爆炸載荷下固支矩形板的大撓度塑性動力響應

顏 豐，劉敬喜

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢 430074

爆炸載荷下固支矩形板的大撓度塑性動力響應

顏 豐，劉敬喜

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢 430074

從矩形板的小撓度運動方程出發，通過引入膜力因子，給出四邊固支矩形板在大撓度變形情況下的運動方程，分析矩形板大撓度塑性動力響應，并根據運動方程導出在矩形脈沖載荷作用下四邊固支矩形板的運動微分方程，求解矩形板的最大殘余變形計算式。同時，通過假設的應變率效應系數選取方法，解決大撓度加載情況下材料屈服應力的增加問題。使用有限元仿真手段驗證了帶有移行鉸線的變形機構，對已有的實驗樣本和補充的有限元模型進行計算，并將計算出的理論結果與已有實驗結果和有限元結果進行了比對，吻合較好。

矩形板；塑性動力響應；爆炸載荷；矩形脈沖；膜力因子；應變率效應

0 引 言

爆炸載荷作用下矩形板結構的塑性動力響應研究很早便受到理論界與工程界的廣泛關注。對于矩形板這種二維的非軸對稱結構，因其主應力方向事先不知道，因而使得有關矩形板的理論分析相當復雜和困難，尤其在大撓度情形下，既有材料非線性，又有幾何非線性。盡管如此，近年來仍有不少學者在研究有關爆炸載荷下矩形板結構的大撓度塑性變形問題。例如，朱錫等［1］對爆炸載荷下的固支方板進行了理論分析和試驗分析，導出了固支方板在爆炸載荷作用下的應變場，分析了方板的破裂形式，并給出了破裂臨界壓力值。Chung和 Nurick［2-3］對爆炸載荷下方板、單加筋、雙加筋、十字加筋和雙十字筋方板的塑性動力響應進行了一系列實驗研究，獲得了相當數量的爆炸載荷下加筋板大撓度變形和撕裂的實驗結果，并對實驗樣本進行了有限元仿真。Park和Cho［4］對爆炸載荷下矩形板和加筋矩形板的最終變形提出了新的經驗公式，采用MSC/DYTRAN軟件進行了有限元仿真，并與數值結果和實驗結果進行了比對。章媛和茍瑞君［5］根據塑性變形理論，推導出了矩形板在水下爆炸載荷作用下中心處撓度的解析解，利用LS-DYNA有限元軟件對矩形板的水下爆炸沖擊過程進行了數值仿真，并進行了相關的水下爆炸試驗。何建等［6］運用能量守恒原理分析了四邊固支矩形鋼板的剛塑性大撓度變形的動力響應，推導了最大塑性變形計算公式，并與LS-DYNA的有限元仿真結果和前人的試驗結果進行了比對，獲得了令人滿意的結果。

早在1992年，余同希和陳發良［7］就曾考慮過大撓度響應的移行塑性鉸相，并在角動量守恒方程中同時考慮了彎矩和大撓度誘導的膜力產生的合力矩的作用，進行了較為完整的理論分析，但只給出了瞬動載荷作用下的算例，而沒有給出矩形脈沖載荷作用下的理論分析結果。

本文參照文獻［7］提出的膜力因子法，將對固支矩形板的塑性動力響應進行研究，推導同時考慮彎矩和膜力聯合作用下的固支矩形板運動模式及運動方程，給出矩形脈沖載荷作用下的計算結果，并將與有限元仿真和Nurick的試驗結果進行對比，以得出一些有意義的結論。

