基于多重分形與奇異值分解的往復壓縮機故障特征提取方法研究

趙海洋，徐敏強，王金東

往復壓縮機具有結構復雜，激勵源眾多，部件運動形式多樣等特點，其傳動機構往往因為長期的摩擦、磨損造成軸承間隙故障，導致整機振動超標而停機，影響生產。往復壓縮機故障診斷存在如下難點:①系統表現出復雜的非線性;②激勵和響應具有非平穩特性;③故障信息傳遞路徑復雜，相互干擾，彼此耦合。以傅里葉變換為基礎的頻域分析通常適用于平穩信號分析，在往復壓縮機非平穩振動信號分析中存在著一定的局限性，很難對其進行準確的故障診斷［1－2］。

Mandelbrot提出的多重分形為信號分析提供了一種幾何結構方法，在揭示復雜系統所表現出來的非平穩性和非線性具有獨特之處。在分形理論中，分形維數可以定量地刻畫混沌吸引子的“奇異”程度，定量描述非線性行為［3－4］。然而，單重分形特征只能對所研究對象作整體性的、平均性的描述與表征，廣義分形維數則能更精細的刻畫信號的局部尺度行為，可以全面反映信號的分形特性，更適用于復雜系統的非線性行為定量描述。往復壓縮機振動信號表現出復雜的非線性、非平穩性，適用于多重分形方法對其進行特征描述。多重分形已在往復機械故障診斷研究中得到應用，文獻［5］提出基于數學形態學操作的廣義分形維數計算方法，并對發動機故障信號進行診斷分析。文獻［6］應用振動信號時頻域多重分形方法對往復式壓縮機填料泄漏故障進行了實例分析，能夠較好地區分故障的嚴重程度。

相比于單一傳感器，多傳感器可以增強數據可信度，擴展觀測范圍，尤其對于復雜系統，只對單個傳感器信息進行分析，往往難以得出有效特征。因此，有必要對多傳感器的信息進行綜合分析，通過信息融合來實現特征提取與故障診斷。往復壓縮機結構復雜，故障信息相互干擾，彼此耦合，利用多重分形方法對多傳感器數據進行綜合分析，形成多傳感器廣義分形維數矩陣，能更全面反映系統狀態信息。

為了便于實現機器學習，通常特征向量是以列向量形式存在的。因此，需對多傳感器廣義分形維數矩陣進行降維壓縮。奇異值分解(SVD)是一種矩陣正交化分解方法，矩陣的奇異值是矩陣的固有特征，具有良好的穩定性、比例不變性和旋轉不變性，在數據壓縮、信號處理和模式識別等許多方面都有廣泛的應用。文獻［7］對小波包變換系數矩陣進行奇異值分解，依據矩陣奇異值，定義了振動信號特征參數。文獻［8］采用奇異值分解分析滾動軸承振動信號經EMD分解形成的矩陣，提取奇異值作為滾動軸承振動信號的故障特征向量。

本文應用多重分形理論分析多傳感器振動信號，形成廣義分形維數初始矩陣，利用奇異值分解進行矩陣降維壓縮，提取矩陣特征值作為特征向量。將其應用于往復壓縮機傳動機構故障診斷，實現多位置軸承間隙故障的特征提取與診斷識別。

1 基于多重分形與奇異值分解的特征提取方法

1.1 多重分形

多重分形是定義在分形結構上由多個標度指數的奇異測度構成的無限集合。它用一個譜函數來描述分形不同層次的特征，即刻畫的是分形測度在支集上的分布情況。

對于多重分形應用盒計數法，把研究對象劃分為N個不同的區域(i=1，2…N)，設區域尺度的大小為δ，考慮各個盒子內不均勻分布的物理量用概率分布表示:

其中:αi為第i個盒子中的Holder指數(標度指數)。

定義配分函數χ(q，δ)，對概率用q次方進行加權求和，其數學表達式為:

如果配分函數和δ有冪函數關系，則可從lnχ(q，δ)～lnδ曲線的斜率得到:

式中:τ(q)稱為質量指數。

對每個q值，利用最小二乘法擬合估算雙對數曲線 lnχ(q，δ)～ lnδ，即可得到 τ(q)和 q 的關系。質量指數τ(q)和描述多重分形的廣義分形維數D(q)有如下關系:

即:

因此，得到描述多重分形的一套參數為廣義分形維數譜D(q)－q。它既可用于簡單分形，也可用于多重分形，當q=0時，D(q)為盒維數，當q=1時，D(q)為信息維數，當q=2時，D(q)為關聯維數。

