基于CPWP混合原子分解的滾動軸承故障診斷方法研究

姜銳紅，劉樹林，劉穎慧，唐友福，2

滾動軸承是應用極其廣泛的零部件，它的失效是導致設備故障的最主要原因之一，因此，對滾動軸承進行狀態監測與故障診斷，尤其是早期診斷，顯得尤為重要。滾動軸承最常見的初期缺陷形式是表面點蝕，缺陷的存在會引起周期性沖擊振動，它的頻率(故障特征頻率)取決于故障部位、轉速和軸承參數［1］，通過故障頻率的提取可判斷失效的位置。

軸承發生故障時產生的周期沖擊信號調制于機械系統的某一固有頻率，經典的滾動軸承故障診斷方法是找到該調制信號的載波頻率，再做窄帶包絡解調，但由于實際系統的復雜性，往往不可能準確找到系統固有載波頻率，因此，經典的窄帶解調方法有時不能很好地滿足滾動軸承故障診斷的需要［2］。此外，時頻分析信號處理方法如短時傅里葉變換、Wigner-Ville分布以及小波分析、經驗模式分解(EMD)、循環平穩分析等現代信號處理方法在滾動軸承故障診斷中也得到廣泛應用，然而，這些方法對信號的分解是唯一的，不具備自適應性，而使用特定過冗余字典將信號進行優化稀疏分解的原子分解是一種具有自適應性和靈活性的方法［3］。在故障診斷領域中，傅里葉原子庫、小波原子庫、脈沖原子庫以及線性調頻原子庫的應用，學者們已做了一些研究［4－8］，本文根據余弦包對信號的能量集中性適合提取信號主要能量頻率成份的優勢，結合小波包對沖擊信號的敏感性，利用CP及WP的快速算法，設計了CPWP混合原子庫的匹配追蹤快速算法，并將其應用于滾動軸承故障仿真與實測信號的分析，結果表明CPWP混合原子分解可得到信號更多有用信息，便于提取沖擊調制信號特征。

1 混合原子分解

1.1 原子分解

參數化字典是過完備的，即字典中一些原子可由其它一些原子的線性組合表示，這使得信號可以在眾多表示中選擇最合適的分解形式，也即信號表示的自適應性。

1.2 小波包原子庫

小波函數具有很強的瞬態和時域局部特性，是分析處理非平穩瞬時信號的有效工具。小波包分解是在小波分解的基礎上對高頻部分做進一步分解，可以在時間與頻率分辨率之間得到好的折中，同時可為信號的分析提供更加冗余的原子波形，增強自適應選擇的靈活性。

本文用到的正交小波包字典由子空間的正交歸一基依尺度參數j、平移參數k以及子空間參數p的變化構成:

式(1)中 j為 2的整數次冪，k取整數，p=0，1，…，2j－1－1。

對于給定的尺度j，小波包共有2j個子空間，記為為每一次分解的低頻部分，中的正交歸一基為(n)。給定中的尺度函數及相應的濾波器系數，即可遞推得到小波包各子空間的基函數:

其中:h0(k)為低通濾波器系數，h1(k)為高通濾波器系數，二者構成共軛正交鏡像濾波器組。p=0時，基函數ψp(2－jn－k)=ψ0(n－k)即是中的尺度函數。

1.3 余弦包原子庫

余弦變換是正弦變換家族中的一種變化，與傅里葉變換有著密切的聯系，可應用快速傅里葉變換算法取實部得到。

Ahmed與Rao于1974年首先給出了離散余弦變換(DCT)的定義，后演變出八種DCT類型，本文采用DCT －IV 形式，給定序列 x(n)，n=0，1，…，N －1，其離散余弦變換定義為:

其中:k=0，1，…N－1，為 N點 DCT的頻率采樣點，可視為頻率變化參數。

根據式(3)的變換形式，其核函數即為依頻率變化的余弦變換原子:

