到第1個關節鉸中心的距離;mi、Ii、li分別為剛性機械臂 Wi(i=1，2)的質量、轉動慣量及其長度;mP、IP分別為末端剛性載荷WP的質量及轉動慣量;由于載荷WP是由機械臂W2末端爪手抓持著，因此可將機械臂W2與載荷WP看成一聯合體，該聯合體的總質量和總轉動慣量為m2P、I2P;Iai為柔性關節i(i=1，2)驅動電機的等效轉動慣量、Ki(i=1，2)為各關節鉸的扭轉剛度;r0、r1分別為載體及連桿1質心的位置矢量，r2為連桿2與末端負載聯合體質心的位置矢量，rC、rP分別為系統總質心及負載質心的位置矢量。各分體Wi(i=0，1)的轉動角速度為vi，機械臂W2與載荷WP的聯合體的轉動角速度為vp=v2，關節Oi(i=1，2)處電機轉子的自轉角速度為vai。

1.1 柔性關節簡化模型

根據文獻［18］的假設，柔性關節可簡化為圖2所示剛度系數為k的無慣量線性扭簧，這意味著電機轉子與機械臂之間的聯接為柔性，當關節Oi處的電機轉子轉過角度qai時，受其驅動的機械臂Wi由于扭簧彈性力的作用，其轉動角度為:qi=qai-ai，其中ai為柔性關節引起的轉動誤差。電機轉子與機械臂之間彈性作用力的大小為ki(qai-qi)。此時，若仍然采用常規的方法(即將關節驅動電機和機械臂視為純剛性連接的整體)進行系統動力學模擬和控制方案設計，必將不斷累積剛-柔性轉角誤差ai，從而影響系統的控制品質。基于以上討論，在對關節柔性的漂浮基空間機器人系統進行動力學分析時，必須分別討論空間機器人的動力學和電機轉子的動力學。

圖2 柔性關節的簡化模型Fig.2 Simple model of flexible-joint

1.2 系統動力學方程的建立

由系統總質心定義及位置幾何關系，可導出

其中:Lij(i=0，1，2;j=0，1，2)均為系統慣性參數的組合函數，ej為xj軸的基矢量。

由于考慮了關節柔性的存在，因此，系統的總動能T應該由空間機器人的動能Tr和電機轉子動能Ta之和組成。而由于電機轉子的質量可忽略不計［18］，故電機轉子的動能主要為其自轉動能。于是系統的總動能可表示為:

在宇宙環境中，忽略微弱的重力作用，系統的總勢能僅為柔性關節簡化扭簧的彈性變形勢能，即:

其中:常數ki(i=1，2)為線性彈簧的等效扭轉剛度。

由于本體位置、姿態均不受控的關節柔性的漂浮基空間機器人系統為無外力作用的自由漂浮無根多體系統，系統相對于慣性坐標系(OXY)滿足動量、動量矩守恒關系。不失一般性，假設系統的初始動量、動量矩為零，即=0，于是系統的動量、動量矩守恒關系可表示為:

利用式(1)～(5)及拉格朗日法，可解得載體位置、姿態均不受控的關節柔性的漂浮基空間機器人系統完全驅動形式的動力學方程:

M(q0，q)q··+h(q0，q，q·，q·a)－K(q－qa)=0(7)其中:式(6)為電機轉子的動力學方程，式(7)為空間機器人的動力學方程;Ia=diag(Ia1，Ia2)為驅動電機轉子的對角正定慣量矩陣;q=［q1q2］為空間機器人的轉角矩陣;qa=［qa1qa2］為驅動電機轉子的轉角矩陣;M(q0，q)∈?2×2為空間機器人的正定、對稱慣性矩陣;h(q0，q)包含科氏力、離心力的2階列向量;K=diag［k1k2］為對角形式的系統剛度矩陣，ki(i=1，2)為各關節的線性扭轉剛度;τ= [τ1τ2]為由于關節柔性所產生的連桿驅動力矩列向量。