1 矩形板小撓度變形分析

假設一寬為a，長為b，厚度為H的矩形板，其周邊為固支，單位面積質量為μ，其上承受均布動力載荷P(t)的作用，不計自身板重，如圖1所示。板的單位長度塑性極限彎矩為

式中，σs為屈服應力。

圖1 四邊固支矩形板Fig.1 Fully clamped rectangular plate

1.1 靜力極限狀態下變形機構的選取

首先討論四邊固支矩形板處于靜力極限狀態時的破壞機構，圖2和圖3所示分別為兩種可能的變形機構形式。

圖2 變形機構IFig.2 Deformationmechanism，pattern I

圖3 變形機構IIFig.3 Deformationmechanism，pattern II

變形機構I的靜力極限方程為

變形機構II的靜力極限方程為

將方程組（3）中的ξp消去并聯立方程，得

1.2 小撓度變形的運動控制方程

假設在某一瞬間均布載荷P(0)=P*＞P0，此時，板開始發生變形。一般而言，板變形應優先考慮變形機構II，即在板中部有一個發生平動運動的塑性區，在它四周的四塊剛性板則分別繞各自的邊界作剛體轉動。

矩形板小撓度變形的變形機構II的運動方程組為

式中，τ為無因次時間

?1為無因次轉角

p(τ)為無因次均布載荷

2 固支矩形板大撓度變形分析

2.1 引入膜力因子建立大撓度變形運動控制方程

當固支矩形板變形的撓度達到甚至超過板厚，同時平板邊緣在平面方向上為固定而無法移動時，就需要計入大撓度誘導的膜力效應，因為膜力將會通過耗散變形能量增強結構剛性而對變形產生影響。

引入隨矩形板變形而增大的膜力因子 f1和f2

式中，w0為中央平臺區的位移；η為無因次化后的中央平臺區位移。

則考慮膜力因素后，矩形板大撓度變形的變形機構II的運動方程組為：

在本文討論的爆炸載荷下，矩形板先以變形機構II的方式運動，并發生鉸線移行，當鉸線移行至δ=時，轉化為機構I的運動方式。

2.2 矩形脈沖加載下矩形板的動態微分方程

可將板的變形分解為若干階段。

2.2.1 第1階段

0≤τ≤τT，τT為脈沖加載時間，p(τ)=p* ，I(τ)=p*τ，運動微分方程為

由此，ξ和δ的初值ξ0和δ0的近似解便可由方程組（15）用數值方法求得。再將 ξ0,δ0和式（13）聯立，使用龍格—庫塔積分獲得ξ和δ的值。

此外，矩形板區域①繞邊界軸的轉角為

2.2.2 第2階段

ξ和δ的初值由第1階段計算獲得，和式（18）聯立使用龍格—庫塔積分獲得ξ和δ的值。

矩形板區域①繞邊界軸的轉角及轉角速度計算同式（16）和式（17）。

2.2.3 第3階段

τ2＜τ≤τ3，其中 τ=τ3時，ξ=0 。運動微分方程組為

其中，η的初值為

ξ和?1的初值由第2階段獲得，和式（20）聯立使用龍格—庫塔積分獲得ξ,φ1和η的值。

矩形板區域①繞邊界軸的轉角計算同式（16）。

2.2.4 第4階段

τ3＜τ≤ τf，ξ=0 即 ξ=ξf，常數。式（20）可簡化為

其中，η的初值為

?1的初值由第3階段計算獲得，將?1和η的初值與式（22）聯立，使用龍格—庫塔積分獲得?1和η的值。

3 計算實例與結果分析

3.1 矩形板變形的有限元仿真

采用有限元分析軟件ABAQUS/Explicit v6.8-1進行數值模擬。模型參照文獻［2］中的實驗樣本建立，其面板的長和寬均取原文的實驗樣本數據，而外加均布載荷則為

式中，T為載荷加載時間。本文亦給出了14.5μs的估計值。

自建模型，其面板厚度均取1.6 mm，面積約16 000mm2。建模時，在各矩形板和加筋板的面板外加一外框，再如圖4所示將邊界約束施加于外框上。自建模型的外加均布載荷為矩形脈沖，幅值150 MPa，持續時間14.5 μs。采用彈塑性材料模型，楊氏模量E=210GPa，材料密度 ρ=7 850 kg/m3，靜態屈服應力為242MPa；考慮材料應變率效應的影響，D=40.4 s-1，q=5［8］。

