主成分分析法激勵源識別試驗研究

李開福，李 威

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢430074)

主成分分析法(principal component analysis，PCA)［1-3］根據協方差最大的原理，使測試數據從高維空間向低維特征空間轉換，以實現壓縮降維功能，在激勵源識別方面已取得應用［4］。然而，測點分布和測點數目對主成分分析法激勵源識別效果影響的研究卻仍是一片空白。本文以兩端彈性支撐鋁梁為研究對象，試驗研究主成分分析法識別激勵源數目、主成分頻譜特性及貢獻率隨測點分布和測點數目變化的規律。

1 試驗

試驗對象為一兩端彈性支撐的鋁梁，其相關參數為:長1.5 m，截面寬0.06 m、厚0.03 m，密度2 100 kg/m3，彈性模量70 GPa。對于彈性支撐，在梁的兩端各安裝一隔振器。

在梁的上表面沿梁的長度方向均勻布置了16個加速度響應測點，在與5#測點、11#測點與12#測點中點對應的梁的下表面布置了2個激勵點，分別為J1和J2。激勵力試驗時所需的激勵力是通過采用兩個激振器在兩個激勵點進行施加的。測點和激勵點的布置見圖1。

圖1 測點和激勵點布置示意

經測點布置、激振器安裝、設備連接完成后，調試系統使其正常工作。打開1號、2號激振器系統，分別設定兩激振器系統信號源的激勵頻率，使其輸出不同頻率的單頻正弦激勵力信號，同時適當調節激勵力幅值大小和電壓并使其穩定，在J1和J2兩激勵點對梁結構同時進行激勵。采集各測點的加速度響應時域信號，歷經一定時長的激勵后，停止采樣，調小電壓直至歸零，關閉儀器，完成雙激勵力試驗。雙激勵力試驗中激勵點J1、J2所設定的激勵頻率分別為72.5和839.5 Hz。

2 主成分分析法激勵源識別分析

2.1 主成分分析法激勵源識別驗證

為驗證主成分分析法激勵源識別的有效性，選取由3個測點(2#、3#、4#)響應數據構成的樣本集進行激勵源識別計算，并將其轉化到頻域內，分析激勵源的識別效果。計算結果見圖2～5。

圖2 主成分功率譜

圖3 相鄰主成分對比

圖4 單個主成分貢獻率

圖5 主成分累計貢獻率

由圖2可見，前兩個主成分在功率譜量級上很接近，遠大于第三個主成分。在第一主成分中，7 3 Hz和4 8 0 Hz附近存在很大的峰值，這與72.5 Hz和479.5 Hz的實際激勵頻率是基本一致的。在相鄰主成分比值曲線圖3中，第一主成分與第二主成分的比值在101左右，而第二主成分與第三主成分的比值則很大，在絕大部分頻段內其量級為1015，即第三主成分遠小于第二主成分。

由圖4可見，在絕大部分頻段內，第一主成分貢獻率在0.8以上，第二主成分貢獻率在0～0.2之間，第三主成分貢獻率接近于零或等于零。從累計貢獻率圖5可以看出，前兩個主成分的累計貢獻率很高，幾乎在整個分析頻段等于1，即前兩個主成分幾乎包含了所有有效信息。

綜上分析，由3個測點數據組成的樣本集中所包含的有效信息可由前兩個主成分來近似表示。這從激勵源識別的角度來說，就是梁受到兩個激勵源的共同激勵作用，且激勵頻率在73 Hz和480 Hz附近。這與實際的激勵源數目為2，激勵頻率分別為72.5 Hz和839.5 Hz是相符的。因此，用主成分分析進行激勵源識別計算是可行有效的。

2.2 測點分布對激勵源識別效果影響分析

選取四組測點分布，進行主成分激勵源識別計算，分析測點分布對激勵源識別效果的影響。組一:測點2#、3#、4#。組二:測點5#、6#、7#。組三:測點9#、10#、11#。組四:測點14#、15#、16#。各分布下第一主成分、第二主成分的對比曲線見圖6～7。

圖6 各分布下第一主成分對比

圖7 各分布下第二主成分對比

在繪制第一、二主成分隨測點分布變化對比曲線的同時，還計算了各組分布下各參量(包括第一、二主成分單獨貢獻貢獻率和累計貢獻率、激勵源數目)的變化情況，以及第一主成分功率譜隨測點分布的變化順序表。見表1～2。

表1 各參量隨測點分布變化表

表2 第一主成分功率譜隨測點分布變化表

1)從圖6～7可見，主成分功率譜隨測點分布的不同而變化。在整體規律上，第一、二主成分功率譜隨測點分布的變化是基本一致的。在各分布下，與第二主成分相比，第一主成分在兩個激勵頻率840 Hz和72 Hz附近，其譜幅值變化小于非激勵頻率處。