在余弦包中，給定分析信號長度及分解層數，可根據式(4)推導出各層原子的統一表達形式。與小波包分解不同的是離散余弦包變換的每一層不是將上一層的頻率二進分割，而是對信號在時間域內二進分割。每一層將信號對應的時間段進行離散余弦變換。離散余弦變換具有很強的能量集中特性，在信號處理中得到了廣泛的應用。對于分解層數d，余弦包將信號分為2d段，每段由快速傅里葉變換求得該段信號的DCT，每層分解相當于信號的加窗DCT。因此，余弦包字典波形可由式(5)統一表達:

其中:n=0，1，…，N－1為原子中時間采樣點，d為余弦包分層標號，b為各層分段標號，k為N/2d長度DCT變換的頻域采樣點。

1.4 CPWP匹配追蹤算法

小波包字典包括小波函數在頻率與時間范圍擴展及平移的震蕩波形集，余弦包字典由寬度與位置變換的窗函數截取的歸一化變頻余弦曲線集組成，CPWP混合原子庫包含廣泛的不同時頻現象元素，對變時頻結構的信號表達能力更強。將小波包與余弦包的快速算法應用于混合原子分解中，結合匹配追蹤算法，設計得到CPWP混合原子分解的快速算法流程如圖1所示。每次選擇的混合分解最大系數，可根據其所在分解層及層內位置快速得到與該系數對應的原子波形，所以上述CPWP混合原子分解算法不需要事先構造原子庫。

圖1 混合原子分解流程Fig.1 Merged atomic decomposition flow chat

2 滾動軸承故障信號分析

2.1 滾動軸承故障仿真信號分析

滾動軸承元件發生單點局部損傷時，傳感器拾取到的振動信號的數學模型可用式(6)表達［9－10］:

其中:A(kT)為kT時刻的沖擊幅值，A(t)為幅值調制函數，T為故障特征周期，f0為軸承座－傳感器系統的某一固有頻率，α為對應的系統阻尼比，U(t)為單位階躍函數。取A(t)為常數值1模擬滾動軸承外圈單點故障，T 取1/124 s，f0取4 000 Hz，α 取 500，采樣頻率 fs取25 000 Hz，仿真信號的時域波形如圖2所示。

圖2 滾動軸承外圈故障仿真信號時域波形Fig.2 Time waveform of outer race fault signal

對該仿真信號進行4層Cioflet3小波包原子分解，其分解的時頻分布如圖3所示，各個沖擊特征在時域中基本清晰可辨，但載波頻率模糊不可辨。圖中橫坐標為歸一化時間坐標，最大值1表示所分析信號的最大采樣時刻;縱坐標為歸一化頻率值，最大值表示1/2采樣頻率值(以下所有時頻圖的坐標意義均與該圖相同)。該信號的4層余弦包原子分解時頻分布如圖4所示，沖擊信號時域分辨率模糊不清，載波成份在頻域內可清晰分辨。以上分析表明，Cioflet3小波包原子分解對沖擊調幅信號的沖擊信息在時域內分辨率較高，而余弦包分解對載波信息的頻域分辨率較高。

將Cioflet3小波包與余弦包混合，應用1.4節設計的CPWP混合原子分解算法，對以上仿真信號做匹配追蹤分解，如圖5所示的時域分布圖，得到較CP、WP原子分解更稀疏的表示，能準確反映沖擊信號的時域位置，載波信號在頻域的位置也很清晰。

2.2 滾動軸承實測故障信號分析

以Case Western Reserve University軸承數據中心的外圈故障試驗數據［11］為例進行分析，試驗軸承為6205－2RSJEM SKF深溝球軸承，采樣頻率fs=12 000 Hz，轉速為1 748 r/min，計算得外圈故障特征頻率為fout=104.4 Hz。取2 048個采樣數據進行分析，信號的時域波形如圖6所示。