1.3 系統動力學方程的奇異攝動模型

由于關節柔性的存在會影響系統的控制精度和并引起系統彈性振動，同時還會給系統帶來剛-柔性轉角誤差。因此，為了實現對關節柔性的漂浮基空間機器人系統期望運動軌跡的跟蹤和關節柔性振動的主動抑制，本文基于奇異攝動法，將系統動力學方程式(6)和式(7)近似地分解為相互獨立的表示系統剛性運動部分的慢時標子系統和表示系統柔性運動部分的快時標子系統，并分別為子系統設計合適的控制算法。其中，慢時標子系統控制律τs用來實現系統期望運動軌跡的漸近跟蹤;快時標子系統控制律τf用來抑制柔性關節引起的系統柔性振動，保證系統的穩定性。于是系統總控制律表示為:

假設存在很小的正比例因子ε和正定對角陣K1=ε2K。并定義q為慢變量，彈性力z=K(q-qa)為快變量。則系統動力學方程式(6)和式(7)可重新寫為

設計快時標子系統基于速度差值的反饋控制律:

其中:Kf=K2/ε，K2為正定對角陣。從上式可看出，通過反饋回的速度差值來不斷調節Kf來保證系統的穩定。

將式(8)和式(11)代入式(9)，可得快時標子系統的動力學方程

由K=K1/ε2可知:當ε→0時，K→∞，電機轉子和剛性桿之間的聯接可近似等效為剛性，即qa=q、z=0。于是，由式(6)和式(7)可解得慢時標子系統的動力學方程:

其中:hs(q0，q，q·)為令h(q0，q，q·，q·a)中q·a=q·后所得到的簡化列向量。

為了控制系統設計的需要，將方程式(13)作準線性化處理［19］，寫作:

這種準線性化處理只是式子表現形式發生了變化，沒有產生任何模型精度損失。綜上所述，式(12)和式(14)描述的即為關節柔性的漂浮基空間機器人系統的奇異攝動數學模型。下面將基于式(14)所描述的慢時標子系統動力學方程，設計慢時標子系統控制律 τs。

2 慢時標子系統的控制器設計

由于本身結構的復雜性，空間機器人系統的某些慣性參數(如燃料消耗會導致系統質量變化、機械臂的長度、負載的質量等)是難以精確確定或未知的，同時被捕獲的敵方各類衛星系統的慣性參數通常也是未知的，因此方程式(14)中M(q0，q)、Cs(q0，q，q·)q·可表示為:

其中，M0(q0，q)、Cs0(q0，q，分別為M(q0，q)、Cs(q0，q在標稱系統動力學參數下的估計，ΔM(q0，q)和ΔCs(q0，q，為系統參數不精確估計所引起的建模誤差。因此，基于以上討論，建立了適用于關節柔性的空間機器人控制系統設計的數學模型

其中:τs為針對該數學模型的控制器，將在下一節中進行設計。

近年來，Terminal滑模控制器由于相對于傳統線性滑模控制器具有更高的穩態跟蹤精度以及能在有限時間內收斂等優點而研究引起了人們的重視［20］。但現有的Terminal滑模控制中存在奇異區域的缺點［21］。針對以上Terminal滑模控制存在的不足，本節利用適用于關節柔性的空間機器人控制系統設計的數學模型式(17)，提出了一種非奇異模糊Terminal滑模控制方案，來獲得關節柔性的空間機器人系統慣性參數存在未知的情況下，上述控制系統對期望軌跡漸近穩定的跟蹤控制效果。

2.1 非奇異Terminal滑模控制器設計

令qd=［qd1qd2］T為慢時標子系統期望輸出向量，則其與實際輸出向量q=［q1q2］T之間的誤差向量為:e=q-qd，速度誤差向量為

為了解決普通Terminal滑模控制的奇異問題，提出了非奇異Terminal滑模控制，非奇異滑模面為:

其中:滑模面常數 λ =diag［λ1，λ2］;p、q 為奇數，且1＜p/q＜2。

非奇異Terminal滑模控制器設計為:

其中:?＞0是正常數。需要指出的是，雖然上述控制器能夠保證系統穩定并使跟蹤誤差在有限的時間內收斂到零，但其設計存在的明顯不足是:該控制器要求建模誤差ΔM(q0，q)和ΔCs(q0，q，q·)q·的上界E是已知的，而這在實際的慢時標子系統控制中很難做到，所以出于充分補償建模誤差的需要，設計時一般選擇的E值都較大，這樣又加劇了非奇異Terminal滑模控制器的抖振。因此，文中針對上述控制器設計的缺陷，附加設計了一個模糊自適應控制器，該控制器能夠根據滑模面s和s·自動調整E值補償系統的建模誤差，從而大大減小了控制器的抖振，并保證了系統穩定。控制器設計如下。

