異形單牙輪鉆頭井底牙齒軌跡的Matlab仿真*

李少陽，鄧 嶸

(西南石油大學，四川 成都 610500)

1 引言

前人研究表明，單牙輪鉆頭因其自身的結構特點和運動方式，對于小井眼鉆井和水平鉆井有不可替代的工作優勢。筆者主要利用數學計算軟件Matlab對異形單牙輪鉆頭在井底所形成的的牙齒軌跡模擬仿真，利用牙齒軌跡覆蓋井底的情況，以此來指導牙齒及牙輪的結構設計。

異形單牙輪鉆頭主要是從結構特點上相對于球形單牙輪鉆頭而命名的，它的牙輪形式并非規則的球形。但其運動形式依然是繞鉆頭主軸的回轉運動以及牙輪繞自身主軸的旋轉運動。二者復合形成牙齒在井底的空間軌跡。圖1為一種異形單牙輪鉆頭。

2 建立計算機仿真模型

首先根據各種齒形的方程用笛卡爾直角坐標系法建立牙齒模型，通過Matlab軟件輸入牙輪的齒圈數、每圈牙齒布齒數、牙輪外廓半錐角、各齒圈定位高度、各齒圈初始布齒角、定位半徑;鑲齒偏轉角、牙齒鑲裝后出刃高度等結構參數。再通過平移及分別繞X，Y，Z軸旋轉的矩陣變換。進而得到整個牙輪的模型［2］，如圖 2 所示。

3 牙齒軌跡

輸入鉆頭的輪速比、進尺以及鉆速等運動參數并設置循環，模擬出鉆頭旋轉在井底所刮切出的空間軌跡，如圖3所示。透過對軌跡的觀察發現，牙輪錐頂至錐底的齒圈依次排序為1～10，因牙輪有一定角度的軸傾角(牙輪主軸與鉆頭主軸夾角)，所以第1、2圈齒與第5、6圈齒的軌跡相似，以一個進尺為一周期，每一周期內剛接觸時牙齒與巖石刮切痕跡的寬度由窄變寬，直到寬度等于齒頂線的長度，隨著鉆頭旋轉及牙輪自轉，牙齒與巖石刮痕的寬度逐漸變窄，并脫離巖石，所以軌跡會呈現燕尾形狀，如圖4所示。

圖1 一種異形單牙輪鉆頭

圖2 楔形齒鉆頭模型

圖3 牙齒與井底接觸截圖

圖4 燕尾狀牙齒軌跡

而第3、4圈的齒與巖石接觸頻率最高，且以沖擊為主，故形成的軌跡為旋渦狀，如圖5所示。而第7到第10圈的齒需要鉆進到一定深度才會出現軌跡，軌跡是曲率半徑很大的圓弧相互交叉，如圖6所示。

圖5 旋渦狀牙齒軌跡

圖6 大圓弧形狀牙齒軌跡

4 牙齒井底覆蓋情況

同時將井底模擬為一個圓形的平面，并采取網格化的方式分為微小單元格。這樣方便將牙齒的井底軌跡與井底的網格單元進行數值比較，得到牙齒軌跡在井底所覆蓋的面積，以此來衡量鉆頭的井底覆蓋率(牙齒軌跡覆蓋的面積與井底總面積的的比值)以及鉆井效率。

圖7為網格示意圖，四邊形EFIJ為一單元格，面積為s=1 mm2，整個井底單元格數量N=S/s，S為井底總面積設置循環變量i，計算每一單元格面積，單元格EFIJ的面積為1 mm2，變量i累加1，而ABEF的面積超過1/2，變量i同樣累加1，但JKL的計算值不超過1/2，i的值不改變，當然，如果單元格內沒有牙齒的軌跡的覆蓋，也不進行變量i的累加。井底覆蓋率r= ∑i/N ×100% ，其中i=i+1，s≥0.5 mm2。圖8為分別鑲裝在同樣尺寸異形和球形牙輪上的楔形齒的井底軌跡覆蓋率的比較。從圖中反映出球形牙輪的覆蓋情況較異形更好。

圖7 網格示意圖

圖8 球形牙輪與異形牙輪的比較

5 結論

(1)利用計算機仿真軟件建立一種異形單牙輪鉆頭的模型。

(2)采用楔形齒做模型，繪制一種異形單牙輪鉆頭的牙齒在井底刮切形成的軌跡，以及不同齒圈的軌跡特點。

(3)將球形與異形兩種牙輪形式的井底覆蓋情況做比較，利用Matlab數據處理計算覆蓋率，指導齒形及牙輪形式的設計。

［1］馬德坤.牙輪鉆頭工作力學［M］.北京:石油工業出版社，1994.

［2］周德勝，馬德坤.三牙輪鉆頭的計算機仿真模型［J］.西南石油學院學報，1995(4):86－91.

［3］李思濤.單牙輪鉆頭牙齒研究［D］.南充:西南石油學院，1998.