1.2 奇異值分解

在矩陣理論中，奇異值是矩陣的固有特征，具有較好的穩定性，能有效地反映矩陣的特征。奇異值分解定理為:對于一個實矩陣 A∈Rm×n，不管其行列是否相關，必定存在正交矩陣U∈Rm×m和正交矩陣V∈Rn×n，使得下式成立:

式中:S 是對角陣，可表示為 S=diag(λ1，λ2，…，λk)，k=min(m，n)，λ1，λ2，…，λk為矩陣 A 的奇異值并按降序排列。

1.3 特征提取方法

廣義分形維數能更精細的刻畫信號的局部尺度行為，在揭示復雜系統所表現出來的非平穩性、非線性等特性方面具有獨特之處。對于復雜系統，只對單個傳感器信息進行分析，往往難以得出有效特征，而多傳感器可以增強數據可信度，擴展觀測范圍，更能全面反映系統狀態信息。

往復壓縮機具有復雜的非線性和非平穩性，且故障信息傳遞路徑復雜，基于多傳感器的多重分形方法，形成多傳感器廣義分形維數矩陣，可有效結合多重分形法對非線性定量描述的細致性和多傳感器觀測范圍的擴展性，全面細致的反應往復壓縮機運行狀態。

奇異值分解(SVD)是一種矩陣正交化分解方法，可對多傳感器廣義分形維數矩陣進行奇異值分解，得出矩陣的奇異值作為特征向量。由于奇異值是矩陣的固有特征，具有良好的穩定性，所以，奇異值特征向量與故障狀態具有一一對應的映射關系，是往復壓縮機運行狀態的準確反映。因此，提出基于多重分形與奇異值分解的多傳感器特征提取方法，具體計算過程如下:

(1)數據預處理。對初始數據進行截取與降噪等處理，降低計算工作量以及噪聲對譜值的影響。

(2)計算各傳感器的廣義分形維數。用尺度為δ的盒子對分形集進行劃分，定義每個盒子的奇異概率測度pi(δ)及配分函數 χ(q，δ)，對于給定的 q值，計算并繪制相應的lnχ(q，δ)～lnδ雙對數曲線，找出曲線的無標度區，用最小二乘法擬合估算出該段曲線的斜率即質量指數τ(q)，通過式(4)變換即得廣義分形維數譜 D(q)－q。

(3)構成初始特征矩陣。根據各傳感器的廣義分形維數，以各傳感器廣義分形維數為行向量，按傳感器編號排列，形成初始特征向量矩陣A，表示為:

矩陣中，M表示廣義分形維數譜的維數，N表示傳感器編號。

(4)特征向量提取。利用奇異值分解理論，對廣義分形維數矩陣A進行奇異值分解，取對角陣S上的部分或全部對角元素 λ1，λ2，…，λk作為特征向量，即:

T= ［λ1，λ2，…，λk］。

即可對廣義分形維數譜矩陣進行降維壓縮，實現故障特征向量的提取。

2 往復壓縮機故障診斷

2.1 故障試驗研究

以大慶天然氣分公司2D12型雙作用對動式往復壓縮機為研究對象。其主要參數為:軸功率500 kW、排氣量 70 m3/min、活塞行程 240 mm、電機轉速 496 r/min。試驗過程中，分別在壓縮機傳動機構兩級連桿的小頭軸承、大頭軸承共四個位置模擬了間隙大故障。此外，為獲得機組正常狀態數據樣本還對正常運行的壓縮機組進行現場測試。根據壓縮機結構特點，在曲軸箱正面、上端和右端，各級氣缸蓋側，各級十字頭滑道下端共7個故障敏感部位設置測點，利用加速度傳感器測試壓縮機振動信號，測點布局如圖1所示。同時，在曲軸箱輸入軸飛輪處利用光電傳感器采集鍵相信號。數據采集系統選用北京東方所的INV306U－6660多通道智能數據采集儀，采樣時間4 s，每一工況下等時間間隔采樣100次，鑒于往復壓縮機激勵源眾多，運行過程中會產生高頻振動成分，采樣頻率設置為50 kHz。

圖1 往復壓縮機測點布局Fig.1 Distribution of reciprocating compressor measurement points

2.2 信號預處理

根據采樣時間和電機轉速可知，一次采樣采集了多個工作周期的振動信號，由于各周期信號的相似性，過多的數據僅會增加計算量，不會對多重分形譜有顯著影響。因此，利用與多通道振動信號同步采集的鍵相信號，提取兩個周期的振動信號數據進行分析，其數據長度為12 028點。

眾所周知，噪聲會影響分形維數的大小，使其無法準確的反映系統的多重分形特征。為了降低噪聲干擾，應用小波閾值降噪法對往復壓縮機振動數據進行預處理，具體采用db4小波母函數，三層分解，啟發式軟閾值降噪法。其中，一級十字頭滑道測點一級連桿小頭間隙大故障振動信號的處理結果如圖2所示。

