磁懸浮軸承H∞魯棒控制策略研究

龍亞文，謝振宇，徐 欣

主動磁懸浮軸承是利用可控電磁力將轉子穩定懸浮的一種新型支撐裝置，與傳統軸承相比，具有無接觸、無磨損、無需潤滑、精度高和剛度阻尼可調等優點。可廣泛應用于航空航天、交通、能源、超高速精密加工和機器人等領域［1］。

磁懸浮軸承的控制策略對系統的動靜態性能有重要影響。對此，國內外許多學者從不同方面進行了研究。童水光等［2］利用電磁阻尼器來抑制轉子的振動;謝振宇等［3］利用金屬橡膠環—磁懸浮軸承組合支撐來提高系統阻尼，達到吸振的目的;張德魁等［4］采用LMS(Least Mean Square)控制算法對磁懸浮磨床電主軸系統的同步振動進行抑制，實驗結果表明此控制策略能明顯提高系統性能;段廣仁等［5－6］在磁懸浮飛輪儲能系統中采用魯棒動態補償控制，其設計的一階參數化動態補償器能明顯抑制系統擾動，并使控制代價最小，減少系統能量損耗;Beals等［7］提出一種自適應力平衡(AFB)補償控制策略，解決磁懸浮軸承中周期性振動問題;Tamisier等［8］提出一種前饋力補償控制策略，根據不同轉速計算不平衡補償量，得到補償信號;Kai等［9］提出一種自適應自動對心控制策略，能在線實時補償系統的不平衡。

根據轉子動力學知識，柔性轉子系統在越過各階臨界轉速時，轉子振幅較大，容易與軸承碰撞;而當系統轉速遠離各階臨界轉速時，轉子振幅相對較低。為了有效抑制轉子在各階臨界轉速附近運行時的振動，同時不增加控制策略的復雜性，本文提出根據轉子在固有頻率處的振幅選擇加權函數的方法，在磁懸浮軸承柔性轉子系統試驗臺上，通過理論計算得到系統的不確定性和固有頻率處的不平衡響應，通過仿真分析和高速旋轉試驗研究了混合靈敏度H∞控制策略對柔性轉子系統動態性能的影響，并與PID控制策略進行了對比。

1 系統數學模型

1.1 系統工作原理

磁懸浮系統部分包括:傳感器、控制器、功率放大器、電磁鐵和轉子。磁懸浮系統工作原理為:轉子平衡參考位置假設為 x0(本實驗臺平衡氣隙 x0=0.25 mm)，傳感器檢測位置信號為x，將兩個信號差值輸入控制器，根據控制策略進行運算，輸出控制電壓信號到功率放大器，最后輸出差動電流控制電磁鐵上、下線圈的電磁力，將轉子拉回至平衡位置x0處。

1.2 系統數學模型

圖1為系統轉子受力示意圖，參數含義見表1。

圖1 轉子受力示意圖Fig.1 the rotor force diagram

表1 主要機械尺寸表Tab.1 Diagram of main mechanical size

轉子質心處徑向各自由度的運動方程可表示為:

其中:fx，fy分別為 x，y 正方向的干擾力，Jx，Jy，Jz分別為轉子繞x，y，z軸的轉動慣。質心處位移為:

轉子在xz、yz平面內的轉角為:

轉子在軸承支撐平衡位置處的線性化電磁力為:

其中:Krs=－3.2×105N/m，Kri=32 N/A分別為徑向位移剛度系數和徑向電流剛度系數。

取狀態向量X1=［xa，xb，ya，yb，

取控制向量 U1= ［ixa，ixb，iya，iyb］T

取輸出向量 Y1= ［xa，xb，ya，yb］T

將式(2)、(3)、(4)代入式(1)中且令外干擾fx=fy=0，可得徑向自由度的數學模型如式(5)所示。

其中:參數矩陣 a21，a22，b21，D1 分別為:

轉子質心處軸向運動微分方程可表示為:

軸向電磁合力

其中:Kzs= －1.2×105N/m 和 Kzi=12.13 N/A 分 別為軸向位移剛度系數和軸向電流剛度系數。

取控制變量 U2=iz

取輸出變量 Y2=zc

令外干擾fz=0，則軸向自由度的數學模型可表示為:

其中D2=0

綜合上述徑向和軸向數學模型，忽略上述參數矩陣中非對角元項(即忽略慣性耦合和陀螺耦合項)，得各自由度被控對象標稱傳遞函數分別為:第1、2自由度

第3、4自由度

第5自由度

當系統近似為線性系統時，轉子各個自由度的振動相似，故可通過分析其中某個自由度的振動獲得轉子的整體振動情況［3］。本文主要以徑向第1自由度為例進行分析，其余自由度類似。