圖4 有限元模型邊界約束和加載示意圖Fig.4 Boundary conditions and loadsof finite elementmodel

為了驗證前文所提出的固支矩形板的兩種變形機構及其轉化，取長寬比為1.6∶1的有限元模型U02作為參照，有限元變形仿真結果如圖5和圖6所示。

圖5 模型U02有限元仿真變形總體示意圖Fig.5 Deformation of finite elementmodel U02

圖6 模型U02有限元仿真中點截面變形圖Fig.6 Section deformation of finite elementmodel U02

在以上矩形板變形圖中，從變形起始至111 μs左右，中點截面圖的板截面呈平頂狀突起，這說明在固支矩形板的變形過程中出現了中央平臺區。而由變形總體示意圖則可以看出，其中央平臺區大致呈矩形，并且其大小是隨時間的后移逐漸變小，這說明鉸線移行在有限元仿真中也是存在的。

在111μs和165μs之間的某個時刻，中點截面圖中的平頂轉變為近似尖頂，反映出變形機構II的中央平臺區消失，轉換為對應尖頂的中央鉸線，這說明在有限元仿真中同樣存在變形機構II向變形機構I的轉換。

3.2 應變率效應系數的選取

當對矩形板進行實際動力加載時，其材料的屈服應力將會隨著應變率的增大而增大，稱之為應變率效應。若應變率效應較為顯著，則此時式（1）中的屈服應力應采用動態屈服應力，其表達式為

式中，σs為材料的靜態屈服應力；α為應變率效應系數，表征動態屈服應力較靜態屈服應力的放大倍數。

關于應變率效應系數的取值，Cloete等［9］曾針對周邊固支中央簡支的圓板，將具體實驗結果與塑性功—動能守恒條件相結合，推導出其參考值為2.8。本文的理論計算所依據的變形機構因含有平臺區及移行鉸線，而文獻［9］在固支圓板的理論分析中并未考慮平臺區和移行鉸線，所以不宜直接采用上述參考值。此外，由于移行鉸線的存在，使得對矩形板在不同時刻的整體應變推導較為困難。

針對應變率效應系數推導的難點，本文擬從相反方向著手解決，采用1.0～3.0范圍內的各應變率效應系數同時進行理論計算，并將獲得的不同計算值與實驗數據或有限元結果進行比對，從而選擇出合適的應變率效應系數。

文獻［9］在進行應變率效應系數的驗證時，使用了 Bodner和 Symonds［10］，以及 Nurick［11］在實驗中所獲得的達到變形峰值的響應時間。本文相應地也對計算樣本建立了有限元模型，而后將通過有限元仿真獲得的達到變形峰值的響應時間作為主要參考值，再將其和各應變率效應系數所對應的板變形峰值響應時間計算值進行比對，以選出適合該計算模型的應變率效應系數。此外，由于在有限元仿真中將板材料定義為彈塑性模型而未設置其阻尼系數，使得矩形板模型在變形后期發生了反復的小幅振動，因此，此處取其第1次達到變形峰值的響應時間。同時，由于本文的理論計算所采用的板材料假設為剛塑性模型，故其變形的總響應時間即為平板達到變形峰值的響應時間。

以文獻［2］中的試驗樣本S01為例，以有限元計算獲得的板變形峰值時間為參考值，另選取應變率效應系數1.0～3.0進行計算，獲得了對應的板變形響應時間理論計算值—系數關系曲線如圖7所示。

圖7 模型S01板變形響應時間的理論計算與有限元結果Fig.7 Theoreticaland finite element results of deformation time ofmodel S01

由圖7可以看出，當理論計算采用的應變率系數為2.3時，平板變形峰值響應時間的理論計算值與有限元結果較為近似。所以，在計算板中點位移時，選取2.3作為樣本S01的應變率效應系數。

3.3 與試驗結果的比對及分析

按照以上提出的應變率效應系數選取方法計算文獻［2］的方板樣本，并與實驗值進行比對，結果如表1所示。

表1 固支方板樣本理論計算與實驗結果對比Tab.1 Resu ltsofm id-point disp lacem ent of theoretical calcu lation and experim ents

