離心－振動試驗系統的準連續高階終端滑模控制方法

王躍鋼，左朝陽，2，文超斌，郭志斌

令方程組右端等于零，得到方程唯一解:

離心－振動試驗系統因離心機與振動臺之間運動存在耦合現象而成為一種不確定非線性系統［1］，對于這類復雜的不確定非線性系統采用線性控制理論和設計方法難于進行。而一般對于振動臺控制算法的研究大多建立在線性系統的基礎之上［2－5］，算法的穩定性和收斂速度等方面還需要進一步研究，同時還存在控制精度不高，控制魯棒性差，操作也不方便等問題。因此，控制算法設計的好壞直接關系到系統的輸出模擬過載振動復合環境的精確度。而滑模控制既適用于線性系統，又適用于非線性系統，其算法簡單，設計方便，對外部干擾及參數攝動具有強魯棒性，且有限時間收斂［6］。

然而傳統的滑模控制的不連續性會導致所謂的“抖振”現象，且傳統滑模控制一般采用線性滑模面設計，系統狀態收斂時間趨于無窮，容易造成較大的累積跟蹤誤差。為了解決無限時間收斂問題，通過在滑模設計中引入非線性函數［7］而產生的終端滑模控制，使得在滑動模態跟蹤誤差能夠在有限時間收斂至零;后來Yu等［8］提出快速終端滑模面進一步提高收斂速度;Feng等［9］針對終端滑模控制中可能出現奇異現象，提出了非奇異終端滑動模態，避免了奇異問題，并在文獻［10－11］中基于終端滑模設計方法，提出一種二階、三階及高階終端滑模控制方法，實現了無抖振滑模控制，提高了系統的動態響應速度。同時由于準連續高階滑模能夠有效消除抖振［12－16］，獲得更高的控制精度;因此本文在文獻［14］基礎上，根據離心－振動試驗系統振動特點，設計基于二階終端滑模面的準連續高階終端滑模控制器，在保證魯棒性和抗干擾性的同時獲得連續的控制信號。仿真結果表明，該控制器實現了離心振動試驗系統的振動位移控制，能夠較好地實現振動位移跟蹤，并在有限時間內收斂。

1 高階滑模控制介紹

定義1:假設滑動模態s沿系統軌跡的微分量s·，存在且為系統狀態的連續函數，于是r階滑動模態集合由下面的等式確定。

假設r階滑動模態集合非空且為Fillipov意義下的局部積分集合，則稱符合式(1)的運動為基于滑動模態s的r階滑模，而r定義為系統的滑動階。

考慮如下非線性仿射系統

式中:s為系統可測輸出量，u為系統控制量，函數a，b，s充分光滑。設系統相對階為r，式中輸出量沿系統軌跡進行r次微分，于是有:

其中:h(t，ξ)=s(r)u=0，g(t，ξ)= ? s(r)/?u。設下述不等式成立

其中:Km，KM，C＞0。式(3)～(4)意味著微分包含:

成立。

引理 1［14］:定義

如果恰當選擇參數 β1，…，βr－1，α ＞0，則控制作用(7)將使得系統(2)在有限時間內到達r階滑模面。

2 離心－振動試驗系統準連續高階終端滑模控制器的設計

2.1 離心－振動試驗系統數學模型

離心－振動試驗系統是通過將振動臺安裝在離心機臂臂端來實現的，它以離心機為載體模擬過載環境，通過在其臂端上的振動臺模擬振動環境。圖1為離心－振動試驗系統示意圖。

圖1 離心－振動試驗系統示意圖Fig.1 Diagram of centrifuge force-vibration test system

整個離心－振動試驗系統可簡化為兩個部分，電路部分和機械部分，如圖2所示。

圖2 離心力－振動試驗系統物理模型Fig.2 Physics model of centrifuge force-vibration test system

為進一步簡化系統模型，做以下三點假設:① 電動振動臺只有一個自由度;② 氣隙磁通密度為常數;③電動振動臺等效為一個剛體。則振動臺的動力學模型可表示為［17］:

再根據多剛體動力學方程，在離心力作用下振動臺面所受廣義力為:

將以上離心－振動試驗系統動力學模型描寫成狀態方程為:

2.2 離心－振動試驗系統振動位移跟蹤高階終端滑模控制器設計

設振動位移的給定值與實際值的誤差為:e=xx*，設計如下的終端滑動模面為:

選擇實常數λi(i=1，2，3)使系統具有期望的動態性能，其中，λi＞0，1 ＜ p/q＜2，p，q均為正奇數。那么有如下定理:

定理1:對于式(10)和(11)構成的離心－振動試驗系統，如果選擇如下控制律:

其中:β為設計參數，加入ε為保證控制輸入更加光滑，Ψ的具體表達見證明過程。在該控制律作用下，能夠使系統到達滑模面流形，并保證系統在有限時間內收斂。

X=(x v i)為狀態變量。

將控制律(12)代入上式(13)，可得:

其中:α≥0，則上式滿足的充分條件為:

由式(18)可得:

由于g的上界是已知，可通過系統的干擾和不確定性估計得到。從而只要滿足:

就有V＜0，只要選擇合適的β值，使上式成立，因此，根據李雅普諾夫穩定性理論知，系統將在有限時間到達并停留在終端滑模面s=0上。

當系統狀態到達滑模面時，由(11)式s=0有:

令方程組右端等于零，得到方程唯一解:

3 仿真結果及分析

為驗證本文所提出的振動位移跟蹤控制方法的可行性和有效性，選取如下離心振動復合系統參數進行數學仿真。臺面、動圈等效質量m=1.5 kg;剛度k0=9 500 N/m;阻尼c=50 N/(m·s－1);磁感應強度B=0.5 T;動圈長度 l=28 m;電阻 R=0.5 Ω;磁感 L=100 μH;初始位移 x0=0，速度 v0=0，電流 i0=0;r=1.5 m;期望振動為正弦位移 x*=0.04sin(2πt/4)及階躍輸入;干擾力為 d=sin(2πt/16)×10－2。系統參數與控制器參數值分別取以下值:λ1=λ2=λ3=0.5;β =0.8;p=5，q=3，α =0.5;ε =0.005;ω = π/6 rad/s。仿真結果如圖3～圖6所示，分別給出了正弦振動位移跟蹤曲線、方波響應曲線，控制輸入曲線及誤差曲線。

從圖2、圖3跟蹤曲線可以看出，采用文章所用的算法的位移跟蹤速度非常快，尤其對于方波輸入響應，能夠快速恢復到給定值，表明盡管系統存在較大的不確定性和干擾下，但由于采用了二階終端滑模和準連續高階滑模技術，有效消除了不確定性和外干擾的影響，使得輸出振動位移能夠比傳統滑模更快的跟蹤指令信號。從圖4控制輸入曲線可以看出盡管沒有完全消除控制量的抖振現象，但已經大大地降低了抖振。圖5誤差曲線表明傳統滑模由于沒有采取去抖振措施使得控制精度相對較低。

圖3 正弦振動響應曲線Fig.3 Response curve of sines vibration

圖4 方波響應曲線Fig.4 Response curve of square wave

圖5 正弦控制輸入曲線Fig.5 Input curve of sine control

圖6 振動位移跟蹤誤差曲線Fig.6 Error curve of displacement vibration

以上仿真的結果可以看出，準連續高階終端滑模控制器能夠在外界干擾和系統參數不確定情況下，使系統快速進入穩態，并完成離心振動復合系統振動位移跟蹤控制，從驗證了高階終端滑模控制器的有效性和合理性。同時，高階終端滑模控制器也有效的降低了抖振現象，系統本身控制量變得更加光滑，并顯著地提高了跟蹤速度。