2.2 基于非奇異Terminal滑模面的模糊自適應控制器設計與穩定性分析

對于一個模糊推理系統(該系統具有p個輸入、1個輸出、n條If-then模糊規則)，若采用模糊單值產生器，乘積推理規則，加權平均去模糊化方法，則模糊邏輯系統的輸出為:

其中:n為模糊系統第i條模糊規則有關的輸入向量個數，且有1≤n≤p;模糊系統第i條模糊規則中第l個輸入的隸屬度函數為μAli(xi)，且有 1≤l≤n;Φ =［Φ1，Φ2，…，ΦM］T為模糊系統的自適應參數矢量;ξ(x)=［ξ1(x)，ξ2(x)，…，ξM(x)］T為模糊基函數矢量，ξi=

文獻［22］用Stone-Weierstrass定理證明了模糊邏輯系統f(x)能夠以任意精度逼近緊致集上的任意連續實函數h(x)，并提出了模糊基函數(FBF)的概念。因此，可用模糊邏輯系統對關節柔性的空間機器人慢時標子系統建模誤差進行辨識。文中模糊自適應控制就是設計如式(21)所示的模糊邏輯系統的自適應律Φ·，使得模糊系統隨著被控對象的變化而變化。

設慢時標子系統系統關節i(i=0，1，2)的建模誤差ρi(t)存在上界，即‖ρi(t)‖≤Ei，則定義自適應模糊控制器的最優逼近參數是:

定義最小逼近誤差:

則由式(23)，模糊自適應控制器的最優輸出可表示為:

因此，模糊自適應控制器的最優參數與實時參數的誤差可表示為:

其中:ri為自適應系數。

定理 針對式(17)描述的關節柔性的空間機器人慢時標子系統，采用式(19)的非奇異Terminal滑模面及式(26)的參數Φ～i的自適應調節律，控制輸入規律:

可保證系統的跟蹤誤差e、e·一致最終有界。其中:

其中:fi(si)為關節i(i=0，1，2)的模糊自適應控制器輸出。

證明 選擇如下正定函數V作為準Lyapunov函數

將正定函數V對時間t求導，得到:

將式(21)和式(24)代入上式，有:i(i=0，1，2)的模糊自適應控制器輸出fi(si)與逼近函數的誤差wi可以任意小，因此可忽略，得到:

因此，所設計的基于非奇異Terminal滑模面的模糊自適應控制系統是漸近穩定的。

3 仿真算例與分析

針對圖1所示的關節柔性的漂浮基空間機器人系統，利用本文所提的控制方案式(11)、式(27)及式(26)給出的自適應調節規律進行仿真實驗。設機械臂Bi(i=1，2)沿xi軸的長度為3 m，關節O1與空間站本體質心O0的距離為1.5 m，機械臂B1的質心與關節O1的距離為2 m。機械臂B2和末端載荷WP的聯合體質心與關節O2的距離為1.5 m。各分體質量和慣量矩分別為:m0=40 kg，m1=2 kg，m2=1 kg;I0=34.17 kg·m2，I1=1.5 kg·m2，I2=0.75 kg·m2;目標物體的質量為mP=2 kg，中心慣量張量為IP=1 kg·m2。第一個柔性關節驅動電機的等效轉動慣量及其關節剛度分別為 I1m=0.09 kg·m2和 k1=200.0 N·m/rad;第二個柔性關節驅動電機的等效轉動慣量及其關節扭轉剛度分別為 I2m=0.04 kg·m2和 k2=100.0 N·m/rad;仿真時，假定機械臂末端載荷WP的質量及中心轉動慣量矩為不確定系統慣性參數，其不確定范圍為3.0 kg≥mP≥0.0 kg，5.0 kg·m2≥IP≥0.0 kg·m2。并假設空間機器人運動轉角的期望軌跡為:

同時，控制系統相關參數選取如下:λ=diag［65，65］，q=3，p=5，r0=r1=r2=0.1，K2=diag［0.35，0.35］，ε =0.01，Kf=diag［35.0，35.0］。

將電機轉子轉角與空間機器人的期望轉角之間的差值表示為:ea=qa-qd。系統運動初始值為:q0=0.05，q= [0 .2 2.2 ]，qa= [0 .2 2.2]，單 位 均 為(rad)。仿真時間:t=15 s。