由表1的結果對比可以看出，在選取適當應變率效應系數的前提下，方板大撓度變形的中點位移的理論計算值與實驗值吻合良好。

3.4 有限元補充模型計算結果

文獻［7］運用膜力因子法對Jones在1971年的試驗［12］中獲得的、無因次變形范圍在0～5內的數據進行了理論計算與試驗數據比對，而前文所計算的文獻［2］中的試驗樣本均為長寬比為1∶1的方板，為進一步考察固支矩形板在大撓度變形下的響應，本文利用有限元仿真分析另給出了長寬比在1.3～4范圍且無因次變形均大于5的5個模型作為補充算例，所得計算結果如表2所示。

表2 固支矩形板模型理論計算與有限元仿真結果對比Tab.2 Resu lts ofm id-poin t disp lacem en t of theoretical calcu lation and finite elem ent sim ulation

由表2的結果對比可以看出，在選取適當應變率效應系數的前提下，即使在模型長寬比達4∶1的情況下，固支矩形板變形的中點位移的理論計算值與有限元計算值仍然符合較好。

4 結 論

在矩形板的塑性動力響應過程中，當其撓度達到或超過厚度量級時，由于膜力的作用，使得僅考慮彎矩作用的小撓度理論不再適用，此時，必須引入膜力作用的影響來研究矩形板的大撓度塑性變形響應。

本文從矩形板的小撓度變形出發，將膜力因子引入小撓度變形運動方程，獲得了大撓度情況下的變形運動方程。推導了在加載矩形脈沖情況下矩形板的運動微分方程。與文獻［7］相比，本文是直接使用在推導時所用的矩形脈沖載荷，而非再另外推導相應的瞬動載荷進行加載計算，而且所用的實驗樣本和有限元模型也具有更大的無因次位移和多種長寬比。

本文通過理論分析、有限元仿真和實驗對比，得到了以下結論：

1）在理論分析中所采用的帶有中央平臺區和移行鉸線，并且發生轉換的變形機構是能夠通過有限元仿真手段進行驗證的。

2）本文所假設的通過有限元仿真方法獲得板變形峰值對應的響應時間，進而反推得到理論計算可用的應變率效應系數的方法是可行的。

3）在選取適當的應變率效應系數前提下，膜力因子法能對無因次位移達到5以上的大撓度變形和矩形板長寬比在1～4范圍內的實例進行良好的中點最終位移預報。

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The Large Deflection Dynam ic Plastic Response of Rectangu lar Plates Sub jected to Blast Load

YAN Feng，LIU Jingxi
Schoolof Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

By introducing the membrane force factors，the motion equations of rectangular plates in the case of small deflection aremodified to fit in the case of large deflection，and the corresponding dynamic plastic response is analyzed.Meanwhile，the motion differential equations of fully-clamped rectangular plates subjected to blast loads are derived，with the loads being rectangular pulses.Therefore，the formulas ofmaximum permanent deformation of rectangular plates can be solved.In addition，this paper investigates the problem of yield stress increasing under high strain rate by employing an assumed selectionmethod for the strain rate effect coefficient.Finally，the proposed motion patterns are verified with a finite elementmethod，where the existing experimental samplesand the new finite elementmodels are both calculated using the described theoreticalmethod.The results are then compared with those obtained from previous experiments aswell as finite element simulations，and good agreement between the two can be clearly observed.

rectangular plate；dynamic plastic response；blast loading；rectangular pulse；membrane force factor；strain rate effect

U661.41

A

1673－3185（2013）01－47－07

10.3969/j.issn.1673-3185.2013.01.008

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20130116.1428.007.htm l

2012－05－08 網絡出版時間：2013-01-16 14:28

顏 豐（1987－），男，碩士。研究方向：沖擊動力學。E-mail：545225243＠qq.com

劉敬喜（1975－），男，博士，副教授。研究方向：船舶結構振動與噪聲控制。E-mail：liu＿jing＿xi＠mail.hust.edu.cn

劉敬喜。

［責任編輯：盧圣芳］