4 結論

本文針對電動振動臺在離心力作用下存在模型不確定性和外界干擾情況下的振動位移跟蹤控制問題，通過高階滑模控制理論，設計了基于高階滑模的離心－振動復合系統的振動位移跟蹤控制器。為了快速跟蹤輸入指令，根據建立的離心－振動復合系統的數學模型的特點，引入二階終端滑模面，并通過李雅普諾夫第二法及反饋控制理論，建立了高階終端滑模控制器，證明了其穩定性和全局收斂性。仿真結果表明，高階終端滑模振動位移跟蹤控制器能夠有效消除滑模控制的“抖振”現象，與傳統滑模控制相比能夠快速地和精確地跟蹤輸入指令，進一步說明了該設計理論的正確性及方法的可行性。

［1］朱先輝，閏桂榮，牛寶良，等.離心力場中電動振動臺的建模［J］.振動與沖擊，1999，18(3):37－44.ZHU Xian-hui， YAN Gui-rong， NIN Bao-liang， et al.Modelling of electrodynamic vibrator under centrifugal fore field［J］.Journal of Vibration and Shock，1999，18(3):37 －44.

［2］ Dupont P E.Avoiding Stick-slip Through PD Control［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1994，39(5):1094－1097.

［3］ Armstrong B，Neevel D，Kusik T.New results in NPID control:tracking，integral control，friction compensation and experimental results［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology.2001，9(2):399－406.

［4］Karshenas A M，Dunnigan M W，Williams B W.Adaptive inverse control algorithm for shock testing［J］.IEEE Proc-Control Theory and Applications，2000，147(3):267 －276.

［5］ Groud D R，Gupta H O，Agarwal P.Design of random vibration controller using adaptive filtering［J］.International Journal of Recent Trends in Engineering，2009，2(5):75－79.

［6］吳忠強，夏 青.基于奇異攝動理論的電液伺服系統Backstepping滑模自適應控制［J］.振動與沖擊，2012，31(11):154－157.WU Zhong-qiang，XIA Qing.Backstepping sliding mode adaptive control of an electro-hydraulic servo system based on singular perturbation theory［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(11):154－157.

［7］Man Z H，Palinski A P，Wu H R，et al.A robust MI-MO terminal sliding mode control for rigid robotic manipulators［J］. IEEE Transactions on Automatic Control，1994，39(12):2464－2468.

［8］Yu X H，Ma Z H.Fast terminal sliding mode control design for nonlinear dynamical systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications，2002，49(2):261－263.

［9］ Feng Y，Yu X，Man Z.Non-singular adaptive terminal sliding mode control of rigid manipulators［J］.Automatica，2002，38(12):2159 －2167.

［10］ Feng Y，Han X，Wang Y，et al，Second-order terminal sliding mode control of uncertain multivariable systems［J］.International Journal of Control，2007，80(6):856 862.

［11］ Feng Y，Yu X，Han F，On nonsingular terminal sliding mode control of nonlinear systems［J］.Automatica，2013，49(6):

1715 1722.

［12］ Levant A.Higher-order sliding modes，differentiation and output-feedback control［J］.International J. of Control，2003，76(9/10):924－941.

［13］ Levant A.Homogeneity approach to high-order sliding mode design［J］.Automatica，2005，41:823 － 830.［14］ Arie Levant.Quasi-continuous high-order sliding-mode Controllers［J］.IEEE Trans on Automatic Control，2005，50(11):1812－1816.

［15］Pukdeboon C，Zinober A S，Thein M W.Quasi-continuous higher-order sliding mode controller designs for spacecraft attitude tracking maneuvers［J］.IEEE Trans on Industrial electronics，2008，57(4):1436 －1444.

［16］ Shtessel Y B，Christian H.Integrated higher-order sliding mode guidance and autopilot for dual-control missiles［J］.J of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32(1):79－94.

［17］郭繼峰，任萬濱，康云志，等.電動振動臺模型辨識方法

及其應用的研究［J］.振動與沖擊，2011，30(7):241－244.

GUO Ji-feng，REN Wan-bin，KANG Yun-zhi，et al.Model identification method for a electrodynamic vibration shaker and its application［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(7):241－244.