仿真結果如圖3～圖6所示。其中圖3為空間機器人轉角的期望運動軌跡(實線)與實際運動軌跡(虛線)的對比圖;圖4為空間機器人轉角運動的跟蹤誤差圖;圖5為電機轉子轉角與空間機器人期望轉角的差值的跟蹤軌跡圖;圖6為關閉模糊自適應控制器u1情況下空間機器人轉角運動的軌跡圖;圖7為關閉快時標子系統控制律τf情況下，電機轉子轉角與空間機器人期望轉角的差值的跟蹤軌跡圖。

由文獻［22］中的Stone-Weierstrass定理可知，關節

圖3 空間機器人轉角的運動軌跡Fig.3 The motion trajectories of space robot

圖4 空間機器人轉角運動的跟蹤誤差eFig.4 The tracking error e

圖5 電機轉子轉角與空間機器人期望轉角的差值eaFig.5 The difference ea

圖6 關閉模糊自適應控制器u1情況下空間機器人轉角運動軌跡Fig.6 The motion trajectories of space robot when the fuzzy adaptive controller is closed

圖7 關閉快時標子系統控制律τf情況下電機轉子轉角與空間機器人期望轉角的差值e aFig.6 The motion trajectories of space robot when τf is closed

由圖3～圖5可以看出，在本文設計的控制方案控制下，電機轉子和空間機器人的轉角實際運動軌跡都能夠精確且穩定地跟蹤上同一期望運動軌跡。這說明本文提出的控制方案能夠消除因關節的柔性而引起的系統“剛-柔轉角誤差”，補償系統參數的不確定性。圖6可看出，關閉模糊自適應控制器u1情況下，控制系統精度變差且運動過程中存在抖振，這個抖振正是由非奇異Terminal滑模控制自身造成的，從而證明了模糊自適應控制器u1可有效補償系統不確定性。從圖7可看出，關閉快時標子系統控制律τf情況下(即未對由關節的柔性引起的系統彈性振動進行主動抑制)，電機轉子轉角與空間機器人期望轉角轉角的差值ea在2s左右就已經變得很大，控制失效，因此關節的柔性對空間機器人的影響是非常大的，也說明了本文提出的快時標控制器對彈性振動采取的主動抑制是非常必要和有效的。

4 結論

本文討論了考慮關節柔性、參數不確定的漂浮基空間機器人系統的動力學建模過程，并基于奇異攝動法建立了系統的奇異攝動模型，提出了慢時標子系統的控制方法和快時標子系統的速度差值反饋控制方法組成的混合控制方法。數值仿真實驗表明，本文提出的控制方法能夠抑制關節柔性引起的系統彈性振動，保持控制系統的穩定性;同時還能夠有效消除關節柔性帶來的系統“系統剛-柔性轉角誤差”，補償系統參數的不確定性，實現漂浮基空間機器人運動軌跡的漸近跟蹤。由于在系統動力學方程推導過程中充分利用了帶柔性鉸空間機器人的動力學特性，與文獻［11-14］的控制方法相比，提出的方法在控制過程中不需要反饋、測量漂浮基的位置、移動速度、移動加速度以及載體姿態轉角的角速度、角加速度，從而使得提到的控制方案更切合于實時、在線應用。

［1］Kumar A，Pathak PM，Sukavanam N.Reduced model based control of two link flexible space robot［J］.Intelligent Control and Automation，2011，2:112-120.

［2］Steve U，Jurek Z S.Extended kalman filtering for flexible joint space robot control［C］//2011 American Control Conference.San Francisco.CA.USA:IEEE.2011:1021-1026.

［3］ Nanos K.On the use of free-floating space robots in the presence of angular momentum ［J］.Intelligent Service Robotics，2011，4(1):3-15.

［4］Abiko S，Hirzinger G.An adaptive control for a free-floating space robot by using inverted chain approach［C］//Proceedings of the 2007 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems，San Diego，CA，USA:IEEE Press，2007:2236-2241.

［5］Parlaktuna O，Ozkan M.Adaptive control of free-floating space manipulators using dynamically equivalent manipulator model［J］.Robotics and Autonomous Systems，2004，46(3):185-193.