2)由表2和圖6綜合分析可知，第一主成分功率譜在不同激勵頻率、非激勵頻率處譜幅值大小的變化各有不同。在第一激勵頻率840 Hz附近，各分布下譜幅值大小的順序是:組四＞組一＞組三＞組二，而在激勵頻率72 Hz附近，其順序則相反:組二＞組三＞組一＞組四。在絕大部分非激勵頻率處，功率譜幅值大小順序則為:組四＞組三＞組一＞組二。

3)從表1可見，隨著測點分布的變化，主成分貢獻率和累計貢獻率均有所變化。與組一相比，組二中的測點更靠近1號激勵點J1，受1號激振器激勵力的作用較明顯，第一主成分貢獻率很高，達到0.978 25，明顯大于組一的0.807 56;相應地，組一的第二主成分貢獻率0.192 37，明顯大于組二的0.020 15。而第一、第二主成分的累計貢獻率則維持在一個對穩定的水平，均為0.993 00以上。同樣的，與組四相比，組三的測點更靠近2號激勵點J2，受1號激振器激勵力的作用較明顯，其第一主成分貢獻率較高，達到0.975 73，明顯大于組四的0.828 19;相應的，組三的第二主成分貢獻率0.019 57明顯小于組四的0.169 94。而前兩個主成分的累計貢獻率仍維持在一個穩定的水平。

4)隨著測點分布的變化，主成分貢獻率和累計貢獻率均存在不同程度的變化，但主成分分析識別激勵源的數目卻保持恒定，均為2，與實際激勵情況相符。

5)綜上分析，除了激勵源數目不受測點分布影響而維持恒定外，主成分貢獻率、主成分頻譜特性受測點分布的影響明顯，這可在一定程度上為激勵源的相對位置判定提供依據。

2.3 測點數目對激勵源識別效果影響分析

為探究測點數目對激勵源識別效果的影響，選取四組測點分布，進行主成分激勵源識別計算分析。組一:測點2#、3#、4#。組二:測點2#、3#、4#、5#、6#。組三:測點2#、3#、4#、5#、6#、7#、8#。組四:測點2#、3#、4#、5#、6#、7#、8#、9#、10#。計算結果見圖8～9、表3～4。

圖8 不同測點數目下第一主成分對比

圖9 不同測點數目下第一主成分對比

表3 各參量隨測點數目變化表

表4 第一主成分功率譜隨測點數目變化表

1)由圖8～9可見，第一、二主成分功率譜在大部分頻段內隨測點數目的變化很不明顯。僅靠肉眼的觀察，難以分析測點數目對激勵源識別效果的影響。

2)由表4和圖8綜合分析可知，在激勵頻率和絕大部分非激勵頻率處，第一主成分功率譜幅值隨測點數目的增加而增大。

3)由表3可見，隨著測點數目的增加，第二主成分貢獻率、前兩個主成分累計貢獻率呈下降趨勢。而第一主成分貢獻率在受測點數目增加的同時還受到增加測點位置的影響，與組一相比，組二增加的兩個測點5#、6#非常靠近1號激勵點，受1號激振器激勵力的作用非常明顯，因此組二的第一主成分貢獻率較高。

4)在選取計算的測點數目大于激勵源數目的情況下增加測點，對識別激勵源的數目沒有影響，均為2。

綜上分析，隨著測點數目的增加，主成分貢獻率和累計貢獻率呈下降趨勢，但第一主成分貢獻率還同時受到增加測點的位置的影響;在激勵頻率處和絕大部分非激勵頻率處第一主成分譜幅值呈增長趨勢。激勵源識別數目不受測點數目的增加而變化。

3 結論

1)主成分分析激勵源識別有良好的穩定性，識別的激勵源源數目不隨測點分布和數目變化;

2)主成分貢獻率、主成分頻譜特性受測點分布的影響明顯，可在一定程度上為激勵源的相對位置判定提供依據;

3)隨著測點數目的增加，主成分貢獻率和累計貢獻率呈下降趨勢，但第一主成分貢獻率還同時受到增加測點的位置的影響;在激勵頻率處和絕大部分非激勵頻率處第一主成分譜幅值呈增長趨勢。

尤其值得指出的是，文中研究發現不同激勵力激勵頻率隨測點分布不同呈現不同的變化趨勢，在日后的研究中可進一步對其進行研究。這樣在識別得到激勵源數目的同時，還能獲得不同激勵力的相對作用位置和判定激勵頻率。

［1］SU TTON T J.Active control of road noise inside vehicles［J］.Noise Control Eng，1994，42(4):137-147.

［2］LINSKER R.Local learning rule that enables information maximization for arbitrary input distributions.Neural Computation，1997，9(8):1661-1679.

［3］CHO M S，KIM K J.Indirect input identification in multi-source environments by principal component analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2002，16(5):873-883.

［4］梁勝杰，張志華，崔立林.主成分分析法與核主成分分析法在機械噪聲數據降維中的應用比較［J］.中國機械工程，2011(1):80-83.