2.3 故障特征提取

對各工況每個傳感器的振動信號進行截取與降噪，根據多重分形定義，在q取值范圍－10至10間計算廣義分形維數D(q)，即可形成21行7列的廣義分形維數矩陣。每種工況的廣義分形維數矩陣可以通過廣義分形維數D(q)、q和傳感器編號N組成的3維譜圖來表示，各工況的典型3維譜圖如圖3所示。

由圖3可知，雖然各工況同屬軸承間隙大這一性質故障，但隨著故障發生位置的不同，振動信號的傳遞途徑也不同，所以廣義分形維數矩陣存在明顯差異;再者，對于任意兩種不同工況，隨著q的不同，同一傳感器廣義分形維數差異明顯，體現了多重分形刻畫局部尺度的細致性;此外，對于任意兩種不同工況，多個傳感器廣義分形維數差異顯著，體現了多傳感器觀測的必要性。

圖2 一級連桿小頭間隙大故障降噪前后時域信號Fig.2 Time-domain signal before and after noise reduction for fault of first connecting rod small end with large clearance

圖3 各工況3維譜圖Fig.3 3D Spectrum of each state

對廣義分形維數矩陣進行奇異值分解，提取奇異值，雖然噪聲使矩陣全部奇異值均大于零，但從量級比較，矩陣的前4階奇異值差異較大，所以取矩陣的前4階奇異值作為故障特征向量。不同位置故障及正常工況的典型特征向量如圖1所示，由圖1可知，各工況特征向量曲線無交叉，間隔大，具有明顯可分性。

圖4 各故障狀態典型特征向量Fig.4 Typical feature vector for each fault condition

2.4 故障診斷與分析

支持向量機(SVM)是以統計學習理論為基礎發展而來的一種通用機器學習方法，已在模式識別、回歸估計、概率密度函數估計等方面得到廣泛應用。LibSVM是由臺灣林智仁副教授開發的SVM工具包，它集成了參數尋優、模型訓練和結果測試等功能［9］。

對于SVM，核參數和誤差懲罰參數C是影響其性能的主要因素。本文使用廣泛應用的徑向基核函數，具體形式為:K(x，xi)=exp{－γ‖x－xi‖2}，其中，核參數為γ。選取上述五種工況測試數據各100組，經截取和小波閾值降噪后利用多重分形和奇異值分解計算得出特征向量樣本。分別以每種工況的70組特征向量作為訓練樣本，30組特征向量作為測試樣本。應用LibSVM的遺傳算法對參數進行優化并建立支持向量機，優化結果為差懲罰參數 C取1.83，核參數 γ取3.55。對各工況測試樣本進行識別，結果如表1所示。

為檢驗該方法的有效性，同樣選取上述五種工況樣本100組。首先，計算每組樣本中各傳感器振動信號的單重分形指標關聯維數作為特征向量，分別以70組特征向量作為訓練樣本，另外30組特征向量作為測試樣本，建立支持向量機并進行診斷測試。再者，所有工況各取一組樣本，計算每種工況各個傳感器的廣義分形維數，對于某一工況，以各傳感器在正常工況與故障工況下廣義分形維數的最大歐氏距離作為評價指標，選出對故障最敏感的傳感器，以其廣義分形維數作為該故障的單傳感器特征向量，采用同樣方法建立支持向量機并進行診斷測試。各方法診斷的識別準確率如表1所示。

由表1可知，各種特征提取方法均可實現不同位置故障的識別，但由于多重分形在局部尺度描述的細致性以及多傳感器在數據獲取的擴展性優勢，基于多重分形與奇異值分解方法不但在總體識別準確率高于多傳感器單重分形法和單傳感器多重分形法，而且各工況的識別準確率均為最高，識別效果最好，驗證了該方法的優越性。

表1 各方法故障診斷準確率比較Tab.1 Comparison of fault diagnosis accuracy for each method

3 結論

(1)多重分形適用于復雜系統的非線性行為定量描述，多傳感器數據采集能更全面反映系統狀態信息。以此，提出了一種基于多傳感器廣義分形維數矩陣與奇異值分解壓縮的故障特征提取方法。

(2)將該方法應用于往復壓縮機傳動機構多位置軸承間隙故障的特征提取，不同工況的特征向量可分性明顯，實現了故障的準確診斷。

(3)通過建立支持向量機進行比較分析，該方法相比于多傳感器單重分形關聯維數法和單傳感器多重分形法，更能全面地反映設備狀態特征，識別效果更好，為往復壓縮機故障特征提取和故障診斷提供了一種新途徑。

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