2 控制器設計

2.1 混合靈敏度H∞控制

以徑向第1自由度為例，圖2是該自由度的控制原理框圖。

圖2 控制系統原理框圖Fig 2 principle of control system

圖中r為參考輸入，e為跟蹤誤差，u為控制輸出，d為干擾輸入，y為系統輸出，k(s)為控制器，G0(s)為受控對象，則靈敏度函數S(s)，補靈敏度函數T(s)和函數R(s)定義分別為:

S(s)是系統干擾d到輸出y的閉環傳遞函數矩陣，其增益表示閉環系統對低頻干擾的抑制能力。

T(s)是參考輸入r到y的傳遞函數矩陣，其增益表示對系統的高頻乘性攝動或高頻未建模動態抑制能力和對參考輸入的復現能力，同時整個頻段內滿足S(s)+T(s)=I。

R(s)是參考輸入r到控制輸出u的傳遞函數矩陣，其增益表示對控制輸出的抑制。

一般系統標稱模型G0(s)不可能完全描述實際受控對象，即G0(s)存在不確定性ΔG(s)，實際模G(s)∈(G0(s)+ΔG(s)| ΔG(s ) ＜ ε)是一個有界的攝動范圍區間。由魯棒穩定性理論可知，如果控制器k(s)使標稱系統G0(s)閉環穩定，則對于任意攝動ΔG(s)，系統仍閉環穩定的充分條件是:

成立。如果有 ΔG(s )≤W3(s)成立，則式(12)等價于

W3(s)稱為補靈敏度函數的加權函數。

對于外界干擾d，考慮其頻譜特性，合理選擇加權函數 W1(s)，使得 S(s)W1(s) ＜ 1成立，就能對閉環傳遞函數頻域進行整形，從而抑制干擾d對系統輸出的影響。

2.2 加權函數選擇

混合靈敏度設計中加權函數選擇是關鍵，合適的加權函數可以使系統獲得良好的低頻與高頻性能。在系統高速旋轉時，柔性轉子較剛性轉子而言會出現更多的固有模態振動，對柔性轉子固有模態的識別有助于更好地進行振動控制。

本文采用力錘作為激振源，加速度傳感器測量轉子振動，并輸入HP35670進行頻譜分析，得到系統的前三階固有頻率如表2所示。

表2 系統的固有頻率Tab.2 The natural frequency of system

由表2可知，本系統轉子在15 000 r/min(250 Hz)轉速范圍內，會出現前二階臨界轉速。為了保證系統安全穩定運行，本文根據轉子在固有頻率處的振幅選擇加權函數，利用加權函數具有濾波器的作用，來減小系統不確定性的影響和抑制轉子的振動。

由第1節計算得到的系統數學模型，其不確定性包括由電磁力線性化引起的參數不確定性和由各自由度之間的陀螺與慣性耦合引起的動態不確定性。其中參數不確定性主要考慮轉子起浮時，位移剛度Ks和電流剛度Ki不確定性。

單自由度電磁力公式:

其中:K=0.25μ0N2A。將上式在平衡位置(X0，I0)附近進行前四階泰勒展開，忽略高階小項得:

轉子在剛起浮時非線性攝動最大，此時x=0.25 mm，i≈0.5A，以第1自由度為例，得到由參數攝動引起的乘性不確定性為Δ1(s):

其中:Δ1(s)的奇異值特性曲線如圖3所示。

轉子慣性耦合描述同一平面內自由度間力或力矩耦合，陀螺耦合描述相互自由度之間的力或力矩耦合。由第1節的系統數學模型，當保留參數矩陣a21、b21非對角元，而忽略a22的非對角元素時，即系統只考慮考慮慣性耦合，不考慮陀螺耦合。此時徑向第1自由度由慣性耦合引起的乘性不確定性為Δ2(s):

當保留參數矩陣a22的非對角元，而忽略a21、b21非對角元時，即系統只考慮考慮陀螺耦合，不考慮慣性耦合。此時徑向第1自由度由陀螺耦合引起的乘性不確定性為Δ3(s):

其中:Δ2(s)、Δ3(s)的奇異值見圖3。根據加權函數的選擇原則［10］，補靈敏度函數T(s)的加權函數W3(s)的奇異值曲線一般應在 Δ1(s)、Δ2(s)、Δ3(s)的上方，這樣可以避免所求的控制器溢出。同時W3(s)應具有高通特性，但對低頻特性沒有特別要求。

圖3 不確定性奇異值曲線Fig 3 Singular value curves of uncertainty

轉子的主要干擾為轉子質量偏心引起的同頻離心力干擾，其表達式為 Fd=mεω2cosωt，其中質量 m=7.533 2 kg，轉子偏心ε=0.01 mm。由干擾引起的轉子位移幅值為:

其中:Ks為位移剛度系數，以徑向第1自由度為例，可計算得到固有頻率f1=61.2 Hz和f2=221 Hz對應的同頻干擾幅值分別為:

其余各自由度類似。在上述干擾下，為保證轉子繞中心軸振動幅值xm不超過氣隙長度(徑向氣隙為0.25 mm)的十分之一，即xm≤25μm，則期望靈敏度函數S(s)在 ω1=2πf1=384.5 rad/s最大幅值為:

在 ω2=2πf2=1 388.6 rad/s最大幅值為:

根據加權函數的選擇原則，加權函數W1(s)的倒數在 ω1處應小于 S(jω1)、在 ω2處應小于 S(jω2)。同時W1(s)具有低通特性，其截止頻率應小于W3(s)的截止頻率，即高通與低通頻帶不重疊。

R(s)的加權函數為W2(s)，一般取比較小的常數，這樣可以獲得較大的系統帶寬同時避免增加控制器的維數。綜上，選取徑向第1自由度加權函數選為:

加權函數W3(s)和W1(s)的奇異值如圖4所示，其滿足上述加權函數的選擇原則。

圖4 加權函數奇異值Fig.4 Singular value of weighting function

2.3 控制器實現

由前述系統數學模型，徑向第1自由度控制器傳遞函數可表示為:

其余各自由度類似。由2.2節得到的徑向第1自由度加權函數，利用matlab工具箱中Augtf()函數，可推得徑向第1自由度增廣系統p1(s)如下:

利用hinflmi()函數，徑向第1自由度的H∞控制器k1(s)可表示為:

3 仿真與實驗

3.1 試驗系統的組成

圖5為試驗系統實物圖，其中包括:傳感器、控制器、PC機、功率放大器和機械受控部分。其中控制器為TI公司的TMS320F28335 DSP，該處理器具有高精度浮點運算能力，與PC機之間通過JTAG仿真器連接通信，采用CCS軟件編寫控制程序，實現系統主動控制。

圖5 試驗系統實物圖Fig.5 Experiment setup of system

3.2 仿真與實驗結果

利用matlab中simulink工具箱對H∞控制器和傳統的PID控制器階躍響應進行仿真對比。H∞控制器取式(22)形式，PID 控制器為:Kp(s)=2.5，Ki(s)=200/s，Kd(s)=0.03 s/(1+0.000 6 s)。

圖6 階躍響應對比Fig.6 Comparation of step response

由圖6可知，曲線1為H∞控制，曲線2為PID控制。經比較可知，H∞控制的調節時間和超調量都較小。

根據式(22)，采用雙線性變換得徑向第1自由度的離散控制器如式(23)所示。

即可得到離散控制輸出u1與輸入e1的關系式:

其余各自由度控制器與此類似。而PID控制器參數仍如前所示，經過PC機和CCS軟件編程，調試通過后即可下載到DSP中進行實時控制。

圖7是系統從0 r/min到15 000 r/min升速時，轉子徑向第1自由度的振動曲線圖，其余各自由度與此類似。圖7中，在3 900 r/min和11 400 r/min轉速附近，兩條曲線都存在兩個明顯的峰值，H∞控制曲線中兩峰值分別為4.44μm和6.57μm;PID曲線中兩峰值分別為6.31μm和7.2μm，H∞控制在臨界轉速處的振動幅值小于PID控制，其中第一階臨界轉速處幅值減少29.6%，第一階臨界轉速處減少8.75%。說明H∞控制策略能夠更好地抑制固有頻率處轉子的振動，系統具有較強的魯棒穩定性和較好的動態性能。

圖7 轉子振動曲線Fig.7 Vibration curves of the rotor

4 結論

(1)本文以五自由度磁懸浮軸承轉子系統為對象，建立了系統數學模型，提出了根據轉子在固有頻率處的振幅選擇加權函數的方法，采用混合靈敏度H∞優化控制理論，對被控對象的不確定性進行估計，獲得加權函數W3(s)。

(2)利用激振試驗，獲取轉子前二階固有頻率值，根據這兩個固有頻率處轉子的同頻振動幅值求得加權函數W1(s)，借助matlab的LMI工具箱，獲得魯棒控制器并應用于磁懸浮控制系統中。

(3)仿真和試驗結果表明，本文所提出的抑制柔性轉子固有頻率處不平衡振動的加權函數選擇方法有效可行，由此得到的H∞控制器能夠保證磁懸浮軸承柔性轉子系統高速運行，系統具有良好的魯棒穩定性和抑制轉子振動的能力。

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