圖7為信號的Coiflet3小波包四層原子分解所得時頻圖，信號沖擊時刻在時域中清晰可辨，但載波頻率分辨率極低。圖8為信號的4層余弦包分解，頻域中能量集中的幾個帶較為明顯，但時域內的沖擊成份不能清晰顯現。圖9是應用四層CP與四層Coiflet3小波包的混合原子分解，經匹配追蹤得到的時頻表示，不僅頻域內信號能量較集中的幾個帶較前兩種方法清晰，時域內信號的沖擊成份也很明顯。

圖3 外圈故障仿真信號小波包原子分解時頻圖Fig.3 Time-frequency plot of CP atomic decomposition

圖4 外圈故障仿真信號余弦包原子分解時頻圖Fig.4 Time-frequency plot of CPatomic decomposition

圖5 外圈故障仿真信號CPWP原子分解時頻圖Fig.5 Time-frequency plot of CPWPatomic decomposition

圖6 滾動軸承外圈故障仿真信號時域波形Fig.6 Time waveform of outer race fault signal

在圖9中，由Δt=(x1－x2)×(N－1)/fs可計算出任意兩次沖擊發生的時間間隔，其中x1、x2為兩次沖擊的橫坐標，fs為信號采樣頻率，N為信號采樣點數。計算得A、E之間時間間隔為0.144 s，相近于外圈故障理論沖擊時間間隔(1/fout=0.009 6 s)的 15倍，由1/(ΔtAE/15)得到沖擊頻率為104.1 Hz，與軸承的理論外圈故障頻率104.4接近。計算得AB、BC、CD、DE的時間間隔為 0.038 s、0.038 s、0.029 s、0.039 s，分別接近于4倍或3倍外圈故障理論沖擊時間間隔。FC、GH、HE時間間隔均為0.009 7 s，與理論外圈故障沖擊時間間隔接近。任意選擇以上沖擊時間間隔可計算得到接近于理論外圈故障頻率的特征頻率。

圖7 外圈故障仿真信號小波包原子分解時頻圖Fig.7 Time-frequency plot of WP atomic decomposition

圖8 外圈故障仿真信號余弦包原子分解時頻圖Fig.8 Time-frequency plot of CP atomic decomposition

圖9 外圈故障仿真信號CPWP原子分解時頻圖Fig.9 Time-frequency plot of CPWP atomic decomposition

判定滾動軸承故障必須是沖擊與調制信息同時存在，沖擊信息調制于軸承部件的固有頻率，這個固有頻率很難由測量或計算得到，因此確定解調中心頻率及頻帶一直是滾動軸承故障診斷的一個難點。圖9中，雖然整個頻域范圍內均可見有沖擊信息，但在0.4～0.6(2 400～3 600 Hz)范圍內，沖擊成份比較集中，并且此處的整個時域范圍有明顯的固定頻率，與仿真信號的分析結果對比，可判斷沖擊信號的載波頻率落在此段頻率范圍內。相對于圖7與圖8，可見混合原子庫分解提高了信號的分辨率，增加了信號分析的有用信息。

3 結論

信號在過完備字典庫中的不唯一性表示，使得在眾多表達中選擇最適合信號分析目標的表示成為可能，不同字典的波形集與信號的匹配可從不同側面反應信號特征，將不同字典波形集混合參與信號的匹配，可提供更加靈活的自適應能力，得到信號的更多有用信息。

通過對仿真信號及實測滾動軸承故障信號的分析表明，CPWP混合原子分解保持了CP、WP原子分解的稀疏性與高分辨率優勢，并且將二者優勢互補，能在時頻域內提供更多沖擊調制信號的有用信息，便于提取沖擊信號及載波頻率范圍，適用于滾動軸承的故障診斷。

雖然混合原子分解可以提取滾動軸承故障特征，但從文中對實測信號的分析來看仍然存在特征信息不夠突出，直觀性不強，分析難度較大的問題，這將是下一步需要研究改進的內容。

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