［6］洪在地，贠 超，陳 力.柔性臂漂浮基空間機器人建模與軌跡跟蹤控制［J］.機器人，2007，29(1):92-96.HONG Zai-di， YUN Chao， CHEN Li. Modeling and trajectory tracking control of a free-floating space robot with flexible manipulator［J］.Robot，2007，29(1):92-96.

［7］戈新生，陳立群，呂 杰.空間機械臂非完整運動規劃的遺傳算法研究［J］.宇航學報，2005，26(3):262-266.GE Xin-sheng，CHEN Li-qun，Lü Jie.Nonholonomic motion planning of a space manipulator system using genetic algorithm ［J］.Journal of Astronautics，2005，26(3):262-266.

［8］王從慶，石宗坤，袁 華.自由浮動空間雙臂機器人的魯棒協調控制［J］.宇航學報，2005，26(4):436-440.WANG Cong-qing，SHI Zong-kun，YUAN Hua.Robust coordinated control of a free-floating dual-arm space robot［J］.Journal of Astronautics，2005，26(4):436-440.

［9］章定國.多桿空間柔性機器人遞推Lagrange動力學建模和仿真［J］.應用數學和力學，2009，30(10):1202-1212.ZHANG Ding-guo.Recursive lagrangian dynamic modeling and simulation of multi-link spatial flexible manipulator arms［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2009，30(10):1202-1212.

［10］丁希侖，俞玉樹.一種多旋翼多功能空中機器人及其腿式壁面行走運動規劃［J］.航空學報，2010，31(10):2075-2086.DING Xi-lun，YU Yu-shu.A multi-propeller and multifunction aero-robot and its motion planning of leg-wallclimbing［J］.Acta Aeronouticaet Astronautica Sinica，2010，31(10):2075-2086.

［11］ Gu Y L，Xu Y S.A normal form augmentation approach to adaptive control of space robot systems［J］.Journal of the Dynamics and Control，1995，5(3):275-294.

［12］ Xu Y S，Shum H Y，Kanade T，et al.Parameterization and adaptive control of space robot systems［J］.IEEETransactions on Aerospace and Electronic Systems(S0018-9251)，1994，30(2):435-451.

［13］ Walker M W，Wee L B.Adaptive control of space-based robot manipulators［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation(S1042-296X)，1991，7(6):828-835.

［14］陳 力，劉延柱.漂浮基空間機器人協調運動的自適應控制與魯棒控制［J］.機械工程學報，2001，37(8):18-22.CHEN Li， LIU Yan-zhu. Adaptive and robust control schemes of coordinated motion of space-based robot system［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2001，37(8):18-22.

［15］梁 捷，陳 力.具有時延的漂浮基空間機器人基于泰勒級數預測、逼近的改進非線性反饋控制［J］.航空學報，2012，33(1):163-169.LIANG Jie，CHEN Li.Improved nonlinear feedback control for free-floating space-based robot with time-delay based on predictive and approximation of taylor series［J］.Acta Aeronouticaet Astronautica Sinica，2012，33(1):163-169.

［16］梁 捷，陳 力.基于標稱計算力矩控制器的雙臂空間機器人慣性空間軌跡跟蹤的模糊自適應補償控制［J］.工程力學，2010，27(11):221-228.LIANG Jie，CHEN Li.Fuzzy logic adaptive compensation control for dual-arm space robot based on computed torque controller to track desired trajectory in inertia space［J］.Engineering Mechanics，2010，27(11):221-228.

［17］ Dong H K，Chan S P.Adaptive robust control design and experimental demonstration for flexible joint manipulators［J］.Journal of Mechanical Science and Technology， 2007，21(1):57-73.

［18］ Spong M W.Modeling and control of elastic joint robots［J］.Journal of Dynamics Systems，Measurement，and Control，1987，109:310-319.

［19］ Slotin J E，Li W P.On the adaptive control of robot manipulators［J］.J.Robot.Res.，1987，6(3):49-59.

［20］ Bhat SP，Bernstein D S.Finite-time stability of homogeneous systems［A］.Proc of the American Control Conf［C］.Albuquerque，1997:2513-2514.

［21］Wu Y，Yu X，M an X.Terminal sliding mode control design for uncertain dynamic systems［J］.Systems and Control Letters，1998，34(5):281-288.

［22］ Wang L X.Stable adaptive fuzzy control of nonlinear systems［J］.IEEE Trans.Fuzzy System，1993，1(2):146-155.